新課標(biāo)高中物理模型與方法專題16 帶電粒子在組合場、復(fù)合場中的運(yùn)動模型（解析版）

專題16帶電粒子在組合場、復(fù)合場中的運(yùn)動模型

目錄

一.帶電粒子在組合場中的勻速圓周運(yùn)動模型解法綜述..........................................1

二.磁場與磁場的組合模型..................................................................1

三.光電場后磁場模型......................................................................6

四.先磁場后電場模型.....................................................................14

五.帶電粒子在組合場中運(yùn)動的應(yīng)用…質(zhì)譜儀模型............................................19

六.帶電粒子在組合場中運(yùn)動的應(yīng)用一回旋加速器模型.......................................25

七.帶電粒子在疊加場中的運(yùn)動模型.........................................................28

A.帶電粒子在疊加場中的應(yīng)用模型一電磁平衡科技應(yīng)用.....................................39

模型一.速度選擇器....................................................................39

模型二.磁流體發(fā)電機(jī)..................................................................40

模型三.電磁流量計....................................................................42

模型四.霍爾效應(yīng)的原理那分析...........................................................44

一.帶電粒子在組合場中的勻速圓周運(yùn)動模型解法綜述

1.組合場：電場與磁場各位于?定的區(qū)域內(nèi)，并不重疊，或在同?區(qū)域，電場、磁場交替出現(xiàn).

2.帶電粒子在組合場中運(yùn)動的分析思路

第I步：粒子按照時間順序進(jìn)入不同的區(qū)域可分成幾個不同的階段.

第2步：受力分析和運(yùn)動分析，主要涉及兩種典型運(yùn)動，如圖所示.

第3步：用規(guī)律

勺

粒子垂直速半徑公式

于磁感線N冏

圓軌跡定圓心-

動

進(jìn)入勻強(qiáng)運(yùn)

組合場中兩種磁場周期公式

典型的偏轉(zhuǎn)

電粒子垂直初速度方向

偏于電場線

轉(zhuǎn)進(jìn)入勾強(qiáng)勾變速直線運(yùn)動|

電場L電場方向

二,磁場與磁場的組合模型

【運(yùn)動模型】磁場與磁場的組合問題實質(zhì)就是兩個有界磁場中的圓周運(yùn)動問題，帶電粒子在兩個磁場中的

速度大小相同，但軌跡半徑和運(yùn)動周期往往不同.解題時要充分利用兩段圓弧軌跡的銜接點與兩圓心共線

的特點，進(jìn)一步尋找邊角關(guān)系.

【模型演練1】（2021?韶關(guān)模擬）如圖所示，在無限長的豎直邊界AC和。E間，上、下部分分別充滿方向垂

直于平面4。石。向外的勻強(qiáng)磁場，上部分區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B）,0〃為上、下磁場的水平分界線。質(zhì)

量為，〃、帶電荷量為+4的粒子從AC邊界上與O點相距為。的P點垂直于AC邊界射入上方磁場區(qū)域，經(jīng)

O/上的。點第一次進(jìn)入下方磁場區(qū)域，Q點與。點的距離為S。不考慮粒子重力。

地

(1)求粒子射入時的速度大?。?/p>

(2)要使粒子不從AC邊界飛出，求下方磁場區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小以應(yīng)滿足的條件；

(3)若下方區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度3=3氏，粒子最終垂直DE邊界飛出，求邊界DE與4C間距離的可能值。

【答案】：⑴1鱉5(2)Bi>^(3)4〃4(〃一1,2,3,…)

【解析】：(1)粒子在。/上方的運(yùn)動軌跡如圖所示，

增

設(shè)粒子做圓周運(yùn)動的半徑為R,由幾何關(guān)系可知/?2—(/?一〃)2=(302,則R=5〃

由牛頓第二定律可知儼如一層

解得尸部。

⑵當(dāng)粒子恰好不從AC邊界飛出時，其運(yùn)動軌跡如圖所示，設(shè)粒子在OF卜方做圓周運(yùn)動的半徑為

由幾何關(guān)系得"+ricos〃=3a,cosO=1,所以門=巧「根據(jù)qgi="-,解得8產(chǎn)等

JO?IJ

故由磬時，粒子不會從AC邊界飛出。

(3)當(dāng)8=38。時，粒子的運(yùn)動軌跡如圖所示，粒子在O/下方的運(yùn)動半徑為「=全1,設(shè)粒子的速度方向再次

與射入磁場時的速度方向一致時，粒子的位置為Pi點，則P點與P點的連線一定與。尸平行，根據(jù)幾何

關(guān)系知PPi=4〃，所以若粒子最終垂直?！赀吔顼w出，邊界OE與4C間的距離為L=〃PPI=4M(〃=1,2,

3,??.)o

【模型演練2】(2020?江蘇卷?16)空間存在兩個垂直于。孫平面的勻強(qiáng)磁場，1y軸為兩磁場的邊界，磁感應(yīng)強(qiáng)

度分別為2&、3以?甲、乙兩種比荷不同的粒子同時從原點。沿x軸正向射入磁場，速度均為次甲第1次、

第2次經(jīng)過)，軸的位置分別為P、Q,其軌跡如圖所示.甲經(jīng)過。時，乙也恰好同時經(jīng)過該點.已知甲的質(zhì)

量為〃?，電荷量為g.不考慮粒子間的相互作用和重力影響.求：

(1)。到0的距離4：

(2)中兩次經(jīng)過P點的時間間隔Ar：

(3)乙的比荷?可能的最小值.

