2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)沖刺練習(xí)：利用矩形的性質(zhì)求角度

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)沖刺練習(xí)：利用矩形的性質(zhì)求角度1．如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，，，且∠ABC=90°．

（1）求證：四邊形ABCD是矩形．（2）若∠ACB=30°，AB=1，求①∠AOB的度數(shù)；②四邊形ABCD的面積．2．已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)E，點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)，連接CG，CG的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接FD.(1)求證：AB＝AF；(2)若AG＝AB，四邊形ACDF為矩形，試求出∠BCD的度數(shù)？3．如圖，在矩形ABCD中，以點(diǎn)D為圓心，DA長(zhǎng)為半徑畫弧，交CD于點(diǎn)E，以點(diǎn)A為圓心，AE長(zhǎng)為半徑畫弧，恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，連結(jié)BE、AE．求∠EBC的度數(shù)．4．如圖，在矩形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)．（1）求證：．（2）若，求的度數(shù)．5．如圖，長(zhǎng)方形中，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，點(diǎn)為中點(diǎn)；(1)尺規(guī)作圖：請(qǐng)作出的角平分線，交于點(diǎn)（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)求直線的函數(shù)表達(dá)式；(3)在線段上是否存在一點(diǎn)P使最小，若存在求出此時(shí)的最小值；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．6．如圖，已知四邊形是矩形，為對(duì)角線．(1)把繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，且在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，請(qǐng)你在圖中作出．（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若，求的大小．7．如圖，在矩形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，，交于F，垂足為E，求的度數(shù)．

8．如圖，將矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到矩形，點(diǎn)在上，延長(zhǎng)交于點(diǎn).(1)求證：；(2)連接，若，求的度數(shù)．9．如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，．(1)求證：；(2)當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，若，求的度數(shù)．10．如圖，直線交軸于A點(diǎn)，交x軸于C點(diǎn)，以A，O，C為頂點(diǎn)作矩形AOCB，將矩形AOCB繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到矩形DOFE，直線AC交直線DF于G點(diǎn)．(1)求直線DF的解析式；(2)求證：OG平分；(3)在第一象限內(nèi)，是否存在點(diǎn)H，使以G，O，H為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形？若存在請(qǐng)求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)什么理由．11．如圖，在矩形ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，將沿直線AE翻折，使點(diǎn)D落在BC邊上點(diǎn)處（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，F(xiàn)為AD上一點(diǎn)，且，EF與BD相交于點(diǎn)G，試探究EF與BD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）設(shè)與BD相交于點(diǎn)H，在的條件下，若，，求BD的長(zhǎng)．12．如圖1，四邊形是一張長(zhǎng)方形紙片，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將紙片沿折疊后，點(diǎn)C、D分別落在、的位置上．（1）在圖1中，與交于點(diǎn)G，若，請(qǐng)你求出的度數(shù)．（2）在圖2中，與交于點(diǎn)H，試求的度數(shù)．（3）折疊后，得到的重合部分的圖形能否是等邊三角形？若能，直接寫出的度數(shù)；若不能，說(shuō)明理由．13．在矩形中，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接．(1)如圖（1），點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)的大小是否改變？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)如圖（2），連接，若，交于點(diǎn)，，，求的值．14．在矩形中，對(duì)角線，交于點(diǎn)O，．以為邊作正方形，與交于點(diǎn)P，如圖1所示．(1)求的大?。?2)將正方形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到正方形，與矩形的邊交于點(diǎn)Q，①如圖2，當(dāng)時(shí)，連接，直接寫出的大?。虎谌鐖D3，當(dāng)與不垂直時(shí)，連接，試探究的大小；(3)若，求的長(zhǎng)．15．【問題探究】（1）如圖1，在矩形中，點(diǎn)E在上，連接，，則的度數(shù)為________；（2）如圖2，在中，，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，連接，，延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使得，在下方作，連接，，若，求證：；【問題解決】（3）李師傅有一個(gè)如圖3所示的平行四邊形板材，點(diǎn)E是上一點(diǎn)，，連接，點(diǎn)O是的對(duì)稱中心，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，，作平分交于點(diǎn)G，連接，交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作交于點(diǎn)N，現(xiàn)李師傅要裁出三角形部件和三角形部件，根據(jù)使用要求三角形部件的面積與三角形部件的面積要相等．李師傅裁出的三角形部件和三角形部件是否滿足使用要求？并說(shuō)明理由．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)沖刺練習(xí)：利用矩形的性質(zhì)求角度》參考答案1．（1）見解析；（2）①60°，②.【分析】（1）根據(jù)AO=CO，BO=DO可知四邊形ABCD是平行四邊形，又∠ABC=90°，可證四邊形ABCD是矩形（2）利用直角△ABC中∠ABC=90°，∠ACB=300，可得∠BAC=60°，AC=2，BC=，即可求得四邊形ABCD的面積，同時(shí)利用矩形的性質(zhì)，對(duì)角線相等且互相平分，可得∠AOB=180°-2∠BAC【詳解】解：（1）證明：∵AO=CO，BO=DO∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC=90°，∴四邊形ABCD是矩形；（2）∵∠ABC=90°，∠ACB=300，AB=1∴∠BAC=60°，AC=2，BC=又∵矩形ABCD中，OA=OB∴∠AOB=180°-2∠BAC=60°S□ABCD=1×=【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定及性質(zhì)定理的應(yīng)用，會(huì)靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.2．（1）見解析；（2）120°.【分析】（1）只要證明AB=CD，AF=CD即可解決問題；（2）只要求出∠ADC=60°，即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠AFC=∠DCF，∵G是AD的中點(diǎn)，∴GA=GD，又∠AGF=∠CGD，∴△AGF≌△DGC，∴AF=CD，∴AB=AF．（2）∵四邊形ACDF是矩形∴AG=GD=FG=CG∵AB=AG，AB=CD∴GD=CD=GC∴△GCD是等邊三角形∴∠GDC=60°∵AD∥CB∴∠BCD=180°-∠GDC=120°【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題.3．22.5°【分析】根據(jù)題意可得AD=DE，AE=AB，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠D=∠ABC=∠DAB=90°，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分別算出∠DAE和∠EAB，再根據(jù)叫的和差關(guān)系可得答案．【詳解】解：由題意得：AD=DE，AE=AB，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=∠ABC=∠DAB=90°，∵AD=DE，∴∠DAE=45°，∴∠EAB=45°，∵AE=AB，∴∠EBA=∠AEB==67.5°，∴∠EBC=90°﹣67.5°=22.5°．考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；等腰直角三角形4．（1）見解析；（2）18°【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCD是矩形得出OA=OD，再證△AEO≌△DFO（AAS），即可得出結(jié)論．（2）由矩形的性質(zhì)得出∠BAD=90°，OA=OB，則∠OAB=∠OBA，結(jié)合已知求出∠BAE=36°，則∠OBA=∠OAB=54°，即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴，AC=BD；∴OA=OD∵AE⊥BD于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，∴∠AEO=∠DFO=90°，在△AEO和△DFO中，∴△AEO≌△DFO（AAS），∴AE=DF，（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∵∠BAE：∠EAD=2：3，∴∠BAE=36°，∵∠AEB=90°∴∠OBA=∠OAB=90°-36°=54°，∴∠EAO=∠OAB-∠BAE=54°-36°=18°．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．5．(1)見解析(2)(3)存在；【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作角平分線的步驟作圖即可；（2）先求出點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求函數(shù)的表達(dá)式即可；（3）作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)；連接，交于點(diǎn)；此時(shí)三點(diǎn)共線，的值最小；【詳解】（1）解：作圖如下：（2）解：如圖，作直線；∵平分∴在矩形中，∴∴是等腰直角三角形，∵點(diǎn)的坐標(biāo)為∴∴∵點(diǎn)為中點(diǎn)∴設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為：將、代入得：解得：∴直線的函數(shù)表達(dá)式為：（3）解：存在；如圖，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)；連接，交于點(diǎn)；則∴故當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小此時(shí)∵平分，點(diǎn)的坐標(biāo)為∴點(diǎn)的坐標(biāo)為∵∴即：的最小值為【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作角平分線、矩形的性質(zhì)、求一次函數(shù)的表達(dá)式、線段的最值問題；熟練運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達(dá)式、用軸對(duì)稱的性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段是解題的關(guān)鍵．6．(1)圖見解析(2)【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；（2）利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)證明，再利用平行線的性質(zhì)求出，可得結(jié)論．【詳解】（1）如圖，即為所求：

