新高考版《數(shù)學(xué)》資料：空間角與距離、空間向量及其應(yīng)用

8.5空間角與距離、空間向量及其應(yīng)用

基礎(chǔ)篇

考點(diǎn)一用向量法證明空間中的平行和垂直

1.（2021廣東佛山月考,2）直線/〃。，且/的方向向量為（2,/〃,1）,平面。的法向量為

則用（）

A.-4B.-6C.-8D.8

答案C

2.（2022福州一中質(zhì)檢,4）以下四組向量在同一平面的是（）

A.(1,1,0).(0,1,1)、(1,0,1)

B.(3,0,0)、(1,1,2)、(2,2,4)

C(1,2,3)、(1,3,2)、(2,3,1)

D.(1,0,0)、(0,0,2)、(0,3,0)

答案B

3.

（多選）（2022廣東中山一中階段測(cè)試，10）如圖，兩個(gè)正方形械。和力〃￡廠所在平面互相

垂直,設(shè)M分別是力。和//的中點(diǎn),那么下列結(jié)論正確的是（）

A./"L也VB..W平面CDE

Q.MN//CED.網(wǎng);四異面

答案ABC

4.（多選）（2021新高考1,12,5分）在正三棱柱力吐力，。中，力/力4=1,點(diǎn)產(chǎn)滿足前=

2就十〃西，其中4￡[0,1],[0,1],則（）

A.當(dāng).1=1時(shí)，步的周長(zhǎng)為定值

B.當(dāng)〃=1時(shí),三棱錐的體積為定值

C.當(dāng)乂=1時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)只使得4P_L筋

D.當(dāng)〃目時(shí),有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得4員L平面ABF

答案BD

5.(2023屆南京、鎮(zhèn)江學(xué)情調(diào)查，19)如圖，在四棱錐S-ABCDT、底面48⑦是直角梯形,

側(cè)棱S!_L底面力比〃/切垂直于/〃和B&夕仁仍dZM,V是棱的的中點(diǎn).

(1)求證：兒必〃平面以以

(2)求平面S《刀與平面S區(qū)所成銳二面角的余弦值.

解析因?yàn)槎?，底?比〃仍垂直于AD,所以以點(diǎn)/I為坐標(biāo)原點(diǎn)，以向量而，荏，國(guó)的

方向分別為x

軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則

力(0,0,0),C(2,2,0),P(l;0,0),5(0,0,2),J/(0,1,1),所以宿=(0,1,1),歷=(1,0,一

2),而=(-1,-2,0).

(1)證明：設(shè)平面sa?的法向量為正(x,y,z),

令2=1,則"2,產(chǎn)T,則/F(2,-1,1).

因此而7?/7=-1+1=0,從而而?_!_〃,又4町平面SCD,所以月初/平面SCD.

(2)易知平面S48的一個(gè)法向量為/?,=(1,0,0),

由(1)知平面SC〃的一個(gè)法向量為爐(2,-1,1),

則cos",二普=高=￡所以平面SW與平面弘8所成銳二面角的余弦值為半.

|川|八|V6X133

6.(2022南京一中期初測(cè)試,20)如圖，四棱錐餐力以力的底面為正方形,Ei_L底面

ABCD,PA二AB,點(diǎn)/在楂頂上,旦2小做點(diǎn)”是楂夕C二的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)).

(1)若尸是棱夕。的中點(diǎn)，求證：夕8〃平面川玨

(2)求PA與平面力所所成角的正弦值的最大值.

p

解析因?yàn)樗睦忮F尸月笛的底面為正方形，*_L底面力〃以

所以/血力〃兩兩垂直,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以3瓦而，麗的方向?yàn)閤軸,y軸，z軸的

正方向，建立空間直角坐標(biāo)系/kyz,如圖所示.

不妨設(shè)PA=AB=6,則5(6,0,0),戶(0,0,6),不0,2,4),C(6,6,0),不0,6,0).

(1)證明:荏二(0,2,4),因?yàn)橐皇抢?的中點(diǎn)，所以A3,3,3),所以衣;(3,3,3).

設(shè)平面板的法向量為爐(％y,z),則由任.竺二°，

得第M*=Q不妨令尸2,則

所以〃尸又麗=(6,0,-6),所以m?而二-6+0+6=0,即m_L而，

又取平面AEF,所以如〃平面AEF.

(2)左二(6,6,-6),設(shè)處與平面力療'所成的角為0,

方=入玩二(6九6九一64)，0＜大＜1,則而=而+而=而+；1定=(6九64，6—6.1),

設(shè)平面力仔'的法向量為F(a,b,c),

九.而=0,得(2b+4c=0,

則由

.?而二0,、(6Aa+6Ab4-(6-6A)c=0,

不妨令房2,則a=^-3,c=~l,所以/T=Q-3,2,-1),又彳?:(0,0,6),

所以sinJ=|cos<Q,〃>|二窩7

所以當(dāng)J=3,即時(shí)，(sin0)即=橐=手，

A3V55

故PA與平面力療'所成角的正弦值的最大值為

7.(2017天津，17,13分)如圖，在三棱錐中，四_L底面ABC,NBAC=90°.點(diǎn)D,￡,N

分別為棱川,PC,4C的中點(diǎn)，J/是線段"的中點(diǎn)，PA=AC=4,A片2.

