高中數(shù)學(xué)中的分類(lèi)討論及其應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)中的分類(lèi)討論及其應(yīng)用

所謂分類(lèi)討論，即對(duì)問(wèn)題中的各種情況進(jìn)行分類(lèi)，或?qū)λ婕暗姆秶M(jìn)行

分割，然后分別研究和求解，最后整合得答案，即有“分”有“合”，先

“分”后“合”的一種解題策略。它既是一種數(shù)學(xué)思想，也是一種邏輯方

法，故稱(chēng)分類(lèi)討論的思想方法。應(yīng)用分類(lèi)討論解題既要弄清引發(fā)分類(lèi)的原

因，又要掌握科學(xué)分類(lèi)的原則，即不重復(fù)，不遺漏。本文擬就引發(fā)分類(lèi)的

常見(jiàn)原因、求解方法例說(shuō)如下。

一、由數(shù)學(xué)概念引發(fā)的分類(lèi)討論

數(shù)學(xué)中的有些概念是分類(lèi)定義的，如絕對(duì)值、分段函數(shù)等；有些有一定的

限制，如直線(xiàn)斜率無(wú)=tan*中，,萬(wàn)等。解題時(shí)就要從所給定義的概念

來(lái)進(jìn)行分類(lèi)討論。

例1.解方程4*+|1-21=11。

分析：去掉絕對(duì)值符號(hào)是關(guān)鍵，由此引發(fā)分類(lèi)討論，顯然應(yīng)從「2*的正負(fù)

來(lái)分類(lèi)。

解：(1)當(dāng)1-2*之0,即xWO時(shí)，原方程化為

4*-2*+1=11,即’24,

2、工±叵

解得22

而22<0,無(wú)解；

2,」+也>1

又由22知x>0,舍去。

(2)當(dāng)1-2,〈。,即x>0時(shí)，原方程化為4*+2*-1=11,

2*=--±-

解得22

2K=----<0

可見(jiàn)22,無(wú)解;

2X-------F-2

而由22,得x=1l°gz3

綜上知，原方程的解為x=kg23。

1,x>0

/(x)=,

例2.I已知、-1，x<°,解不等式X+(x+2)?/(x+2)=5。

分析：分段函數(shù)本身就是一種分類(lèi)討論，需對(duì)函數(shù)的每一段情況分別進(jìn)行

研究。依題意本題要以x+2的正負(fù)來(lái)分類(lèi)求解。

解：當(dāng)x+220時(shí)，原不等式可化為

___2￡x￡—

x+x+2<5,解是2

當(dāng)x+2<0時(shí)，原不等式可化為

x-5+2)<5,解得x<-2。

(-821J

綜上知，原不等式的解集為L(zhǎng)0°'2O

二、由運(yùn)算要求引發(fā)的分類(lèi)討論

有的數(shù)學(xué)運(yùn)算有嚴(yán)格的限制，解題時(shí)必須按要求進(jìn)行。如除法運(yùn)算中除式

不能為零；在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)開(kāi)偶次方被開(kāi)方數(shù)必為非負(fù)數(shù)；解方程、不等式

時(shí)，兩邊分別乘同一個(gè)數(shù)是否為零、是正數(shù)還是負(fù)數(shù)等都需要按不同的運(yùn)

算要求分類(lèi)討論。

9

且a盧1)

例3.解不等式/o

分析：因未知數(shù)出現(xiàn)在指數(shù)位置時(shí)常取對(duì)數(shù)(這里顯然以a為底)，但不

等號(hào)的方向如何確定？需要分類(lèi)討論。

解：因則原不等式等價(jià)于

(*)

(1)當(dāng)時(shí)，(*)的兩邊取以a為底的對(duì)數(shù)，得

029o2

2+Qogflx)>-logttx<=i>2(logflx)-91ogax+4>0

解出1%'4或18》>4

所以0<x<出_或

(2)當(dāng)0<a<1時(shí)，則有

(21ogax-l)(logax-4)<0

1,，

一<log.x<4

解得2

所以/<X<'值。

所以原不等式的解集為：

&>1時(shí)，(z|0<x<G或x>a'}.

4

0<a<l時(shí)，(z|?<x<4^]o

三、由定理、公式的限制條件引發(fā)的分類(lèi)討論

有些定理、公式在不同條件下有著不同的結(jié)論，故在應(yīng)用時(shí)須進(jìn)行分類(lèi)討

論。如等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式應(yīng)分q=l,q#l來(lái)討論；二次函數(shù)的條件

最值需要對(duì)相應(yīng)的拋物線(xiàn)開(kāi)口方向、極值點(diǎn)X。與約束條件［4,的位置

關(guān)系分類(lèi)討論。

例4.首項(xiàng)為1,公比為q(0>°)的等比數(shù)列前n項(xiàng)和為號(hào)，設(shè)

S*

*一釬，-1儂*

冬+in=1,2,…，求月一°o

解：等比數(shù)列｛an｝的公比為式。>0),首項(xiàng)的=1,則

(1)當(dāng)q=l時(shí).，=??1=?