【答案】(1贏(2苦陪

【解析】(1)甲粒子先后在兩磁場中做勻速圓周運(yùn)動，設(shè)半徑分別為A、底

由少8="47可知「=范，

〃八'

故門=藥瓦’》=為瓦

且</=2八一2r2

解得"=糯

(2)甲粒子先后在兩磁場中做勻速圓周運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間分別八、12

.『2nr2兀，〃但urnnm

由『=丁=9■得八=礪？'2—3,盧。

且Ar=2/i4-3/2

丘”H，2兀〃?

解得加=西

(3)乙粒子周期性地先后在兩磁場中做勻速圓周運(yùn)動

若經(jīng)過兩磁場的次數(shù)均為〃(〃=123，…)

mv,Sum'

相遇時，有〃=乩，硒=八+12

3qB)

解吸=舄

根據(jù)題意，〃=1舍去.

當(dāng)〃=2時，壬有最小值,g)min學(xué)

若先后經(jīng)過右側(cè)、左側(cè)磁場的次數(shù)分別為(〃+1)、〃(〃=0,1,2,3,…)，經(jīng)分析不可能相遇.

綜上分析，乙的比荷的最小值為那

【典例分析3】(2017?全國卷皿24)如圖，空間存在方向垂直于紙面QQv平面)向里的磁場.在啟0區(qū)域，磁

感應(yīng)強(qiáng)度的大小為A：xVO區(qū)域,磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為久加(常數(shù)2>|).一質(zhì)量為機(jī)、電荷量為4(〃>0)的

帶電粒子以速度W從坐標(biāo)原點。沿X軸正向射入磁場，此時開始計時，當(dāng)粒子的速度方向再次沿X軸正向

時，求：（不計重力）

⑴垃子運(yùn)動的時間：

（2）應(yīng)子與0點間的距離.

【答案】⑴歌+3Q爵T）

【解析】（1）在勻強(qiáng)磁場中，帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動.設(shè)在.a0區(qū)域，圓周半徑為心：在XVO區(qū)域，圓

周半徑為R?.由洛倫茲力公式及牛頓第二定律得

2

gB（川o=〃r兄■①

q/.Bovo=nr^?

設(shè)粒子在后0區(qū)域運(yùn)動的時間為小則

粒子在x<0區(qū)域運(yùn)動的時間為匕,則

聯(lián)立①②③④式得，所求時間為

-八+/2=而（1+R⑤

（2）內(nèi)幾何關(guān)系及①②式得，所求距離為

【模型演練4】（2021屆云南省昆明市高三（上）三診一模摸底診斷測試?yán)砭C物理試題）如圖所示，虛線

上方存在方向垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場I，下方存在方向相同、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為

的勻強(qiáng)磁場H,虛線為兩磁場的分界線.M、aN位于分界線上，點。為肪V的中點,一電子從。

點射入磁場I,速度方向與分界線的夾角為30。，電子離開。點后依次經(jīng)N、用兩點回到。點。已知電

子的質(zhì)量為加，電荷量為明重力不計，求：

（1）4的值；

（2）電子從射入磁場到第一次回到。點所用的時間。

XXXXX

〃x.X么壞，Ix

xMx°xNx

AB"

XXXX

?M?c14777〃

【答案】(1)4=7;(2)，=——

2eB

【解析】

(1)電子在磁場中的運(yùn)動軌跡如圖所示

設(shè)電子在勻強(qiáng)磁場I、II中做勻速圓周運(yùn)動的半徑分別為4、&，電子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動有

6國二”…①

R、

"四卷…②

由于最終能回到。點，由幾何關(guān)系,可得

R?=2R]…③

聯(lián)立①②③，解得

A4

(2)電子在磁場I中的運(yùn)動周期

72萬加

71F

電子在磁場H中的運(yùn)動周期

2兀m

~eAB

設(shè)電子經(jīng)過三段軌跡的時間分別為乙、小，3，由幾何關(guān)系可得

。到N的圓心角為60。，則

中

N到M的圓心角為300。，則

，2=江

O

M到。的圓心角為60。，則

Z=-7；

361

電了從射入磁場到第?次回到。點所用的時間為，

聯(lián)立以上式子，解得

t=-----

eB

三,先電場后磁場模型

【運(yùn)動模型】

1.帝電粒子先在勻強(qiáng)電場中做勻加速直線運(yùn)動，然后垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場做勻速圓周運(yùn)動，如圖

2.帶電粒子先在勻強(qiáng)電場中做類平拋運(yùn)動，然后垂直進(jìn)入磁場做勻速圓周運(yùn)動，如圖.

【模型演練1】.（2019?江蘇南京市六校聯(lián)考）如圖所示，在矩形區(qū)域A3CO內(nèi)存在豎直向上的勻強(qiáng)電場，在

BC右側(cè)I、II兩區(qū)域存在勻強(qiáng)磁場，虛線匕、心、心是磁場的邊界線仍。與心重合），寬度相同，方向如

圖所示，區(qū)域I的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為一電荷量為+外質(zhì)量為〃?的粒子（重力不計）從A。邊中點以初速度

府沿水平向右方向進(jìn)入電場，粒子恰好從8點進(jìn)入磁場，經(jīng)區(qū)域I后又恰好從與8點同一水平高度處進(jìn)入

區(qū)域II.已知A/3長度是BC長度的小倍.

(1)求帶電粒子到達(dá)B點時的速度大?。?/p>

(2)求區(qū)域I磁場的寬度硬

(3)要使帶電粒子在整個磁場中運(yùn)動的時間最長，求區(qū)域II的磁感應(yīng)強(qiáng)度史的最小值.