Icos〈而屈＞I=SS=段磊=祭整理得1。人21/升8=0,解得弓或吟

所以線段力〃的長(zhǎng)為g或小

考點(diǎn)二空間角和空間距離

考向一空間角問(wèn)題的求解方法

1.（2022湖南婁底雙峰一中摸底,8）如圖,在正方體ABCD~ABCD\中/為4〃的中點(diǎn),

過(guò)4G且與切平行的平面交平面GCV于直線1,則直線/與/切所成角的余弦值是

()

A片B片喈

答案D

2.（2022重慶江津質(zhì)檢,E）如圖，二面角的棱上有力、3兩點(diǎn)，直線力。、協(xié)分別在這人

二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB,已知/I比4,小6,除8,CF2m則該二面角的

大小為()

A.30°B.45°C.60°D.90°

答案C

3.（多選）（2023屆浙江嘉興基礎(chǔ)測(cè)試，1嘉如圖,在

正四面體力筋中，公尸分別為月?、叩闹悬c(diǎn)，則()

A.直線",與/山所成的角為］

B.直線￡尸與所成的角為；

4

C.直線跖與平面仇7?所成的角的正弦值為日

D.直線旗與平面力協(xié)所成的角的正弦值為當(dāng)

答案ABC

4.（多選）（2022重慶涪陵高級(jí)中學(xué)沖刺卷二，12）在四棱錐/，/1ao中，底面ABCD是正方

形，切_L平面力比〃點(diǎn)￡是棱/T的中點(diǎn)，氏則（）

A.ACLPB

B.直線力少與平面川人所成角的正弦值是f

6

C.異面直線AD與/%所成的角是；

D.四棱錐任力筋的體積與其外接球的體積的比值是M

9TT

答案ABD

5.（2020天津，17,15分）如圖，在三棱柱力於48G中，CGJ_平面ABC,ACL

BC,AC=BC=2yCG=3,點(diǎn)〃，夕分別在棱9和棱CG上，且e2,M為棱4分的中點(diǎn).

⑴求證：GMLRD;

（2）求二面角比笈尺〃的正弦值；

（3）求直線48與平面如出所成角的正弦值.

解析

以C為原點(diǎn)，分別以冬,而，藥的方向?yàn)閤軸,'軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系

（如圖），可得

r(0,0,0),力(2,0,0),8(0：2,0),G(0,0,3),4(2,0,3),5(0,2,3),〃(2,0,1),￡(0,0,2),M

1,1,3).

(1)證明：9=(1,1,0)，瓦方=(2,-2,-2),從而領(lǐng)?瓦萬(wàn)=2-2+0=0,所以

(2)依題意知,CA=(2,0,C)是平面，陽(yáng)￡的一個(gè)法向量,西=(0,2,1),ED=(2,0,7).設(shè)

爐a,y,Z)為平面的上的法向量,則卜.竺=°，即怡y+z=?不妨設(shè)產(chǎn)］,可得

{n-ED=0,-z=0.

n=(l,-1,2).因此有cos<G4,〃〉=￡：=—,于是sin<G4,/?>=—.

\CA\\n\66

所以二面角於8股〃的正弦值為”.

6

(3)希=(-2,2,0).由(2)知爐(1,-1,2)為平面多后的一個(gè)法向量，于是

所以直線月月與平面陽(yáng)歷所成角的正弦值為”.

考向二利用等體積法、向量法求空間距離

1.（2022湖北七校聯(lián)合體聯(lián)考,6）在直三棱柱力心力毋G中，底面是等腰直角三角形，/

ACB0O°,側(cè)棱44尸3,D,夕分別是CG與48的中點(diǎn)，點(diǎn)￡在平面/如9上的射影是△力必

的重心G則點(diǎn)4到平面力切的距離為

A.V6B.yC.乎D.2V6

答案A

2.（多選）（2023屆重慶南開中學(xué)月考，11）在棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD~A\RCD中,

點(diǎn)P在棱比,上運(yùn)動(dòng)（不與頂點(diǎn)重合），則點(diǎn)8到平面/電〃的距離可以是

A.V2B.V3D.V5

答案CD

3.（2022湖南株洲質(zhì)檢,1洲正方體力比ZMZG”的棱長(zhǎng)為1,3（分別為能,面的中點(diǎn),

則點(diǎn)尸到平面4〃￡的距離為.

答案專

4.（2022新高考I,19,12分）如圖，直三棱柱力心力歸。的體積為4,比'的面積為

2Vz

⑴求力到平面4%的距離；

⑵設(shè)〃為4。的中點(diǎn),AA^AB,平面48CL平面月即4,求二面角止80C的正弦值.

解析⑴由題意知七梭._麗=/三棱柱ABCT出QT設(shè)力到平面力典’的距離為A

則暝棱錐&-ABC=匕棱錐A-&BC=?“遇。?八=乎九二/解得hZL故A到平面A.BC

的距離為魚.

⑵連接A&,由直棱柱及力4二48知四邊形力物4為正方形,故ABdAiB,4斤企力4,

又平面4比上平面ABAA.,平面ABCO平面ABBIAE&B,ABU平面ABB4,

???/8_L平面ABC,乂BCu平面ABC,

易知BCLBR,ABhBBu平面力884,力8A48尸8，???比?1平面AEB4,

?:A8,A慶平面AB“

：.BCLAB,BCLA^B,

小三棱柱ABC-人際1=1BC?AB?"1=：8C7修=4,ShA1BC=^BC?A1BBC-

AA1=

解得除力4=2.

解法一（幾何法）：過(guò)月作AEJD于E、連接CE.易得企，???4e275.

???〃為4c的中點(diǎn)，。為直角三角形，Z4^90::,AD=D8近,又力廬除2,BD=BD,

???△力/?儂△儂

，CELBD,又AEu平面,4做CEu平面CBD,

???/力比為二面角上如「的平面角.

在直角三角形4肥中，有B*A'C=V3,

易得小E心V6.