limT=lim-^―=lim——=1

所以“廿IS*”+1

6—

(2)當(dāng)qWl時(shí)一，"1一41一9,

T=A_=k￡,1-產(chǎn)一1--

所以*S*+1-1-01-尸。

為確定其極限，再對(duì)q鞫短致鄭?/P〉

1-0

c,limZ=—=1

①若0<q<1,則".81-0.

i-(-y

litnT=lim-^―：---=lim----4-1-0_J

“T8川->8/+1-110-0q

②若9》1,則

,1(0<1)

綜上知,

本題也可減少分類(lèi)層次，按q=l,0<0<1，4>1來(lái)分類(lèi)討論。

/(x)=-------(xeR,、,,、*

例5.已知函數(shù)&-X,設(shè)g(x)=x2+|&-a)/(x)|,

求g0)的最小值。

分析：先將原函數(shù)化為85)=/+次-(4-1)|(^^),然后去掉絕對(duì)值符號(hào)

分成兩段；再對(duì)每段的一元二次函數(shù)就a進(jìn)行二級(jí)分類(lèi)討論，求出各段上

的最小值；結(jié)合圖象再求出整個(gè)函數(shù)的最小值。

解：g(x)=x2+|x-(<2-1)1(x#a)

(1)工之&_1且不戶(hù)&時(shí)，有

g(x)=x*+x+l-a=(x+—)2+--a

24。

a_12——a之__

如果一2,即一2時(shí)，由函數(shù)g。)在區(qū)間［a-l,a)及(a,+8)上的

圖象可知，g(x)mn=g(a一1)=S-1尸；

如果222時(shí)，由函數(shù)在區(qū)間伍-1，a)及(0，+8)

,、，1、3

同缶ig(x)mii=g(-K)=7-a

上的圖象可知，24。

(2)當(dāng)x<a-l時(shí)，

g(力=x2-x-\+a=(x-^)2+a-^

a-1>—,即a>—

如果22時(shí)，

5

gS%加a—-

4；

17

a-1<—,即以<—

如果22時(shí)

gWmh=g(aT)=3-1)，

353

又當(dāng)時(shí)，SR一=S—/>°

3QI

a,時(shí)GRY1加3-城>。

3/、5

綜上知,當(dāng)..時(shí)，蚣"”一口

」vav之時(shí)",o

當(dāng)2-2Jg(x)mA=g(a-l)=(a-l),

1/W1、/、，-3

a<—(a產(chǎn))g(x)mt>=g(—Ja

當(dāng)2時(shí)2,111124；

__2

當(dāng)“一一5時(shí)?，g")無(wú)最小值。

四、由函數(shù)性質(zhì)引發(fā)的分類(lèi)討論

對(duì)于涉及函數(shù)定義域、值域及性質(zhì)的問(wèn)題，要根據(jù)函數(shù)性質(zhì)來(lái)分類(lèi)討論。

例6.已知函數(shù)〃x)=ax3+3x2-x+l在R上是減函數(shù)，求a的取值范

圍。

分析：本題是以導(dǎo)數(shù)為工具，研究函數(shù)單調(diào)性的問(wèn)題，所以求導(dǎo)數(shù)是必不

可少的步驟。求出了'(X)恒小于零時(shí)a的范圍，因由已知的解析式知

awR,故需對(duì)a的取值范圍分類(lèi)討論。

解：求函數(shù)/1)的導(dǎo)數(shù)，得

/'(X)=3ax2+6x-1

當(dāng)/(x)<O(xe&)時(shí),是減函數(shù)。

2

3ax+6x-1<O(xeR)=a<0且A=36+12a<0=a<-3o

所以當(dāng)a<-3時(shí)，由/⑺知是減函數(shù)。

所求范圍(一8，-笏只是所求取值范圍的一部分，是它的充分條件。還需

對(duì)a的取值范圍進(jìn)行分類(lèi)，再對(duì)每一類(lèi)研究/⑶是否是R上的減函數(shù)。

因?yàn)橛梢阎馕鍪娇芍猘的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，所以再劃分為一3與

(-3,+8)兩類(lèi)來(lái)討論。

1O

/(X)=-3?+3/-X+1=-3(x一63+]

(1)當(dāng)a=-3時(shí),

由函數(shù)丁=/的單調(diào)性及圖象的平移變換，可知當(dāng)a=—3時(shí)，/(x)(xeR)

是減函數(shù)；

(2)當(dāng)a>-3時(shí)，在R上總存在一個(gè)區(qū)間，其上有了‘(x)>°,所以當(dāng)

a>-3時(shí)，函數(shù)/(x)(xeR)不是減函數(shù)。

綜上知，所求a的取值范圍是(―，-3］。

本題的分類(lèi)與整合完全是由教材中學(xué)習(xí)的函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系定理是

非充要的所引發(fā)的，先求出所求取值范圍的一個(gè)充分條件，然后再分類(lèi)研

究。應(yīng)當(dāng)注意的是，本題是對(duì)a的取值范圍的分類(lèi)，而不是對(duì)尸5)的

正、負(fù)、零的分類(lèi)，弄清楚分類(lèi)對(duì)象是至關(guān)重要的。

五、由圖形位置不同引發(fā)的討論

有些涉