【答案】⑴斗⑵嗨如⑶1?5以

，JCjI

【解析】(1)設(shè)帶電粒子進(jìn)入磁場時的速度大小為I，,與水平方向成。角，粒子在勻強(qiáng)電場中做類平拋運(yùn)動，

由類平拋運(yùn)動的速度方向與位移方向的關(guān)系有：tan當(dāng)，則夕=3。。，根據(jù)速度關(guān)系有：

2小i，o

3;

⑵設(shè)帶電粒子在區(qū)域I中的軌道半徑為，「由牛頓第二定律得：0必=〃y，軌跡如圖甲所示:

(3)當(dāng)帶電粒子不從區(qū)域II右邊界離開磁場時，在磁場中運(yùn)動的時間最長.設(shè)區(qū)域1【中最小磁感應(yīng)強(qiáng)度為儀m，

此時粒子恰好不從區(qū)域II右邊界離開磁場，對應(yīng)的軌跡半徑為①軌跡如圖乙所示：

根據(jù)幾何關(guān)系有：L=-2(l+sinJ)

解得:B2m=1.5S.

【模型演練2】（2020,湖南長沙模擬）如圖，在直角三角形OPN區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為8、

方向垂直于紙面向外.一帶正電的粒子從靜止開始經(jīng)電壓U加速后，沿平行于x軸的方向射入磁場；一段

時間后，該粒子在。尸邊上某點以垂直于入一軸的方向射出.已知。點為坐標(biāo)原點，N點在y軸上，。尸與x

軸的夾角為30。，粒子進(jìn)入磁場的入射點與離開磁場的出射點之間的距離為d,不計重力.求：

（1）帶電粒子的比荷;

（2）帶電粒子從射入磁場到運(yùn)動至上軸的時間.

【答案】（虜Q歌+用

【解析】（1）設(shè)帶電粒子的質(zhì)量為機(jī)，電荷量為q,加速后的速度大小為V.由動能定理有4〃=；加/①

設(shè)粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的半徑為「，洛倫茲力提供粒子傲圓周運(yùn)動的向心力，結(jié)合牛頓第二定律有

V2

qvB=irr^@

|_____I

由兒何關(guān)系知d=通卷）

聯(lián)立①②③式得2=券④

⑵由幾何關(guān)系知，帶電粒子射入磁場后運(yùn)動到x軸所經(jīng)過的路程為5=y+Man30。⑤

帶電粒子從射入磁場到運(yùn)動至x軸的時間為，=點@

聯(lián)立②④⑤⑥式得f=魏+平）⑦

【模型演練41,（2021屆廣東省東莞市高三模擬）如圖所示，在xOy平面內(nèi)，MN與），軸平行，間距為乩

其間有沿x軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場），軸左側(cè)有寬為L的垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，MN右側(cè)空間存在范圍

足夠?qū)?、垂直紙面的勻?qiáng)磁場（圖中未標(biāo)出）。質(zhì)量為〃八帶電量為+,的粒子從尸"，0）沿x軸負(fù)方向以

大小為vo的初速度射入勻強(qiáng)電場。粒子到達(dá)0點后，經(jīng)過一段時間還能再次回到。點。已知電場強(qiáng)度疾

3"!片

，粒子重力不計。

~2qd

(1)求粒子到。點的速度大?。?/p>

(2)求y軸左側(cè)磁場區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度Bi的大小應(yīng)滿足什么條件？

(3)若滿足(2)的條件，求MN右側(cè)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度&和y軸左側(cè)磁場區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小關(guān)系。

【答案】(1)v=2v(2)坐?;(3)B=HB'=\2,3……

0；qL22(〃+1)tnf

【解析】(1)粒子，從P點到O點，由動能定理得一加了一一mv-=qEd

22

可得粒子到V=J片+型4=2玲

Vm

(2)洛倫茲力提供向心力

r

粒子要再次回到。點，則粒子不能從y軸左側(cè)的磁場射出，需要返回磁場，經(jīng)過電場和MN右側(cè)的磁場的

作用，再次返回到。點，故要求：/=鈣&＜乙

qB、

故要求片＞駕1

qL

⑶粒子通過電場回到右側(cè)磁場時速度為%。設(shè)粒子在右側(cè)磁場中軌道半徑為R,要使其能夠回到原點，

粒子在右側(cè)磁場中應(yīng)向下偏轉(zhuǎn)，且偏轉(zhuǎn)半徑/Qr。

注%二等

1\

解得R噬

①當(dāng)3黨卷，…吟

②心廠，要使粒子回到原點（粒子軌跡如下圖所示）

則須滿足〃（2A—2r）=2r

其中刀=1,2,3

一2.0

n2迫-2

qB]qB、

,n=l,2,3

D

其中n=l時，B2r,綜上，需要色和y軸左側(cè)磁場區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度所的大小關(guān)系滿足

層百，n=\,2,3

【模型演練5】（2021屆河北省衡水市第一中學(xué)高三模擬）如圖所示，平面直角坐標(biāo)系第二象限充滿電場強(qiáng)

度大小為E、方向沿）'軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場，在）'軸右側(cè)以C（4R,0）點為圓心、R為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)

有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場。現(xiàn)將帶正電的粒子，從第二象限的點以速度與沿工軸正方