3

在△力比中，由余弦定理的推論得cos/月的華念出=一；，???sinN4*，即二面

2AEEC22

角力-盼。的正弦值為當(dāng)

解法二（向量法）：以8為坐標(biāo)原點(diǎn)物,86所在直

線分別為X軸,y軸,Z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

R

貝IJ4(0,2,0),8(0,0,0),。(2,0,0),1,1)，瓦心(0,2:0),麗=(1,1,1),CD=(-1,1,1),

設(shè)平面力劭的法向量為力=(必，y,z),

則怦.%=°，即儼=0,

1前.3=0,卜1+%+的=0，

取小=1,則Zi=-l,故A=(l,0,-1),

設(shè)平面QC的法向量為小2=(檢為Z2),

"前-n=0,(x+y+z=0,

叫而.敢2=0,叫f2+2y2+2z2=o,

取斤1,則為=T,照=0,故由(0,1,-1),

cos</7i,n>=「=--sin</7i,

V二2Xs/222

???二面角止做<的正弦值為今

5.(2022廣東茂名檢測(cè)，18)如圖，直三棱柱ABQ&BC的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角

形,￡尸分別是比；％的中點(diǎn).

(1)求證：平面4底L平面A"Z：

(2)若/外壓30°,求點(diǎn)C到平面力〃'的距離.

解析⑴證明：在直三棱柱月心4笈。中，微_L平面ABC,又??3￡'u平面ABC,:.AELBB.

為等邊三角形,￡為式的中點(diǎn)，???力瓦1_比；

又???mnBOB,BB\,BCu平面B\BCG、

??"￡!平面B\BCG,

?：AEu平面AEF,???平面加￡L平面B、BCG.

⑵在此△￡此中，乙EFG30°,￡'俏1,???止2,FO底設(shè)點(diǎn)C到平面亂尸的距離為《由

(1)知力反L面BMC,

則由匕-*%*?，即；TE4?EC.FC=；.d?然?匹解得垮.

6.(2022江蘇漣水-?中測(cè)試，⑻如圖1,AD,交是等腰梯形CDEF的兩條高,力介心”2,

點(diǎn)也是線段混'的中點(diǎn),將該等腰梯形沿著兩條高AD,0折疊成如圖2所示的四棱錐片

ABOKE,A'重合，記為點(diǎn)R.

(1)求證：BMVDP-,

(2)求點(diǎn)"到平面BDP的步離h.

解析⑴證明：因?yàn)锳D1EF,所以ADLAP,ADLAB,又月尸AH戶力,仍力比平面力"所

以力。_L平面ABP.因?yàn)?仁平面月M所以ADLBM.

由已知得，力比力片4片2,所以△力8n是等邊三角形，

又因?yàn)辄c(diǎn)必是力〃的中點(diǎn):所以BMVAP.

因?yàn)锳DCA六A"D,AJ七平面ADP,

所以8ML平面ADP.

因?yàn)閆?/t平面ADP,所以BMVDP.

⑵取配的中點(diǎn)A；連接例

因?yàn)榱Α_平面ABP,A^=AP=AD=2,

所以DP=B32g所以DN,BP.

所以在Rt△〃4V中，ZZWDP2-PN2==V7,

I)C

：\1N

P

所以S^^BP-D/V=|X2XV7=V7>

因?yàn)锳DA.平面ABP,所以%nxr^AD,S^RUP.

因?yàn)樾柠?%刎,所以［九,S△BDP=1月〃?S^M,

又?Sswff'S△ABP=-x-^-xAB2=x22=

所以月等竺旺=嚕=孚,即點(diǎn)也到平面加加的距離為孚

S?BDPV77/

綜合篇

考法一求解直線與平面所成角的方法

考向一用幾何法求直線與平面所成的角

1.（多選）（2022新高考I,9,5分）已知正方體ABCD~ABC。則（）

A.直線BQ與所成的角為90°

B.直線附與以所成的角為90°

C.直線函與平面協(xié)〃〃所成的角為45°

D.直線肉與平面力成以所成的角為45°

答案ABD

2.（2013山東,4,5分）已知三棱柱ABC-A^Q的側(cè)棱與底面垂直,體積為底面是邊長(zhǎng)為

V5的正三角形.若P為底面力由G的中心，則PA與平面78C所成角的大小為（）

A.—B.-C.-D.-

12346

答案B

3.（2014四川,8,5分）

如圖,在正方體ABCD~4BCD中，點(diǎn)。為線段8〃的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)尸在線段CG上,直線華與

平面4切所成的角為則sin。的取值范圍是（）

A停1]B.的

C欄期D.降1]

答案B

4.（2022全國(guó)甲，理7,文9,5分）在長(zhǎng)方體ABCIEBCD、中,已知方〃與平面/I筋和平面

A4//所成的角均為30°,則（）

A.AB=2AD

B.47與平面力84〃所成的角為30°

C.AC=C^

D.臺(tái)〃與平面方遙GC所成的角為45°

答案D

5.(2022全國(guó)甲理，18,12分)在四棱錐人力四中，依1底面ABCD,CD//

AB,AD=DCCB=L力廬2,加丁

(1)證明：BDLPA\

(2)求勿與平面刃月所成的角的正弦值.

解析⑴證明：過(guò)〃作加垂足為〃則月吟又仍1,所以勿虛.易知〃心所以

盼國(guó),在△//〃中，//+戰(zhàn)二力優(yōu)所以ADLBD.因?yàn)?少.平面ABCD,Bk平面ABCD,所以

PD1BD,又因?yàn)?/A/18所以劭平面PAD,又/%u平面PAD,所以BDA.PA.

⑵連接加

設(shè)點(diǎn)〃到平面處方的距離為h,

由陳見(jiàn)尸七■4BP得△PAB,h=,PD,

?3J

所以展迎迎空.

S^PAB

由⑴易知S工血彳x2x=亨，

由/力_L平面ABCD,A氏1平面ABCD,〃住平面ABCD,得PDA,AB,PDLDH,又AB1.

