《材料力學(xué)》第9章.壓桿穩(wěn)定.習(xí)題解

...wd......wd......wd...第九章壓桿穩(wěn)定習(xí)題解[習(xí)題9-1]在§9-2中已對(duì)兩端球形鉸支的等截面細(xì)長(zhǎng)壓桿，按圖a所示坐標(biāo)系及撓度曲線形狀，導(dǎo)出了臨界應(yīng)力公式。試分析當(dāng)分別取圖b,c,d所示坐標(biāo)系及撓曲線形狀時(shí)，壓桿在作用下的撓曲線微分方程是否與圖a情況下的一樣，由此所得公式又是否一樣。解：撓曲線微分方程與坐標(biāo)系的y軸正向規(guī)定有關(guān)，與撓曲線的位置無(wú)關(guān)。因?yàn)椤瞓〕圖與〔a〕圖具有一樣的坐標(biāo)系，所以它們的撓曲線微分方程一樣，都是?！瞔〕、(d)的坐標(biāo)系一樣，它們具有一樣的撓曲線微分方程：，顯然，這微分方程與〔a〕的微分方程不同。臨界力只與壓桿的抗彎剛度、長(zhǎng)度與兩端的支承情況有關(guān)，與坐標(biāo)系的選取、撓曲線的位置等因素?zé)o關(guān)。因此，以上四種情形的臨界力具有一樣的公式，即：。[習(xí)題9-2]圖示各桿材料和截面均一樣，試問桿能承受的壓力哪根最大，哪根最小〔圖f所示桿在中間支承處不能轉(zhuǎn)動(dòng)〕解：壓桿能承受的臨界壓力為：。由這公式可知，對(duì)于材料和截面一樣的壓桿，它們能承受的壓力與原壓相的相當(dāng)長(zhǎng)度的平方成反比，其中，為與約束情況有關(guān)的長(zhǎng)度系數(shù)。〔a〕〔b〕〔c〕〔d〕〔e〕〔f〕〔下段〕；〔上段〕故圖e所示桿最小，圖f所示桿最大。[習(xí)題9-3]圖a,b所示的兩細(xì)長(zhǎng)桿均與根基剛性連接，但第一根桿〔圖a〕的根基放在彈性地基上，第二根桿〔圖b〕的根基放在剛性地基上。試問兩桿的臨界力是否均為為什么并由此判斷壓桿長(zhǎng)因數(shù)是否可能大于2。螺旋千斤頂〔圖c〕的底座對(duì)絲桿〔起頂桿〕的穩(wěn)定性有無(wú)影響校核絲桿穩(wěn)定性時(shí)，把它看作下端固定〔固定于底座上〕、上端自由、長(zhǎng)度為的壓桿是否偏于安全解：臨界力與壓桿兩端的支承情況有關(guān)。因?yàn)?a)的下支座不同于(b)的下支座，所以它們的臨界力計(jì)算公式不同。(b)為一端固定，一端自由的情況，它的長(zhǎng)度因素，其臨界力為：。但是，(a)為一端彈簧支座，一端自由的情況，它的長(zhǎng)度因素，因此，不能用來(lái)計(jì)算臨界力。為了考察〔a〕情況下的臨界力，我們不妨設(shè)下支座〔B〕的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度，且無(wú)側(cè)向位移，則：令，得：微分方程的通解為：由邊界條件：，，；，解得：，，整理后得到穩(wěn)定方程：用試算法得：故得到壓桿的臨界力：。因此，長(zhǎng)度因素可以大于2。這與彈性支座的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度C有關(guān)，C越小，則值越大。當(dāng)時(shí)，。螺旋千斤頂?shù)牡鬃c地面不是剛性連接，即不是固定的。它們之間是靠摩擦力來(lái)維持相對(duì)的靜止。當(dāng)軸向壓力不是很大，或地面較滑時(shí)，底座與地面之間有相對(duì)滑動(dòng)，此時(shí)，不能看作固定端；當(dāng)軸向壓力很大，或地面很粗糙時(shí)，底座與地面之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，此時(shí)，可以看作是固定端。