\L）

向射入勻強(qiáng)電場，經(jīng)電場偏轉(zhuǎn)后恰好沿磁場區(qū)域半徑方向射入勻強(qiáng)磁場，粒子離開磁場時，在磁場中的出

射點和入射點關(guān)于X軸對稱。帶電粒子重力不計，求：

⑴節(jié)電粒子的比荷；

（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大??；

（3）苛子從進(jìn)入電場到離開磁場所用的時間。

m

2(373萬］寵

v6E

【答案】(1)」一：(2)—；(3)------十——

3ER%I23兒

【解析】粒子運(yùn)動軌跡如圖所示

有

qE=ma

CR=%

設(shè)DC連線跟x軸負(fù)方向的夾角為。，由幾何關(guān)系得

v,

tan0=—=,￡L

匕%

a

1R-y=也Rtan0

解得

旦=工

m3ER

0=30。

(2)粒子在磁場中,設(shè)軌跡半徑為丁，則由幾何關(guān)系可得

r=RtanO

解得

*R

3

設(shè)粒子離開電場時的速度為上有

一工

cos。

qvB=in——

解得

%

(3)設(shè)在無場區(qū)域、磁場中運(yùn)動時間分別為，2、4,總時間為f，有

CD-R=vt2

2仁一。卜吟

『+，2+，3

解得

'3&71R_

t=-----+—

23%

【模型演練6】(2021?河南平頂山市一輪復(fù)習(xí)質(zhì)檢)如圖所示，平面直角坐標(biāo)系?的第二、三象限內(nèi)有方向

沿)，軸正方向的勻強(qiáng)電場，第?、四象限內(nèi)有圓形有界磁場，有界磁場的半徑為坐L,磁場的方向垂直于坐

標(biāo)平面向里，磁場邊界與)，軸相切于。點，在x軸上坐標(biāo)為(一L,0)的P點沿與X軸正方向成4=45。角斜向

上射出一個速度大小為w的帶電粒子，粒子的質(zhì)量為加，電荷量為，/,粒子經(jīng)電場偏轉(zhuǎn)垂直y軸射出電場,

粒子進(jìn)入磁場后經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)以沿j軸負(fù)方向的速度射出磁場，不計粒子的重力.求：

(1)粒子從)，軸上射出電場的位置坐標(biāo)；

(2)勻強(qiáng)電場電場強(qiáng)度大小及勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小;

(3)粒子從P點射出到射出磁場運(yùn)動的時間為多少？

，秋女X71XZA1八也小L也（1+兀/

【答殺】（1）（0,/）⑵亞2qL⑶三+2V0

【解析】（1）粒子在電場中的運(yùn)動為類平拋運(yùn)動的逆運(yùn)動，

水平方向：L=vocosG-t\,

豎直方向：j=|vosin0ti,

解得：了=*，

粒子從y軸上射出電場的位置坐標(biāo)為：（0,1L）；

⑵粒子在電場中的加速度大?。篴若,

豎直分位移：丁=%仆，

解得:E嗑;

粒子進(jìn)入磁場后做勻速圓周運(yùn)動，以沿），軸負(fù)方向的速度射出磁場，運(yùn)動軌跡如圖所示,

由幾何知識得：AC與豎直方向夾角為45。，

AD=y/2y=^2：L,

因此AC剛好為圓形有界磁場的直徑，粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的軌道半徑：，=，

粒子在磁場中做圓周運(yùn)動，由牛頓第二定律得：qvB=nA

其中，粒子的速度:v=Vocos0,

解得：8=嘮皿；

乙qL

（3）粒子在電場中的運(yùn)動時間：九=77^75=乎4

粒子離開電場進(jìn)入磁場前做勻速直線運(yùn)動，位移：x=^L-±L，

粒子做直線運(yùn)動的時間：e=?=與轡，

粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的時間："=%=*鬻=唔,

粒子總的運(yùn)動時間：，=h+/2+/3=f+媽邛.

Vo2V0

四.先磁場后電場模型

【模型構(gòu)建】（1）進(jìn)入電場時粒子速度方向與甩場方向相同或相反（如圖甲所示）.

（2）進(jìn)入電場時粒子速度方向與電場方向垂直（如圖乙所示）.

【模型演練1】（2021?濟(jì)寧模擬）如圖所示，在第一象限內(nèi)，存在垂直于xQy平面向外的勻強(qiáng)磁場I,第二象

限內(nèi)存在水平向右的勻強(qiáng)電場，第三、四象限內(nèi)存在垂直于X0Y平面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為8。的勻強(qiáng)磁

場一質(zhì)量為機(jī)、電荷量為+q的粒子，從x軸上的M點以某一初速度垂直于x軸進(jìn)入第四象限，在底力

平面內(nèi)，以原點。為圓心做半徑為Ro的圓周運(yùn)動；隨后進(jìn)入電場運(yùn)動至y軸上的N點，沿與y軸正方向成

45。角離開電場；在磁場I中運(yùn)動一段時間后，再次垂直于4軸進(jìn)入第四象限，不計粒子重力。求：

（1）帶電粒子從M點進(jìn)入第四象限時初速度的大小vo:

（2）電場強(qiáng)度的大小E；

⑶磁場I的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小用。

_____凡」一

OIVx

I||

【答案工⑴噌（2）噤（3贏

【解析】：（1）粒子在第四象限中運(yùn)動時，洛倫茲力提供向心力，則

R。

解得vo=

m

（2）由于粒子與y軸正方向成45。隹離開電場，則有vx=vy=vo

粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，在平行于x軸方向上做勻加速運(yùn)動，在平行于），軸方向上做勻速運(yùn)動，故在平