DH,DHr\PD-D,所以/厲_L平面PDH,所以ABA.PH.

在RtZX&W中，P/*三+3=乎,

-M42

.一1、，c、，任任?/3V15

??Sc^p.i/r--X2X—^―=—.h=7^=~

設(shè)直線外與平面處8所成的角為。，則

.h.\/151-/5

sin0n--=——X-F=—

PD5V35

故直線"與平面四月所成的角的正弦值為

考向二用向量法求直線與平面所成的角

1.（2022浙江慈溪中學(xué)開學(xué)考，13）已知正四棱柱ABCD-A^Ga中，力4=1,力廬2,則直線

力4與平面笈緲?biāo)山堑恼抑禐?

答案y

2.（2022天津西青月考，⑶在正方體ABO）~ABC\R中，點(diǎn)產(chǎn)在側(cè)面為笛笈（包括邊界）上

運(yùn)動(dòng),滿足//_L8〃，記直線與平面所成角為。，則sina的取值范圍

是.

答案?？?/p>

3.（2020新高考I,20,12分）如圖，四棱錐尸,48繆的底面為正方形,勿_1_底面ABCD.設(shè)平

面/為〃與平面/沈'的交線為1.

（1）證明：AL平面/力C;

⑵已知外二/1介1,Q為1上的點(diǎn),求必與平面仇刀所成角的正弦值的最大值.

解析⑴證明：因?yàn)?力_1_底面ABCD,所以PDLAD.又底面ABCD為正方形,所以ADA.DC.

因?yàn)镻DCDOD,所以＜〃_!_平向PDC.因?yàn)閕AD〃B以小平由\PBC,所以/〃〃平面PBC.日已

知得1//AD.因此，_L平面PDC

（2）以〃為坐標(biāo)原點(diǎn),畫的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,

則/?(o,o,o),m1,0),Ml,1,0),Z\0,0,1),則比二(0,1,0),而二(1,

由(1)可設(shè)03o,D,則而=(&o,1).

設(shè)/尸(乂y,z)是平面05的法向量,則

「?絲=0,即6+z=。,可取所㈠,0,而

[n-DC=0,W-S

所以cos</?,

P5>=|n:||魯PF|=x:^3一Vl+aa2

設(shè)掰與平面仇.〃所成角為〃，則sin嗯義巖=§11+年7?因?yàn)?/p>

3vi+a23、a2+l

當(dāng)J1+普若,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以勿與平面仇方所成角的正弦值的最

大值為當(dāng)

4.(2023屆湖北摸底聯(lián)考,20)如圖，在直三棱柱ABOABG中，〃'_!_/；/I俏/三2,S=3,點(diǎn)

〃,￡'分別在棱14和棱CG上,且AD=1,C夕2.

(1)設(shè)廠為aC的中點(diǎn)，求證：4F〃平面即E;

(2)求直線力心與平面〃龍所成角的正弦值.

解析(1)證明：取比,的中點(diǎn)G；連接kG、龍;則凡7〃CG〃4九且/*詈=等=2,

所以尾〃4〃且FG=A、D,所以四邊形4a/為平行四邊形,所以A\F〃DG.又4尺平面

BDE,Dk平面BDE,所以平面BDE.

(2)因?yàn)橹比庵?陀48G中,力人肉所以。、CB、CG兩兩垂直.

分別以不、而、皿的方向?yàn)獒茌S、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系,則”(0,2,0),2;(0,0,2),〃(2,0,1),J(2,0,0),所以詬=(0,2,2),DD=(2,

2,1),匹瓦=而二(-2,2,0),

TI?前=0,

設(shè)平面反應(yīng)的法向量為ZF(X,y,z),則

n-BD=0,

即-n令片1，得到平面做￡的一個(gè)法向量為小G，14).

444y?/u,\//

設(shè)直線4笈與平面及火所成的角為〃,

||x(-2)+ix2+ixo|_72

，MiBl?川

則sin〃二Icos<i41fi1,n)|=-

khBiH川M+1+1XV4+4+0

所以直線力避與平面8座所成角的正弦值為它.

6

考法二求解二面角的方法

考向一用幾何法求二面角

1.(2022河北冀州中學(xué)月考,4)在長(zhǎng)方體AECD-A'E'C'D'中,若AB=AD=2相,3'=注,則二

面角C'-SOC的大小為()

A.30°B.45°C,60°D.90°

答案A

2.(2022福建廈門月考，⑻如圖，在四棱錐片/1比〃中，底面口是邊長(zhǎng)為2的正方形，

側(cè)面砌〃為正三角形,且平面為區(qū)L平面ABCD,￡〃分別為棱AB,小的中點(diǎn).

(1)求證：療〃平面目〃；

(2)求二面角產(chǎn)叱〃的正切值.

解析(1)證明：取/刃的中點(diǎn)G；連接征'、/1G.

由題意知”為△/力。的中位線，

???GF//⑺且G*CD,又AE//①且AE=^CD,

「?GF〃AE&GI^AE,：.四邊形EFGA是平行四邊形，則EF//AG,又質(zhì)平面PAD"k立面

川〃,??.M7平面PAD.

(2)取力〃的中點(diǎn)0、連接做則POLAD.

???平面為。J_平面ABCD,平面四〃n平面ABCD=AD,P3平面PADy

...夕。_1_平面ABCD,連接OB交CE于此連接PM,可證得Rt△版氏.'N」任廬N

AOB,貝IJNJ磔+NJ偌90°,即OMLEC.

又PO1EC,POC。%。，，必1平面POM,則PM1EC,即/局川是二面角任心〃的平面角,

在Rt△四町中，B相學(xué)■=竽,則0由OB-B加絆，：?tan/PMO=?=—,即二面角P-EC-

CE550M3

〃的正切值為平.

