2024高中數(shù)學(xué)第二章概率2.3條件概率與獨(dú)立事件精練含解析北師大版選修2-3

PAGE7-§3條件概率與獨(dú)立事務(wù)A組1.設(shè)A與B是相互獨(dú)立事務(wù),則下列命題正確的是()A.A與B是對立事務(wù)B.A與B是互斥事務(wù)C.不相互獨(dú)立D.A與是相互獨(dú)立事務(wù)解析:若A與B是相互獨(dú)立事務(wù),則A與也是相互獨(dú)立事務(wù).答案:D2.國慶節(jié)放假,甲去北京旅游的概率為,乙、丙去北京旅游的概率分別為.假定三人的行動相互之間沒有影響,那么這段時間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為()A. B. C. D.解析:因甲、乙、丙去北京旅游的概率分別為.因此,他們不去北京旅游的概率分別為,所以,至少有1人去北京旅游的概率為P=1-.答案:B3.如圖,用K,A1,A2三類不同的元件連接成一個系統(tǒng).當(dāng)K正常工作且A1,A2至少有一個正常工作時,系統(tǒng)正常工作.已知K,A1,A2正常工作的概率依次為0.9,0.8,0.8,則系統(tǒng)正常工作的概率為()A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576解析:方法一由題意知K,A1,A2正常工作的概率分別為P(K)=0.9,P(A1)=0.8,P(A2)=0.8,∵K,A1,A2相互獨(dú)立,∴A1,A2至少有一個正常工作的概率為P(A2)+P(A1)+P(A1A2)=(1-0.8)×0.8+0.8×(1-0.8)+0.8×0.8=0.96.∴系統(tǒng)正常工作的概率為P(K)[P(A2)+P(A1)+P(A1A2)]=0.9×0.96=0.864.方法二A1,A2至少有一個正常工作的概率為1-P()=1-(1-0.8)(1-0.8)=0.96,故系統(tǒng)正常工作的概率為P(K)[1-P()]=0.9×0.96=0.864.答案:B4.已知A,B,C是三個相互獨(dú)立事務(wù),若事務(wù)A發(fā)生的概率為,事務(wù)B發(fā)生的概率為,事務(wù)C發(fā)生的概率為,則A,B,C均未發(fā)生的概率為.

解析:A,B,C均未發(fā)生的概率為P()=.答案:5.甲、乙二人進(jìn)行射擊嬉戲,目標(biāo)靶上有三個區(qū)域,分別涂有紅、黃、藍(lán)三色,已知甲擊中紅、黃、藍(lán)三區(qū)域的概率依次是,乙擊中紅、黃、藍(lán)三區(qū)域的概率依次是,二人射擊狀況互不影響,若甲、乙各射擊一次,試預(yù)料二人命中同色區(qū)域的概率為.

解析:同命中紅色區(qū)域的概率為,同命中黃色區(qū)域的概率為,同命中藍(lán)色區(qū)域的概率為,∴二人命中同色區(qū)域的概率為.答案:6.某項選拔共有三輪考核,每輪設(shè)有一個問題,能正確回答問題者進(jìn)入下一輪考試,否則即被淘汰,已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為,且各輪問題能否正確回答互不影響.(1)求該選手順當(dāng)通過三輪考核的概率;(2)該選手在選拔中回答兩個問題被淘汰的概率是多少?解(1)設(shè)“該選手能正確回答第i輪的問題”的事務(wù)記為Ai(i=1,2,3),且它們相互獨(dú)立.則P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,設(shè)“該選手順當(dāng)通過三輪考核”為A事務(wù),則P(A)=P(A1A2A3)=P(A1)·P(A2)·P(A3)=.(2)因為回答2個問題被淘汰即第一輪答對,其次輪答錯,概率是P=.7.某高校開設(shè)甲、乙、丙三門選修課,學(xué)生之間是否選修哪門課互不影響.已知學(xué)生小張只選甲的概率為0.08,只選甲和乙的概率為0.12,至少選一門的概率為0.88,用ξ表示小張選修的課程門數(shù)和沒有選修的課程門數(shù)的乘積.(1)求學(xué)生小張選修甲的概率;(2)記“函數(shù)f(x)=x2+ξx為R上的偶函數(shù)”為事務(wù)A,求事務(wù)A的概率;(3)求ξ的分布列.解(1)由題意知,學(xué)生小張三門選修課一門也不選的概率為1-0.88=0.12.設(shè)學(xué)生小張選修甲、乙、丙三門選修課的概率分別為x,y,z.則解得所以學(xué)生小張選修甲的概率為0.4.(2)若函數(shù)f(x)=x2+ξx為R上的偶函數(shù),則ξ=0,當(dāng)ξ=0時,表示小張選修了三門功課或三門功課都不選.所以P(A)=P(ξ=0)=xyz+(1-x)(1-y)(1-z)=0.4×0.6×0.5+(1-0.4)×(1-0.6)×(1-0.5)=0.24,故事務(wù)A的概率為0.24.(3)依題意知ξ=0,2,所以ξ的分布列為ξ02P0.240.768.導(dǎo)學(xué)號43944034甲、乙兩人進(jìn)行圍棋競賽,約定先連勝兩局者干脆贏得競賽,若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝,則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得競賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為,乙獲勝的概率為,各局競賽結(jié)果相互獨(dú)立.(1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得競賽的概率;(2)記X為競賽決出輸贏時的總局?jǐn)?shù),求X的分布.解用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得競賽”,Ak表示“第k局甲獲勝”,Bk表示“第k局乙獲勝”,則P(Ak)=,P(Bk)=,k=1,2,3,4,5.(1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)·P(A3)P(A4)=.(2)X的可能取值為2,3,4,5.P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=,P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=,P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)=P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)·P(B4)=,P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=.所以X的分布列為X2345PB組1.如圖所示,在兩個圓盤中,指針落在本圓盤每個數(shù)所在區(qū)域的機(jī)會均等,那么兩個指針同時落在奇數(shù)所在區(qū)域的概率是()A. B. C. D.解析:設(shè)A表示“第一個圓盤的指針落在奇數(shù)所在的區(qū)域”,P(A)=,B表示“其次個圓盤的指針落在奇數(shù)所在的區(qū)域”,P(B)=.則P(AB)=P(A)P(B)=.答案:A2.一個盒子中有20個大小、形態(tài)、質(zhì)地相同的小球,其中5個紅的,5個黃的,10個綠的,從盒子中任取一球,若它不是紅球,則它是綠球的概率是()A. B. C. D.解析:記A:取的球不是紅球.B:取的球是綠球.則P(A)=,P(AB)=,∴P(B|A)=.答案:C3.設(shè)兩個獨(dú)立事務(wù)A和B都不發(fā)生的概率為,A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同,則事務(wù)A發(fā)生的概率是()A. B. C. D.解析:設(shè)事務(wù)A發(fā)生的概率為x,事務(wù)B發(fā)生的概率為y,則由題意得(1-x)(1-y)=,x(1-y)=(1-x)y,聯(lián)立解得x=,故事務(wù)A發(fā)生的概率為.答案:D4.把一枚質(zhì)地勻稱的硬幣隨意拋擲兩次,事務(wù)A={第一次出現(xiàn)正面},事務(wù)B={其次次出現(xiàn)正面},則P(B|A)= ()A. B. C. D.解析:P(A)=,P(AB)=,所以P(B|A)=.故選A.答案:A5.箱子里有除顏色外都相同的5個黑球,4個白球,每次隨機(jī)取出一個球,若取出黑球,則放回箱中,重新取球;若取出白球,則停止取球,那么在第4次取球之后停止的概率為()A. B.C. D.解析:因為每次取出黑球時都放回,所以在取到白球以前,每次取出黑球的概率都是,在第4次取球后停止表示前3次取出的都是黑球,第4次才取出白球,故所求概率為.答案:B6.某種元件的運(yùn)用壽命超過1年的概率為0.6,運(yùn)用壽命超過2年的概率為0.3,則運(yùn)用壽命超過1年的該元件還能接著運(yùn)用1年的概率為.