行干x軸方向上qE=ma

v—0=2渦）

X

聯(lián)立解得￡=空當(dāng)。

（3）為:子在電場中運(yùn)動時

平行于x軸方向：vx=at,&=襯

平行于y軸方向：y=vyt

聯(lián)立解得y=2R。

如圖所示，過N點作速度的垂線交x軸于P點，P點即為粒子在第一象限做圓周運(yùn)動軌跡的圓心，PN為半

徑，因為ON=.y=2Ro，/PNO=45°,所以PN=2市Ro

由于洛倫茲力提供向心力，故/，&=翁「其中口為進(jìn)入第一象限時的速度大小為V=A/2VO

解得B|=1B()o

【模型演練2】.(2020?山東濰坊市3月五縣聯(lián)考)如圖所示的坐標(biāo)系X。)，中，第一象限內(nèi)存在垂直紙面向里

的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為時,第二象限存在沿了軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場，X軸下方存在垂宜紙面向里的勻強(qiáng)

磁場(圖中未畫出)，磁感應(yīng)強(qiáng)度未知.一帶正電粒子從A(d,O)點以初速度小開始運(yùn)動，初速度方向與x軸負(fù)

方向夾角為53。，粒子到達(dá))，軸時速度方向與)，軸垂直，粒子經(jīng)過電場區(qū)域、x軸下方磁場區(qū)域恰好回到4

點，且速度方向與初速度方向相同.粒子重力不計，sin53o=0.8,cos53o=().6,求：

恒

⑴粒子的比荷；

⑵勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度大小；

(3”軸下方磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小.

【答案】⑴提(2/衿⑶粘

【解析】⑴設(shè)粒子在第一象限內(nèi)做圓周運(yùn)動的半徑為止則有科用="“

(2)設(shè)粒子類平拋過程豎直位移為Ay,

貝ijAy=n—ncos53°

由題意可知，粒子類平拋運(yùn)動的末速度與x軸負(fù)方向夾角為0=53。，則vv=v（）tan0,類平拋運(yùn)動過程vy=at,

^y=^at2,qE=ma

聯(lián)立解得/=肅，石=型普

（3）設(shè)粒子類平拋過程水平位移為Ar,則&r=iw,設(shè)粒子在），軸下方磁場區(qū)域運(yùn)動的半杼為小則r=—777

2ol11C7

粒子運(yùn)動速度丫=弓二，qvB=nr^,解得B=$Eo.

【模型演練31.（2020?山東等級考模擬卷）如圖所示，在第一象限內(nèi)，存在垂直于平面向外的勻強(qiáng)磁場

I,第二象限內(nèi)存在水平向右的勻強(qiáng)電場，第三、四象限內(nèi)存在垂直于xOy平面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為

歷的勻強(qiáng)磁場I【.一質(zhì)量為〃?、電荷量為+q的粒子，從大軸上M點以某一初速度垂直于x軸進(jìn)入第四象限，

在1平面內(nèi)，以原點。為圓心做半徑為Ro的圓周運(yùn)動；隨后進(jìn)入電場運(yùn)動至），軸上的N點，沿與），軸正

方向成45。角離開電場；在磁場I中運(yùn)動一段時間后，再次垂直于x軸進(jìn)入第四象限.不計粒子重力.求：

⑴帶電粒子從M點進(jìn)入第四象限時初速度的大小物；

⑵電場強(qiáng)度的大小E：

⑶磁場I的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小&.

［答案］⑴誓2⑵嗎爭⑶暴。

【解析】（1）粒子在第四象限中運(yùn)動時，洛倫茲力提供向心力,

則少。氏=喏

解得出=嚶

（2）由于粒子與），軸正方向成45。隹離開電場,

貝I」有Vt=Vy=V0

粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，在平行于X軸方向做勻加速直線運(yùn)動，在平行于），軸方向做勻速直線運(yùn)動，故

在平行于x軸方向上q￡=ma

打2—0=2aR（）

派0砌2

聯(lián)立解得E=

2m

（3）粒子在電場中運(yùn)動時

平行于x軸方向：vx=at,Ro=*渥

平行于1y軸方向：y=vv/

聯(lián)立解得y=2R）

如圖，過N點作速度的垂線交x軸于。點，。即為粒子在第一象限做勻速圓周運(yùn)動的圓心，PN為半徑,因

為ON=y=2Ro,/PNO=45°,所以PN=2啦R（）.

由于洛倫茲力提供向心力，故利瑪=第，其中封為進(jìn)入第一象艱的速度，大小為v=，L，o，

解得Bi=??（）.

【模型演練4】.（西南名校聯(lián)盟2021屆高三適應(yīng)性月考）如圖所示，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，?！ㄉ渚€。為頂點）與

y軸夾角為30。,。？與〉，軸所圍區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為及OP與工軸之間存在

勻強(qiáng)電場，方向沿x軸負(fù)方向。一個帶電粒子經(jīng)加速電壓U加速后，以與OP平行的速度從N點進(jìn)人磁場,

ON間距為2d,帶電粒子從OP上的某點4（圖中未畫出）垂直于OP離開磁場，從x軸上的某點C（圖中未畫

出）垂直丁x軸離開電場，不計粒子的重力。求：

⑴帶電粒子的電性及比荷；

（2）節(jié)電粒子在第一象限中的運(yùn)動時間；

⑶勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度。

【解析】：（1）磁場方向垂直紙面向外，粒子垂直于。，離開磁場,

則所受洛倫茲力在速度方向的右側(cè)，可知粒子帶正電①

畫出運(yùn)動軌跡，由幾何關(guān)系可得

聯(lián)立②③④式解得9=至⑤

mB2d2

(2)由④?式可得粒子進(jìn)入磁場時的速度為⑥

Bd

此后進(jìn)入電場，當(dāng)出射方向和X軸垂直時，可知粒子在X方向的分速度減為零，沿y軸方向可視為做勻速直

線運(yùn)動。垂直。P出射時，與豎直方向夾角為60。

vy=vcos60°⑦

在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，運(yùn)動路徑為四分之一圓周，在磁場中的運(yùn)動時間

nr

Z,=2v⑧

從OP上的出射點到O點的距離為/=2"cos3()o+r⑨

/ccs300

則在電場中的運(yùn)動時間為=竺3_⑩

%

在第一象限中運(yùn)動的總時間為

(6I2國TI)B/

/=Z.+t=---------------——?