O

3.（2022河北邯鄲檢測(cè)，19）已知四棱錐任力成力的底面月應(yīng)力為矩形,力廬2,力分4,川一平

面ABCDyE是9的中點(diǎn).

⑴證明：理_L平面必E;

（2）若/力與平面/比力所成的角為45°,求二面角力-/少?￡的正切值.

解析⑴證明：由條件可得A后D拄2近,又AD=4,所以Ag+能=加,所以AE±DE,又因

為為_L平面ABO）,DEu平面ABCD,所以PA1DE,又為CM后4所以弧1平面PAE.

（2）因?yàn)?物是外與平面/山切所成的角，所以/及冰45°,則PA=AD=4f因?yàn)橛蒙掀矫?/p>

ABCD,月氏平面ABCD,所以ABLAP,又A31.AD,ADdAP=At所以A8_L平面為〃，取AD的中

點(diǎn)F、作內(nèi)化PD,垂足為點(diǎn)M,連接煙因?yàn)镋F//AB,所以跖J_平面PAD,所以EFA.PD,又

MFCE2F,MFyEFu平面NEF,所以如_L平面MEF,因?yàn)镸Eu平面MEF,所以PDLMEy即/

用加是二面角止畛后的平面角，又EgA斤2,曄專FD=&,所以tan/E怔端=

所以二面角力-小/的正切值為企.

考向二用向量法求二面角

1.（多選）（2022廣東普寧華僑中學(xué)月考,9）三棱錐A-BCD中,平面力仍與平面筋的法向

量分別為〃I、m,若〃尸（1,0,0）,片（-亞0,1）,則二面角/H既。的大小可能為（）

A.-B.-C.—D.—

6336

答案AD

2.(2022全國(guó)乙理，18,12分)如圖，四面體ABCD4'ADLCD,AD=CD,E為AC

的中點(diǎn).

(1)證明：平面比“L平面〃〃

(2)設(shè)/1斤陟2,N“廬6C°,點(diǎn)尸在BD上,當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面ABD所

成的角的正弦值.

解析(1)證明：因?yàn)榱]傲夕為然的中點(diǎn)，所以座J_/C.因?yàn)?力〃廬/

BDC,AD=CDyBD=BD,所以儂△⑦氏所以AB=CB,又F為力。的中點(diǎn)，所以BELAC.又

DE,BEu平面BED,且DECB4E,

所以力UL平面BED,又力比平面力切

所以平面/憶。_1_平面BED.

⑵由題意及⑴知月后除2,又/力。9=60。，所以A(=2,B除氐因?yàn)锳DA.DC,E為然的中

點(diǎn),所以妗1.

所以龐+BE=B4,貝I」DELBE.

連接EF,因?yàn)閚CL平面BED,EFu平面BED,

所以ACLEF,所以五"號(hào)47-E2EF.

當(dāng)EEL8。時(shí),￡尸的值最小，即的面積最小，此時(shí)E卜當(dāng).如圖，以后為坐標(biāo)原

點(diǎn)，耳5,而，前的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系6燈z,則

r(-i,o,O),J(I,O,o),庾o(hù),V3,o),〃(o,o,i),/{o,y,^),

所以彳5=(-1,0,1),瓦5=(0,-75,1),而=

設(shè)平面力劭的法向量為F(X,y,z),

則R.n=。,即「二,。，

(BD?n=0,l-V3y+z=0,

令y=l,得/T=(V3,1,V3).

設(shè)C廠與平面力8〃所成的角為8,

則sin^=|cos<??,CF>|=

|R||cr|/

所以。尸與平面/I做所成的角的正弦值為竽.

3.（2021全國(guó)甲理,19,12分）已知直三棱柱力吐45￡中，側(cè)面AAEB為正方

形,月廬給2,E,尸分別為?必和CG的中點(diǎn)，〃為棱4笈上的點(diǎn),跖J_4尻

(1)證明：BFLDE;

（2）當(dāng)臺(tái)〃為何值時(shí);面綣CC與面〃/七所成的二面角的正弦值最小？

解析?：BELAR,BFCBBB,

."歸」平面B\C￡B,??38〃4仇."良1平面BCCB,

又?：BCu平面BCCB,：.ABLBC.

以Z?為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA,BC,即所在直線分別為彳軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系,則M0,0,0)/(0,2,1),夕(1,1,0),???歌=(0,2J),設(shè)片介H0W&W2),則

D(a,0,2),則屁二(l-a,1,-2).

(1)證明：???加?屁二(0,2,1)?(1-a,l,-2)=0X(l-<3)+2X1+1X(-2)=0,C.BFLDf:.

(2)前=(T,1,1)，而:(&-2,1),設(shè)平面〃叨的法向量為//=(xy,z),

?…%+V+z=。，不妨設(shè)一則尸牛左等.”(1,平甘)?

-n=ax-2y+z=0,33v337

易知〃尸（1,0,0）是平面陰CC的一個(gè)法向量.

設(shè)平面9CC與平面〃成所成的銳二面角的大小為〃，則cos〃=|cos〈R,〃》|*"；=

J2(a；『+紅.靠=、(當(dāng)a=/時(shí)取等號(hào))，???sin^=Vl-cos20>

/+（喋）”等）2

y,故當(dāng)W，即時(shí)，平面仍￡。與平面他所成的二面角的正弦值最小,最小值為

V3

3,

4.(2023屆福建漳州質(zhì)檢,18)如圖,在四棱錐〃中，四邊形力比〃是邊長(zhǎng)為2的正方

形,APtBP,A片BP,PD=瓜.記平面為A與平面99的交線為1.

(1)證明:

(2)求平面A仍與平面RT所成的角的正弦值.