（2）解：∵四邊形是矩形，∴，，∴，∵∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖—旋轉(zhuǎn)變換、矩形的性質(zhì)和等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解是解決本題的關(guān)鍵．7．【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)可得，再結(jié)合可得;再說(shuō)明，進(jìn)而得到，最后根據(jù)角的和差即可解答．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，，，∵，∴．∵，∴．∴．∵，，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，求得是解答本題的關(guān)鍵．8．(1)見解析；(2)．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，再證明即可；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，由全等三角形的性質(zhì)得出，再計(jì)算即可得出答案．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，得：，，∴，，∵在矩形中，，∴，在和中，，∴，（2）解：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即的度數(shù)為．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確得出全等是解題的關(guān)鍵．9．(1)證明見解析；(2)．【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（）由四邊形是平行四邊形，得，即，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，又點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，所以，然后由三角形的判定方法即可求證；（）由四邊形為矩形，則，，，則，然后由三角形的外角性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得，再通過(guò)平行四邊形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，即，∴，∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴；（2）解：∵四邊形為矩形，∴，，，∴，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴的度數(shù)為．10．(1)(2)見解析(3)存在點(diǎn)H，使以G，O，H為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形，點(diǎn)H的坐標(biāo)是（0.8，1.6）、（1.2，0.4）或（0.4，0.8）．【分析】（1）首先根據(jù)直線交y軸于A點(diǎn)，交x軸于C點(diǎn)，可得A點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，1），C點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，0）；然后根據(jù)將矩形繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到矩形，可得F點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，2），D點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣1，0）；最后應(yīng)用待定系數(shù)法，求出直線DF的解析式即可．（2）首先作，交于點(diǎn)M，作，交于點(diǎn)N，再判斷出；然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出，即可判斷出，所以平分，據(jù)此解答即可．（3）存在點(diǎn)H，使以G，O，H為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形．根據(jù)題意，分三種情況：①當(dāng)時(shí)；②當(dāng)時(shí)；③當(dāng)時(shí)；然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，分類討論，求出所有滿足題意的點(diǎn)H的坐標(biāo)是多少即可．【詳解】（1）∵直線交y軸于A點(diǎn)，交x軸于C點(diǎn)，∴A點(diǎn)的坐標(biāo)是，C點(diǎn)的坐標(biāo)是，∵將矩形繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到矩形，∴F點(diǎn)的坐標(biāo)是，D點(diǎn)的坐標(biāo)是，設(shè)直線的解析式是，，解得，∴直線DF的解析式是：．（2）如圖1，作OM⊥DF，交DF于點(diǎn)M，作ON⊥CG，交CG于點(diǎn)N，，在和中，（HL），又，，在和中，（HL），，平分．（3）存在點(diǎn)H，使以G，O，H為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形．聯(lián)立解得∴點(diǎn)G的坐標(biāo)是，∴，∴OG所在的直線的斜率是：，①如圖2，，當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)是，則解得∴點(diǎn)H的坐標(biāo)是．②如圖3，，當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)是，則解得∴點(diǎn)H的坐標(biāo)是．③如圖4，，當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)是，則解得∴點(diǎn)H的坐標(biāo)是（0.4，0.8）．綜上可得，存在點(diǎn)H，使以G，O，H為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形，點(diǎn)H的坐標(biāo)是（0.8，1.6）、（1.2，0.4）或（0.4，0.8）．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)綜合題、等腰直角三角形的性質(zhì)和應(yīng)用、待定系數(shù)法求直線解析式以及全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握性質(zhì)定理以及數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．11．（1）見解析