'24U

(3)在x方向上做勻減速運(yùn)動3=?

垂直出射，x方向速度恰好減到0

?

vt=I?sin60°

聯(lián)立⑥⑨⑩???式可得E=>FU?

2d

五.帶電粒子在組合場中運(yùn)動的應(yīng)用…質(zhì)譜儀模型

【模型構(gòu)建】

1.作用

測量帶電粒子質(zhì)量和分離同位素的儀器.

（2）偏轉(zhuǎn)磁場：qvB=—,/=2r：

由以上兩式可得,一（產(chǎn)%

q/aq2U

,n~2U'〃尸訴

【模型演練1】（2020?福建龍巖市5月模擬）質(zhì)譜儀的原理如圖所示，虛線A。上方區(qū)域處在垂直紙面向外的

勻強(qiáng)磁場中，C、。間有一熒光屏.同位素離子源產(chǎn)生〃兩種電荷量相同的離子，無初速度進(jìn)入加速電

場,經(jīng)同一電壓加速后，垂直進(jìn)入磁場，〃離子恰好打在熒光屏C點，b離子恰好打在。點.離子重力不計.則

C.。離子在磁場中的運(yùn)動時間比》的長

D.a、b離子在磁場中的運(yùn)動時間相等

【答案】B

【解析】設(shè)離子進(jìn)入磁場的速度為V，在電場中出=品落在磁場中Bqv=nA聯(lián)立解得：「=符=\

由題圖知，力離子在磁場中運(yùn)動的軌道半徑較大，a、6為同位素，電荷量相同，所以力離子的質(zhì)

量大于。離子的質(zhì)量，所以A錯誤，B正確；在磁場中運(yùn)動的時間均為半個周期，即，=：=管，由于〃離

子的質(zhì)量大于〃離子的質(zhì)量，故/，離子在磁場中運(yùn)動的時間較長，C、D錯誤.

【模型演練2］（多選）（2020?江蘇南通等七市高三下學(xué)期6月三調(diào)）如圖所示，電荷量相等的兩種離子笈20

和敏22從容器下方的狹縫S飄入（初速度為零）電場區(qū)，經(jīng)電場加速后通過狹縫S2、S3垂直于滋場邊界MN

射入勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直紙面向里，離子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后發(fā)生分離，最終到達(dá)照相底片。匕不考慮離

子間的相互作用，則（）

A.電場力對每個加20和演：22做的功相等

B.頰22進(jìn)入磁場時的速度較大

C.嵐22在磁場中運(yùn)動的半徑較小

D.若加速電壓發(fā)生波動，兩種離子打在照相底片上的位置可能重疊

【答案】AD

【解析】電場力對粒子做的功為W=?U,則電場力對每個嵐20和頰22做的功相等，A正確；根據(jù)qU=

5后得尸所以包22（質(zhì)量較大）進(jìn)入磁場時的速度較小，B錯誤；根據(jù)和得「

=宗楞亙，因為笈22質(zhì)量較大，所以笈22在磁場中運(yùn)動的半徑較大，C錯誤；加速電壓發(fā)生波動，根據(jù)

r=#乎，兩種離子打在照相底片上的位置可能重疊（不同時刻），D正確.

【模型演練3】（2021屆江蘇省如皋市高三模擬）質(zhì)譜儀是一-種測量帶電粒子比荷的儀器，某型號質(zhì)譜儀的

內(nèi)部構(gòu)造如圖所示，M、N板間存在電壓為Uo的加速電場，半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為8的

勻強(qiáng)磁場，光屏放置于圓形磁場區(qū)域右側(cè)，光屏中心夕到圓形磁場區(qū)域圓心。的距離為2R。帶電粒子從S

點由靜止飄入M、N板間，經(jīng)電場加速后進(jìn)入圓形磁場區(qū)域，在磁場力作用下軌跡發(fā)生偏轉(zhuǎn)，最終打在光

屏上的某點，測量該點到。點的距離，便能推算出帶電粒子的比荷.不計帶電粒子的重力。

（1）若帶電粒子為電子，已知電子的電荷量為e,質(zhì)量為〃如求電子經(jīng)過電場加速后的速度大小n及電子

在磁場中運(yùn)動的軌跡半徑「；

⑵若某種帶電粒子通過電場加速和磁場偏轉(zhuǎn)后，打在光屏上的。點，已知P點到。點的距離為2&R，

求該帶電粒子的比荷幺及其在磁場中運(yùn)動的時間I。

【解析】

(1)電子在電場中加速，由動能定理有J肛)，一0

解得u=戶文

V恤

電子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，由=

類比有「'J產(chǎn)子

解得幺=2U。

m3B/

帶電粒子在磁場中運(yùn)動的圓心角艮［o=6o。，所以，='r

6

2冗m

周期T二

qB

IBM

所以，

【模型演練4】（2021屆云南省保山市智源中學(xué)高三一模）如圖，離子源產(chǎn)生某種離子，以初速度vo進(jìn)入兩

端電壓為U的加速電場加速后、從距離PQ邊界〃處進(jìn)入垂直紙面向外磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，進(jìn)

入磁場的速度是進(jìn)入電場速度的三倍。經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后從磁場卜.邊界PQ離開磁場，離開磁場時速度與邊界

PQ方向的夾角為60。。不計離子重力。求：

（1）該離?子的比荷；

⑵磁感應(yīng)強(qiáng)度

S-；J??…T亡..:..：..：.：..：..：..