解析⑴證明：因?yàn)锳B//CD,CDci平面/(〃/閡平面PCD,所以ABH平面PCD.

乂A醫(yī)1平面PAB,平面P/1BC平面PCF1,所以AB//1.

⑵因?yàn)锳PLBP,所以P弁+PE=AE=4,

又PA=PB,所以PA=PB-y[2,

又PD=瓜,所以Pq+AgPD,所以ADLPA,

又A吐AB,PACiAB=A,PAc平面PAB,力住平面PAB,所以力〃_L平面PAB.取AB,。9的口點(diǎn)

分別為0,他連接.留0P,則初〃力〃,所以J僅L平面PAB,又0空平面PAB,所以MOL0P.

又因?yàn)镻A=PB,。為力8的中點(diǎn),所以O(shè)PLAB.

如圖，以。為原點(diǎn)，分別以麗，而，麗的方向?yàn)閤軸,y軸，z軸的正方向，建立空間直角

坐標(biāo)系，則A1,0,0),C(C,1,2),Z?(0,-l,2),所以無(wú)=(-1,1,2),PD=(-1,-1,2).

設(shè)B(X,匕Z)是平面心的法向量,則卜.竺二.即［一：+［普jU'取2=1，得

(H-PD=0,(-X-y+ZZ=。，

尸2,尸0,則/7=(2,0,1).

又爐(0,0,1)是平面E步的一個(gè)法向量，

所以COS</7,粉一；；：］=橐=￡

所以平面砂與平面〃。所成的角的正弦值為J1二(宵=等.

5.(2019課標(biāo)I理，18,12分)如圖，直四棱柱ABCD~ABGD\的底面是菱形,［4=4,A廬2,Z

物少60°,￡；出4.分別是BC,B遙,4〃的中點(diǎn).

(1)證明：物”平面《龍;

(2)求二面角止物的正弦值.

解析⑴證明：連接B￡,ME.因?yàn)闄C(jī)￡分別為做，山的中點(diǎn),所以ME〃BC且ME=~B.C.

又因?yàn)镹為4〃的中點(diǎn),所以A*4ZZ由題設(shè)知力歸DC,可得RC4〃故MEND,因此

四邊形WVZ均為平行四邊形，則必〃切.又平面"G,所以劭V〃平面CxDE.

(2)由已知可得〃￡1的.以〃為坐標(biāo)原點(diǎn)，礪的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系D-xyz,

4(2,0,0),4(2,0,4),Ml,V3,2),Ml,0,2),A^A=(0,0,-4),A^M=(-1,V3,-2),A^N=(-

1,0,-2),~MN=(0,-V3,0).

設(shè)片(乂y,z)為平面AM的法向量，貝式瓶.絲二°，

1m?ArA=0.

所以［r+何-2z=0,可取歸(75,1,0).

設(shè)/尸5,q,r)為平面4楸的法向量，則卜,"=

h&N=0.

所以「百q：°,c可取尸以0.-D.

(,-p-2r=0.

工日/mn273V15

于是cos。/，冷不而=^f=—

所以二面角上場(chǎng)「AW勺正弦值為厚.

6.(2017課標(biāo)II理，19,12分)如圖，四棱錐尸■力筋中，測(cè)面處〃為等邊三角形旦垂直于

底面NBAD=/ABC=90:E是外的中點(diǎn).

ABCD"B=B￡2AD,

(1)證明：直線以〃平面處優(yōu)

⑵點(diǎn)必在棱PC上,且直線翻與底面力仇力所成角為45°,求二面角加力小〃的余弦值.

P

解析(1)證明：取PA的中點(diǎn)F、連接EF,BF.因?yàn)镋是心的中點(diǎn),所以EF//AD,EP^AD.

0

由NBAF/ABeg。得BC//AD,又比甘/”,所以跖BCy所以四邊形式緒是平行四邊形,

所以CE//BF,又BFu平面PAB,煙平面PAB,故3〃平面PAB.

⑵由已知得BALAD,以.4為坐標(biāo)原點(diǎn),通的方向?yàn)閤軸正方向，I而|為單位長(zhǎng),建立如

圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則J(0,0,0)^(1,0,0),<7(1,1,0),P(0,1,V3),則

福(1,0,-75),福(1,0,0).

設(shè)Mx,y,z)(0<x<l),則麗=(尸1,y,z),麗=(x,尸1,?、?因?yàn)轶臡與底面ABCD所成

的角為45°,

而/7=(0,0,1)是底面加%Z?的一個(gè)法向量,

所以|cos〈麗7,〃>|=sin450,即

V(x-l)2+y2+z2

即(ZM+"=0.

又也在棱/r上,設(shè)麗=APC,則

產(chǎn)幾，片1,z=V3-V3/I.②

%=1+三|x=l-立

由①,②解得y=l,（舍去），或<y=l,

z=一孚[=當(dāng)，

所以《1_今1,曰）,從而而=（1_今1,當(dāng)》

設(shè)/戶（%o,%,ZD）是平面/區(qū)W的法向量，

m-AM=0,n(2-\/2)x+2y+V6z=0,

則——,即Q000

、m?48=0,xQ=0,

所以可取〃尸（0,一遍,2）.

于是COS<Z?A=丹.

易知所求二面角為銳二面角.

因此二面角加月比〃的余弦值為唱.

7.（2023屆江蘇百校聯(lián)考第一次考試,20）在四棱錐KABCD中,底面力筋為直角梯形,AD

//BC,/僅L力4側(cè)面為切L底面ABCD,PA=PB=AD=*2,且E,下分別為PC,勿的中點(diǎn).

（1）證明：無(wú)〃平面以優(yōu)

（2）若直線如與平面四夕所成的角為60°,求平面必8與平面陽(yáng)9所成銳二面角的余弦

值.