解析:設(shè)事務(wù)A為“該元件的運(yùn)用壽命超過1年”,B為“該元件的運(yùn)用壽命超過2年”,則P(A)=0.6,P(B)=0.3,易知P(AB)=P(B)=0.3,于是P(B|A)==0.5.答案:0.57.依據(jù)資料統(tǒng)計,某地車主購買甲種保險的概率為0.5,購買乙種保險的概率為0.6,購買甲、乙保險相互獨(dú)立,各車主間相互獨(dú)立.(1)求一位車主同時購買甲、乙兩種保險的概率;(2)求一位車主購買乙種保險但不購買甲種保險的概率;(3)求一位車主至少購買甲、乙兩種保險中1種的概率.解記A表示事務(wù)“購買甲種保險”,B表示事務(wù)“購買乙種保險”,則由題意得A與B,A與與B,都是相互獨(dú)立事務(wù),且P(A)=0.5,P(B)=0.6.(1)記C表示事務(wù)“同時購買甲、乙兩種保險”,則C=AB.∴P(C)=P(AB)=P(A)·P(B)=0.5×0.6=0.3.(2)記D表示事務(wù)“購買乙種保險但不購買甲種保險”,則D=B.∴P(D)=P(B)=P()·P(B)=(1-0.5)×0.6=0.3.(3)方法一:記E表示事務(wù)“至少購買甲、乙兩種保險中的一種”,則事務(wù)E包括B,A,AB,且它們彼此為互斥事務(wù).∴P(E)=P(B+A+AB)=P(B)+P(A)+P(AB)=0.5×0.6+0.5×0.4+0.5×0.6=0.8.方法二:事務(wù)“至少購買甲、乙兩種保險中的一種”與事務(wù)“甲、乙兩種保險都不購買”為對立事務(wù).∴P(E)=1-P()=1-(1-0.5)×(1-0.6)=0.8.8.導(dǎo)學(xué)號43944035設(shè)每個工作日甲、乙、丙、丁4人需運(yùn)用某種設(shè)備的概率分別為0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需運(yùn)用設(shè)備相互獨(dú)立.(1)求同一工作日至少3人需運(yùn)用設(shè)備的概率;(2)X表示同一工作日需運(yùn)用設(shè)備的人數(shù),求X的分布列.解記Ai表示事務(wù):同一工作日乙、丙中恰有i人需運(yùn)用設(shè)備,i=0,1,2.B表示事務(wù):甲需運(yùn)用設(shè)備.C表示事務(wù):丁需運(yùn)用設(shè)備.D表示事務(wù):同一工作日至少3人需運(yùn)用設(shè)備.(1)D=A1·B·C+A2··C+A2B.P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=×0.52,i=0,1,2,所以P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2··C)=P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2··C)=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P()P(C)=0.31.(2)X的可能取值為0,1,2,3,4,P(X=0)=P(·A0·)=P()P(A0)P()=(1-0.6)×0.52×(1-0.4)=0.06.P(X=1)=P(B·A0··A0·C+·A1·)=P(B)P(A0)P()+P()P(A0)P(C)+P()·P(A1)P()=0.6×0.52×(1-0.