4后

【答案】（1）幺a=也；（2）D^=—NJ

mU

【解析】（1）離子在電場中加速過程由動能定理得

〃z（3%了一:相片

解得'=與

⑵由磁場偏轉(zhuǎn)軌跡的幾何關(guān)系得cos60二￡a

R

解得R=2h

磁場中由洛倫茲力提供向心力qvB=m~

其中y=3%,旦=%代入解得B=3U

tnU8〃%

【模型演練5】（2021屆西南名校聯(lián)盟摸底診斷測試?yán)砭C物理試題）如圖所示，離子源產(chǎn)生的某種正離子，

由靜止經(jīng)加速電壓U加速后在紙面內(nèi)水平向右運(yùn)動，自坐標(biāo)原點。射入勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于紙面向

里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為從已知該離子剛好在磁場邊界的P點射出。P點坐標(biāo)為不計重力影響。

求：

（1）離子的比荷：

（2）粒子在磁場中運(yùn)動的時間。

曹明I

u

【答案】（1）(2)r=

2B21}3U

【解析】（1）設(shè)離子的質(zhì)量為〃7，電荷量為9,進(jìn)入磁場時的速度為％，則

qU〃=-1mv~、

粒子在磁場中有=

由幾何關(guān)系知r=2L

聯(lián)立解得幺二U

m2B^

2%用

⑵7=

T2冗Bl)

63U

【模型演練6】（2020?山西臨汾市二輪復(fù)習(xí)模擬）容器A中裝有大量的質(zhì)量、電荷量不同但均帶正電的粒子,

粒子從容器下方的小孔$不斷飄入加速電場(初速度可視為零)做直線運(yùn)動，通過小孔S2后從兩平行板中央

沿垂直電場方向射入偏轉(zhuǎn)電場.粒子通過平行板后沿垂直磁場方向進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為8、方向垂直紙面向里

的勻強(qiáng)磁場區(qū)域，最后打在感光片上，如圖所示.己知加速電場中S、S2間的加速電壓為U,偏轉(zhuǎn)電場極

板長為L兩板間距也為L,板間勻強(qiáng)電場強(qiáng)度E=半，方向水平向左(忽略板間外的電場)，平行板/的下

端與磁場邊界ab相交于點P,在邊界ab上實線處固定放置感光片.測得從容器A中逸出的所有粒子均打

在感光片PQ之間，且。距P的長度為33不考慮粒子所受重力與粒子間的相互作用，求：

(1)粒子射入磁場時，其速度方向與邊界ab間的夾角；

(2)射到感光片Q處的粒子的比荷(電荷量q與質(zhì)量,〃之比)；

(3)過子在磁場中運(yùn)動的最短時間.

【答案】(1)45°(2歷修(3)畸2

【解析】(1)設(shè)質(zhì)量為〃?、電荷量為夕的粒子通過孔S2的速度為W，貝lj：qU=^mv(T

粒子在平行板e、f間做類平拋運(yùn)動：L=vot,以=哈1,tanO=干

聯(lián)立可得：tan〃=l,則〃=45。，故其速度方向與邊界《必問的夾角為〃=45。.

(2)應(yīng)子在偏轉(zhuǎn)電場中沿場強(qiáng)方向的位移犬=%"=$故粒子從e板下端與水平方向成45。角斜何下射入勻強(qiáng)

磁場，如圖所示，設(shè)質(zhì)量為，〃、電荷量為(7的粒子射入磁場時的速度為v,做圓周運(yùn)動的軌道半徑為「，則

|'=、巾2+次=啦凹=2寸^

由幾何關(guān)系：r+r=(4L)2

則r=2巾L

飲8=痔,則尸器

聯(lián)立解得：介品

（3）設(shè)粒子在磁場中運(yùn)動的時間為3偏轉(zhuǎn)角為a,

（f.mmv2ImU

則M1I.遏片行彳

聯(lián)立可得：［=空^

3

因為粒子在磁場中運(yùn)動的偏轉(zhuǎn)角a=廣，所以粒了?打在P處時間最短，此時半徑為人

由幾何關(guān)系知：，+/2=心2,則/=乎￡

^^立可得?fmin—4U-［6f/*

六,帶電粒子在組合場中運(yùn)動的應(yīng)用一回旋加速器模型

I.構(gòu)造：

如圖所示，。|、6是半圓形金屬盒，。形盒處于勻強(qiáng)磁場中，。形盒的縫隙處接交流電源.

2.原理:

交流電周期和粒子做圓周運(yùn)動的周期相等，使粒子每經(jīng)過一次。形盒縫隙，粒子被加速一次.

3.最大動能：

由/”/=喑、以m=5"m2得比m=￡誓，粒子獲得的最大動能由磁感應(yīng)強(qiáng)度8和盒半徑R決定，與加

2ALan

速電壓無關(guān).