解析,（1）證明：取PB的中點(diǎn)M連接AM,EV、

，：E為比的中點(diǎn)，."跖〃砥

又*：AD〃BC,A吟BC,

:.ME"AD、助舁AD,：.四邊形/MEV為平行四邊形，

???以'〃/1M???〃毋平面PA8,43平面/切瓦???〃￡〃平面PAB.

⑵???平面/%從L平面ABCD,平面/%4n平面ABCkAB,舊平面ABCD,ADUB,：??—平

面PAB,取/歷的中點(diǎn)G,連接FG,則FG//AD,則&ZL平面PAB,

???NGPF為直.線"與平面為4所成的角，即NG/#603,Vtan60°喘,小3,則眸近,

???/06廬1,則AB=2.如圖,建立空間直角坐標(biāo)系，則P(0,0,百)，。(1,4,0),〃(-1,2,0),

???裕(1,4,-V5),CD=(-2,-2,0),

設(shè)平面打刀的法向量為〃尸(出匕力，

則ph,PC=0,即(%+4y-V3z=0.

Li?而=0,、t-2x-2y=0,

令片1,則/7i=(-l,1,V3),

易知平面為8的一個(gè)法向量為m=(0,1,0),設(shè)平面叢8與平面S所成銳二面角為

Acos但苦胃=橐二￡即平面必8與平面田9所成銳二面角的余弦值為咚

IlnJInzllV555

8.(2023屆河北邢臺(tái)名校聯(lián)盟開學(xué)考，19)如圖,在四棱錐六ABCD中,底面ABCD為正方形,

側(cè)面砌〃為正三角形，以為陽(yáng)的中點(diǎn),A為應(yīng)、的中點(diǎn).

(1)求證：物〃平面為4;

⑵當(dāng)力ML%時(shí),求平面網(wǎng)刀與平面板夾角的余弦值.

解析(1)證明：取力戶的中點(diǎn)為上連接￡叫外

在△心〃中，為/刃的中點(diǎn),E為/W的中點(diǎn),

：.EM//AD.E^AD,

在正方形川陽(yáng)9中，???川為比的中點(diǎn)，ADBC,

：.BN//AD,B^=^AD,

：.BN//ME,BN-ME.二四邊形必斯為平行四邊形,

：.MN//BEy?.?朗1。平面PAB,BEu平面〃仍,."肺〃平面PAB.

(2)在正三角形為。中，M為/少的中點(diǎn)，."ML/以

乂,?AMX.PC,/rnPg),/<；/3平面PDC,

，/也！平面PDCJ：Ck平面PCD,：.AMYDC.

在正方形ABO)中，AD工DC,又4MA力大力,力也從七平面，囹〃，〃C_L平面PAD,

?:Cg平面ABCD,；,平面47(%LL平面PAD,取月〃的中點(diǎn)0,連接OP,ON,易證OF,ON,?！▋?/p>

兩垂直.以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)4t2,則1)(0,1,0),M2,0,0),<7(2,1,0),戶(0,0,V3),

則麗二(0,-2冬，麗=(2,7,0),9二(0,-1,V5),DC=(2,0,0),

設(shè)平面，郵9的法向量為n=(x,%外,

入吧=-]+要=0,令曰則多,

則N”

n-~DN=2x-y=0,

設(shè)平面尸面的法向量為爐(/,y',z'),

則]:笈W—也

4\國(guó)

???bos〈/〃，〃>H瑞卜，，平面朗仞與平面皈夾角的余弦值為

也嗚xRl19

4g

19,

9.(2018課標(biāo)HI理，19,12分)如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形力陽(yáng)〃所在的平面與半圓弧C力所

在平面垂直，洶是C力上異于C〃的點(diǎn).

(1)證明：平面4/_L平面用心

⑵當(dāng)三棱錐MT比體積最大時(shí),求面極4與面J￡9所成二面角的正弦值.

1/

3

B

解析⑴證明：由題設(shè)知,平面以僅L平面18。交線為CD.因?yàn)锽CLCD,BCu平面

ABCD,所以比_L平面CMD.,故BCIDM.因?yàn)?為C力上異于C,〃的點(diǎn)，旦加為直徑,所以

DMLCM.又BCCaf=C,所以〃歸_平面BMC.而為匕平面AMD,故平面川僅L平面BMC.

(2)以〃為坐標(biāo)原點(diǎn),萬(wàn)5的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.

則〃(0,0,0).

當(dāng)三棱錐加/山C體積最大時(shí)，"為C力的中點(diǎn).由題設(shè)得

第2,0,0),8(2,2,0),C(0:2,0),M0,1,1),則宿二(一2J,1),通=(0,2,0),耐二(2,0,0).

+z=

設(shè)『(%,7,力是平面極仍的法向量,則卜.絲=°，即uy°,可取

(n-AB=0,(2y=0,

n=(1,0,2).萬(wàn)?是平面MCD的法向量，

因此cos<〃,D/1>=，:黑=—,sin<〃,DA>=竺.

|n||D/i|55

所以面極切與面就力所成二面角的正弦值是鳥.

考法三求解立體幾何中的探索性問(wèn)題

1.(2016北京，17,14分)如圖，在四棱錐P力版中，平面用〃1平面ABCD,PAX.

PD,PA二PD,ABLAD,AB=l,AD-2,AC=CF法.

(1)求證:平面48;

(2)求直線如與平面所成角的正弦值；

(3)在棱PA上是否存在點(diǎn)M使得8M7平面閨火若存在,求祭的值;若不存在，說(shuō)明理由.

解析⑴證明：因?yàn)槠矫嫠姆碙平面力88/出_1切,平面為〃0平面力比女力〃,所以力員1_

平面PAD,

又PDa平面PAD,所以ABA.PD.