（2）見解析

（3）【分析】（1）可利用矩形的性質(zhì)及同角的余角相等，通過(guò)證明兩組角相等證得三角形相似；（2）通過(guò)解直角三角形利用相等線段的轉(zhuǎn)換求得，進(jìn)而求解EF與BD的位置關(guān)系時(shí)垂直；（3）利用，根據(jù)，可得四邊形是矩形，進(jìn)而得，令，，根據(jù)≌，得，再根據(jù)∽求得，，根據(jù)∽，求得，再代入，進(jìn)而求解．【詳解】（1）證明：在矩形ABCD中，，，由折疊的性質(zhì)可知：，，，∽；（2）解：，理由：在中，，，，，，，，，，即；（3）解：，，，，四邊形是矩形，，令，，≌，，，∽，：：EC，：：a，即，，∽，：：，：：b，，，，解得，舍去，．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，折疊與對(duì)稱的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形的知識(shí)的綜合運(yùn)用．解題時(shí)能正確尋找相似三角形解決問題是關(guān)鍵．12．（1）65°；（2）90°；（3）60°或120°【分析】（1）由對(duì)頂角可知∠EGF=50°，根據(jù)平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得到∠GFE=∠GEF，再根據(jù)三角形內(nèi)角和求解即可；（2）過(guò)點(diǎn)C′作C′M∥AD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AHC′=∠MC′H，∠C′EB=∠MC′E，再由折疊的性質(zhì)可得∠D′C′E=∠C=90°，即可得到結(jié)果；（3）分當(dāng)AF＞DF時(shí)，當(dāng)AF＜DF時(shí)，兩種情況分別求解．【詳解】解：（1）在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠GFE=∠CEF，∵∠AGC′=50°，∴∠EGF=50°，由折疊的性質(zhì)可得：∠GEF=∠CEF，∴∠GFE=∠GEF，∴∠AFE=（180°-∠EGF）÷2=65°；（2）過(guò)點(diǎn)C′作C′M∥AD，可得：C′M∥BC，∴∠AHC′=∠MC′H，∠C′EB=∠MC′E，由折疊可知：∠D′C′E=∠C=90°，∴∠AHC′+∠C′EB=∠MC′H+∠MC′E=∠D′C′E=90°；（3）當(dāng)AF＞DF時(shí)，∵△EFG為等邊三角形，∴∠FEG=60°，由折疊的性質(zhì)可得：∠FEC=∠FEG=60°；當(dāng)AF＜DF時(shí)，∵△EFG為等邊三角形，∴∠FEG=60°，∴∠FEC=180°-60°=120°，綜上：重合部分的圖形能是等邊三角形，∠FEC的度數(shù)為60°或120°．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問題，等邊三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握性質(zhì)定理，結(jié)合折疊的性質(zhì)解決問題．13．(1)不變，理由見解析(2)【分析】（1）根據(jù)，可知，，，四點(diǎn)共圓，可得；（2）根據(jù)同角的余角相等可得，則，再利用兩個(gè)角相等證明∽，得，設(shè)，則，代入解方程即可．【詳解】（1）解：不變，理由如下：四邊形是矩形，，，，，，，四點(diǎn)共圓，，的大小不改變．（2）解：，，，，，，，，，，又，∽，，設(shè)，則，，，，