4.總時間:

粒子在磁場中運(yùn)動一個周期，被電場加速兩次，每次增加動能式/,加速次數(shù)〃=留，粒子在磁場中運(yùn)動的

Ekm2?！?？IlBR2

總時間t=-T=——=—

【模型演練1］（多選）（2021?山東煙臺市第一學(xué)期期末）如圖所示是回旋加速器的示意圖，其核心部分是兩個

。形金屬盒，分別與高頻交流電源連接，兩個。形金屬盒間的狹縫中形成周期性變化的電場，使粒了在通

過狹縫時都能得到加速，兩個。形金屬盒處于垂直于盒底的勻強(qiáng)磁場中，下列說法中正確的是（）

A.加速電壓越大，粒子最終射出時獲得的動能就越大

B.粒子射出時的最大動能與加速電壓無關(guān)，與。形金屬盒的半徑和磁感應(yīng)強(qiáng)度有關(guān)

C.若增大加速電壓，粒子在金屬盒間的加速次數(shù)將減少，在回旋加速器中運(yùn)動的時間將減小

D.粒子第5次被加速前、后的軌道半徑之比為?。杭?/p>

【答案】BC

【解析】粒子在磁場中做圓周運(yùn)動，由牛頓第二定律得：仆/=〃?亨，解得…m=簪,則粒子獲得的最

大動能為：七"=3八儲=縹件，知粒子獲得的最大動能與加速電壓無關(guān)，與。形金屬盒的半徑R和磁感

應(yīng)強(qiáng)度6有關(guān)，故A錯誤，B正確；對粒子，由動能定理得：噂，，加速次數(shù)：〃=需與，增大加

速電壓U，粒子在金屬盒間的加速次數(shù)將減少，粒子在回旋加速器中運(yùn)動的時間：,=?7-翳將減小，故C

正確；對粒子，由動能定理得：叼U=T〃?+2,解得*.粒子在磁場中做圓周運(yùn)動，由牛頓第二定

律得：小，,陽=〃弓，解得：誓，則粒子第5次被加速前、后的軌道半徑之比為：￡=嗇，故D

錯誤.

【模型演練2］（多選）（2021?福建龍巖市3月質(zhì)量檢查）回旋加速器是加速帶電粒子的裝置，如圖所示.其核

心部件是分別與高頻交流電源兩極相連接的兩個D形金屬盒（。、兩盒間的狹縫中形成周期性變化的

電場，使粒子在通過狹縫時都能得到加速，兩。形金屬盒處于垂直于盒底的勻強(qiáng)磁場中，。形盒的半徑為

R.質(zhì)量為小電荷量為q的質(zhì)子從。半盒的質(zhì)子源（A點）由靜止釋放，加速到最大動能后經(jīng)粒子出口處

射出.若忽略質(zhì)子在電場中的加速時間，且不考慮相對論效應(yīng)，則卜.列說法正確的是（）

A.質(zhì)子加速后的最大動能反m與交變電壓U大小無關(guān)

B.質(zhì)子在加速器中的運(yùn)行時間與交變電壓U大小無關(guān)

C.回旋加速器所加交變電壓的周期為兀外醫(yī)

D.及2盒內(nèi)質(zhì)子的軌道半徑由小到大之比為1：?。盒。骸?/p>

【答案】ACD

【解析】質(zhì)子在回旋加速器中做圓周運(yùn)動，洛倫茲力提供向心力，有小”婚則尸誓，當(dāng)『R時，

質(zhì)子有最大動能：E"=；〃畤，=嗒H，知質(zhì)子加速后的最大動能反"1與交變電壓U大小無關(guān)，故A正確；

質(zhì)子離開回旋加速器時的動能是一定的，與加速電壓無關(guān)，由7=需可知相鄰兩次經(jīng)過電場加速的時間間

隔不變，獲得的動能為故電壓越大，加速的次數(shù)〃越少，在加速器中的運(yùn)行時間越短，故B錯誤；回

旋加速器所加交變電壓的周期與質(zhì)子在。形盒中運(yùn)動的周期相同，由7=黑,R=*，Ekm=57Wm2知，T

c/15qtsz

=叭型,故C正確；質(zhì)子每經(jīng)過1次加速電場動能增大qU,即6盒內(nèi)質(zhì)子的動能由小到大依次為qu、

3qU、5qU...,又-=饋="票，則半徑由小到大之比為?：#：小：…，故D正確.

【模型演練3】（2021北京東城一模）在研究原子核的內(nèi)部結(jié)構(gòu)時，需要用能量很高的粒子去轟擊原子核。

粒子加速器可以用人工方法使帶電粒子獲得很大速度和能量。圖甲是回旋加速器的結(jié)構(gòu)示意圖，D和D2

是兩個中空的半徑為R的半圓型金屬盒，兩盒之間留有間距為d的窄縫，它們之間有一定的電勢差。兩個

金屬盒處于與盒面垂直的勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為夙5盒的中央A處的粒子源可以產(chǎn)生質(zhì)量為加、電

荷量為的粒子。粒子在兩盒之間被電場加速，之后進(jìn)入磁場后做勻速圓周運(yùn)動。經(jīng)過若干次加速后，將

粒子從金屬盒邊緣引出。設(shè)粒子在交變電場中運(yùn)動時電壓大小為U,不考慮粒子離開A處時的速度、粒子

重力、粒了間的相互作用及相對論效應(yīng)。

⑴求粒子被引出時的動能4；

⑵求粒子被電場加速的次數(shù)比

⑶隨著粒子在電場中的不斷加速，粒子在磁場中的運(yùn)動速率一次比一次增大，然而粒子每次在金屬盒中的

運(yùn)動時間卻相同，粒子在交變電場中加速的總時間也可以忽略。已知lOMeV以上的回旋加速器中磁感應(yīng)

強(qiáng)度的數(shù)量級為1