又因?yàn)?力_1_/力,/%n/1代4/%,力尼平面PAB,

所以外_L平面為B

⑵取力。的中點(diǎn)0,連接PO,CO.因?yàn)镻A=PD,所以又因?yàn)镻K平面PAD,平面PAD

_L平面ABCD,平面為。n平面力以

所以/aL平面ABCD.因?yàn)镃g平面ABCD,所以P01CQ.因?yàn)锳OCD,所以COA.AD.

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz.由題意得,4（0,1,0）,8（1,1,0）,。（2,0,0）,僅0,-

1,0）,A0,0,1）.

設(shè)平面收〃的法向量為產(chǎn)（x,y,z）,

則心.女=0,即廣y-z=0,

（n-PC=0,hx-z=0.

令z=2,則A=1,尸-2.所以2）.

又而二（1,1,-1）,所以cos</7,PB>==一日.

所以直線陽(yáng)與平面所成角的正弦值為

⑶設(shè)也是棱為上一點(diǎn)，則存在久e[0,1]使得箱=AAP.因此，機(jī)0,1-九4），則

麗:（-1,7,4）.

因?yàn)榧覴平面PCD,

所以用心平面夕。9當(dāng)且僅當(dāng)兩?爐0,

即（7,-九人）?（1,一2,2）=0,解得4=1

4

所以在棱刃上存在點(diǎn)〃使得8M〃平面P0

此嘮=

2.（2022湖北襄陽(yáng)四中月考，19）如圖，在三棱柱ABC-ABG中，做JL平面ABC,ABA.

BC、AAl=AB=BC=2.

⑴求證：8GJ_平面48C;

⑵點(diǎn)也在線段RC上,且黑=*點(diǎn)N在線段力力上,若栩F〃平面AMCCh求篙的值,

?

解析(1)證明：在三棱柱力吐中，???做1.平面ABC,BCu平面ABC,二班」式■，同

理，班」4仇

:/1/h二郎二比三2,J四邊形8/CG為正方形，故BC&C.，：AB1BC,AB〃AM,BC〃BC,：?

小&上BiG,

???郎n笈午仇?"出」平面BCCB,

?"Gu平面BCCB,

???力心nB\俏尻???BC\_L平面4力iC.

(2)以方為原點(diǎn),砥所在直線為x軸,胡所在直線為y軸,9所在直線為z軸,建立空間

直角坐標(biāo)系，則力(0,2,0),C(2,0,0),G(2,0,2),5(0,0,0),氏(0,0,2),4(0,2,2),則

CA=(-2,2,0),西二(0,0,2),設(shè)平面力CG4的法向量為/尸Uy,z),

.h.(n-CA=-2%+2y=,球z,.

則__?/'取產(chǎn)1,得麻(1,1,0),

.n?eg=2z=0,

設(shè)M(a,b,0,N(x,y,z),華A,則瓦？=3瓦而，不R=4項(xiàng),0W4<1,即(2,0,-

AiB

2)=3(a",c-2),U廠2,z-2)=A(0,-2,-2),解得*(0,2-24,2-24),則麗=

(一以2-2痣-2a),

??"邠〃平面AACG,：.n*~MN=--+2-24=0,

3

解得Xq.：,的值為:.

3A]bM

3.(2022石家莊二中月考，19)如圖，在五面體力砥9比中，切_L平面ABCD,//屐/

的氏90°,尸為棱PA的中點(diǎn)，吩給企，小小1,且四邊形6W為平行四邊形.

(1)判斷/C與平面儂'的位置關(guān)系，并給予證明;

(2)在線段原上是否存在一點(diǎn)。，使得回與平面哪所成角的正弦值為日?若存在，請(qǐng)求

6

出。夕的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析⑴407平面頌證明如下：設(shè)PC交座于點(diǎn)N,連接成;因?yàn)樗倪呅蜳DCE為平

行四邊形,所以點(diǎn)N為的中點(diǎn)，又點(diǎn)尸為PA的中點(diǎn)，所以FN//AC,因?yàn)樵氯势矫?/p>

DEF,平面DEF,所以尼〃平面DEF.

入戰(zhàn)(0W/IW1),以〃為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA,DC,〃戶所在直線為才軸,y軸,z軸，建立空

間直角坐標(biāo)系.因?yàn)镻ABC=a"片AA1,所以

C22,尸(0,0,V2),Ml,l,0),61(0,2,0),4(1,0,0),所以麗=(1,1,BC=(-1,1,0).

設(shè)平面4%的法向量為爐(x,y,z),

則(m?麗=(x,y,z)-(1,1,-V2)=0,

'(m-SC=(x,y,z)?(-14,0)=0,

即｛：；；；*=°,解得｛；二3％令齊1，得平面/優(yōu)的一個(gè)法向量為〃尸(1，1，6

由哈峙)M0,2,V2),可得而=(心2日).

由的=a朋(OW4W1),整理得《一，2九'2(；+人)則的=(—9,2"1,'2丁)),

因?yàn)橹本€倒與平面/訛'所成'角的正弦值為日，

O

所以IE砂=扁=2近般黑7=日得14人54”又0&g所以

A4故在線段用上存在一點(diǎn)嗜,1,平)，使得回與平面/的所成角的正弦值為今且

22

?？诤?j(i-0)+(l-2)2+(^-V2)=手

專題綜合檢測(cè)

一、單項(xiàng)選擇題

1.（2022重慶第七次質(zhì)檢,7）若正三棱柱ABC-ABC、既有外接球，又有內(nèi)切球,記該三棱

柱的外接球和內(nèi)切球的半徑分別為泥、的貝IJ⑶=（）

91n

A.5B.4C.-D.—

23

答案A

2.（2017課標(biāo)I,6,5分）如圖,在下列四個(gè)正方體中,4