因此，校核絲桿穩(wěn)定性時(shí)，把它看作上端自由，下端為具有一定轉(zhuǎn)動(dòng)剛度的彈性支座較適宜。這種情況，，算出來(lái)的臨界力比“把它看作下端固定〔固定于底座上〕、上端自由、長(zhǎng)度為的壓桿〞算出來(lái)的臨界力要小。譬如，設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)剛度，則：，。因此，校核絲桿穩(wěn)定性時(shí)，把它看作下端固定〔固定于底座上〕、上端自由、長(zhǎng)度為的壓桿不是偏于安全，而是偏于不安全。[習(xí)題9-4]試推導(dǎo)兩端固定、彎曲剛度為，長(zhǎng)度為的等截面中心受壓直桿的臨界應(yīng)力的歐拉公式。[解]：設(shè)壓桿向右彎曲。壓桿處于臨界狀態(tài)時(shí)，兩端的豎向反力為，水平反力為0，約束反力偶矩兩端相等，用表示，下標(biāo)表示端部end的意思。假設(shè)取下截離體為研究對(duì)象，則的轉(zhuǎn)向?yàn)槟孓D(zhuǎn)。，令，則上述微分方程的通解為：…………….(a)邊界條件：=1\*GB3①；：；。=2\*GB3②：；。把A、B的值代入〔a〕得：邊界條件：=3\*GB3③；：，=4\*GB3④：以上兩式均要求：，其最小解是：，或。故有：，因此：。[習(xí)題9-5]長(zhǎng)的10號(hào)工字鋼，在溫度為時(shí)安裝在兩個(gè)固定支座之間，這時(shí)桿不受力。鋼的線膨脹系數(shù)，。試問當(dāng)溫度升高至多少度時(shí)，桿將喪失穩(wěn)定性解：[習(xí)題9-6]兩根直徑為的立柱，上、下端分別與強(qiáng)勁的頂、底塊剛性連接，如以以下列圖。試根據(jù)桿端的約束條件，分析在總壓力F作用下，立柱可能產(chǎn)生的幾種失穩(wěn)形態(tài)下的撓曲線形狀，分別寫出對(duì)應(yīng)的總壓力F之臨界值的算式〔按細(xì)長(zhǎng)桿考慮〕，確定最小臨界力的算式。解：在總壓力F作用下，立柱微彎時(shí)可能有以下三種情況：〔a〕每根立柱作為兩端固定的壓桿分別失穩(wěn)：〔b〕兩根立柱一起作為下端固定而上端自由的體系在自身平面內(nèi)失穩(wěn)失穩(wěn)時(shí)整體在面內(nèi)彎曲，則1，2兩桿組成一組合截面?！瞔〕兩根立柱一起作為下端固定而上端自由的體系在面外失穩(wěn)故面外失穩(wěn)時(shí)最小：。[習(xí)題9-7]圖示構(gòu)造ABCD由三根直徑均為的圓截面鋼桿組成，在B點(diǎn)鉸支，而在A點(diǎn)和C點(diǎn)固定，D為鉸接點(diǎn)，。假設(shè)構(gòu)造由于桿件在平面ABCD內(nèi)彈性失穩(wěn)而喪失承載能力，試確定作用于結(jié)點(diǎn)D處的荷載F的臨界值。解：桿DB為兩端鉸支，桿DA及DC為一端鉸支一端固定，選取。此構(gòu)造為超靜定構(gòu)造，當(dāng)桿DB失穩(wěn)時(shí)構(gòu)造仍能繼續(xù)承載，直到桿AD及DC也失穩(wěn)時(shí)整個(gè)構(gòu)造才喪失承載能力，故[習(xí)題9-8]圖示鉸接桿系A(chǔ)BC由兩根具有一樣截面和同樣材料的細(xì)長(zhǎng)桿所組成。假設(shè)由于桿件在平面ABC內(nèi)失穩(wěn)而引起毀壞，試確定荷載F為最大時(shí)的角〔假設(shè)〕。解：要使設(shè)計(jì)合理，必使AB桿與BC桿同時(shí)失穩(wěn)，即：[習(xí)題9-9]下端固定、上端鉸支、長(zhǎng)的壓桿，由兩根10號(hào)槽鋼焊接而成，如以以下列圖，并符合鋼構(gòu)造設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)中實(shí)腹式b類截面中心受壓桿的要求。桿的材料為Q235鋼，強(qiáng)度許用應(yīng)力，試求壓桿的許可荷載。解：查型鋼表得：[習(xí)題9-10]如果桿分別由以下材料制成：〔1〕比例極限，彈性模量的鋼；〔2〕，，含鎳3.5%的鎳鋼；〔3〕，的松木。試求可用歐拉公式計(jì)算臨界力的壓桿的最小柔度。解：〔1〕〔2〕〔3〕[習(xí)題9-11]兩端鉸支、強(qiáng)度等級(jí)為TC13的木柱，截面為150mm×150mm的正方形，長(zhǎng)度，強(qiáng)度許用應(yīng)力。試求木柱的許可荷載。解：由公式〔9-12a〕：A[習(xí)題9-12]圖示構(gòu)造由鋼曲桿AB和強(qiáng)度等級(jí)為TC13的木桿BC組成。構(gòu)造所有的連接均為鉸連接，在B點(diǎn)處承受豎直荷載，木材的強(qiáng)度許用應(yīng)力。試校核BC桿的穩(wěn)定性。A解：把BC桿切斷，代之以軸力N，則由公式〔9—12b〕得：因?yàn)?，所以壓桿BC穩(wěn)定。[習(xí)題9-13]一支柱由4根的角鋼組成〔如圖〕，并符合鋼構(gòu)造設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)中實(shí)腹式b類截面中心受壓桿的要求。支柱的兩端為鉸支，柱長(zhǎng)，壓力為。假設(shè)材料為Q235鋼，強(qiáng)度許用應(yīng)力，試求支柱橫截面邊長(zhǎng)a的尺寸。解：〔查表：，〕，查表得：m4=mm[習(xí)題9-14]某桁架的受壓弦桿長(zhǎng)4m,由綴板焊成一體，并符合鋼構(gòu)造設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)中實(shí)腹式b類截面中心受壓桿的要求，截面形式如以以下列圖，材料為Q235鋼，。假設(shè)按兩端鉸支考慮，試求桿所能承受的許可壓力。解：由型鋼表查得角鋼：得查表：故[習(xí)題9-15]圖示構(gòu)造中，BC為圓截面桿，其直徑；AC邊長(zhǎng)的正方形截面桿。該構(gòu)造的約束情況為A端固定，B、C為球形鉸。兩桿的材料均為Q235鋼，彈性模量，可各自獨(dú)立發(fā)生彎曲互不影響。假設(shè)構(gòu)造的穩(wěn)定安全系數(shù)，試求所能承受的許可壓力。解：BC段為兩端鉸支，AB桿為一端固定，一端鉸支，故[習(xí)題9-16]圖示一簡(jiǎn)單托架，其撐桿AB為圓截面木桿，強(qiáng)度等級(jí)為TC15。假設(shè)架上受集度為的均布荷載作用，AB兩端為柱形鉸，材料的強(qiáng)度許用應(yīng)力，試求撐桿所需的直徑d。解：取以上局部為別離體，由，有設(shè)，m則求出的與所設(shè)根本相符，故撐桿直徑選用m。[習(xí)題9-17]圖示構(gòu)造中桿AC與CD均由Q235鋼制成，C，D兩處均為球鉸。mm，mm，mm；，，；強(qiáng)度安全因數(shù)，穩(wěn)定安全因數(shù)。試確定該構(gòu)造的許可荷載。解：〔1〕桿CD受壓力梁BC中最大彎矩〔2〕梁BC中〔3〕桿CD〔Q235鋼的=〔由梁力矩平衡得〕故，由〔2〕、〔3〕可知，[習(xí)題9-18]圖示構(gòu)造中，鋼梁AB及立柱CD分別由16號(hào)工字鋼和連成一體的兩根角鋼組成，桿CD符合鋼構(gòu)造設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)中實(shí)腹式b類截面中心受壓桿的要求。均布荷載集度。梁及柱的材料均為Q235鋼，，。試驗(yàn)算梁和立柱是否安全。解：〔1〕求多余約束力把CD桿去掉，代之以約束反力。由變形協(xié)調(diào)條件可知，查型鋼表得：16號(hào)工字鋼的，L形角鋼的面積：，，〔2