2025版高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2.2.1綜合法和分析法第1課時(shí)綜合法練習(xí)含解析新人教A版選修2-2

PAGEPAGE6第1課時(shí)綜合法課時(shí)過(guò)關(guān)·實(shí)力提升基礎(chǔ)鞏固1.設(shè)a,b∈R,若a-|b|>0,則下列不等式正確的是()A.b-a>0 B.a3+b3<0C.a2-b2<0 D.b+a>0解析:∵a-|b|>0,∴|b|<a,∴a>0,∴-a<b<a,∴b+a>0.答案:D2.函數(shù)f(x)=(x-3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.(-∞,2) B.(0,3)C.(1,4) D.(2,+∞)解析:f'(x)=(x-3)'ex+(x-3)·(ex)'=(x-2)ex,令f'(x)>0,解得x>2,故選D.答案:D3.在等差數(shù)列{an}中,a5+a11=16,a4=1,則a12的值是()A.15 B.30 C.31 D.64解析:因?yàn)閧an}是等差數(shù)列,所以a5+a11=a4+a12,所以a12=16-1=15.故選A.答案:A4.已知a≥0,b≥0,且a+b=2,則()A.ab≤1B.ab≥C.a2+b2≥2 D.a2+b2≤3解析:由a+b=2,可得ab≤1,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)取等號(hào).∵a2+b2=4-2ab,∴a2+b2≥2.答案:C5.已知實(shí)數(shù)a≠0,且函數(shù)f(x)=a(x2+1)-2x+1a有最小值解析:由f(x)=ax2-2x+a-1a有最小值,得a>0,其圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x=1a,f即即a-所以a2+a-2=0(a>0),解得a=1.答案:16.設(shè)p,q均為實(shí)數(shù),則“q<0”是“關(guān)于x的方程x2+px+q=0有一個(gè)正實(shí)根和一個(gè)負(fù)實(shí)根”的條件.(填“充要”“必要不充分”“充分不必要”或“既不充分也不必要”)

解析:因?yàn)閝<0,所以Δ=p2-4q>0.所以“方程x2+px+q=0有一個(gè)正實(shí)根和一個(gè)負(fù)實(shí)根”成立.因?yàn)椤胺匠蘹2+px+q=0有一個(gè)正實(shí)根和一個(gè)負(fù)實(shí)根”,所以q<0.答案:充要7.設(shè)a,b,c為不全相等的正數(shù),且abc=1,求證:1分析:解答本題可先把a(bǔ)bc=1代入,再利用基本不等式進(jìn)行推證.證明因?yàn)閍,b,c為不全相等的正數(shù),且abc=1,所以又bc+ca≥2ca+ab≥2ca·ab=2a,ab+bc≥2ab·bc=所以2(bc+ca+ab)>2(即bc+ca+ab>故8.在△ABC中,三邊a,b,c成等比數(shù)列.求證:acos2C證明∵a,b,c成等比數(shù)列,∴b2=ac.∵左邊=12(a+c)+12=12=12(a+c)∴acos29.若a,b,c是不全相等的正數(shù),求證:lga+b2+lgb證明∵a,b,c∈(0,+∞),∴a又a,b,c是不全相等的正數(shù),故上述三個(gè)不等式中等號(hào)不能同時(shí)成立.∴a上式兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù),得lga+b∴l(xiāng)ga+b2+lgb實(shí)力提升1.若a,b,c是常數(shù),則“a>0,且b2-4ac<0”是“對(duì)隨意x∈R,有ax2+bx+c>0”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析:因?yàn)閍>0,且b2-4ac<0,所以ax2+bx+c>0對(duì)隨意x∈R恒成立.反之,ax2+bx+c>0對(duì)隨意x∈R恒成立不能推出a>0,且b2-4ac<0,反例為:當(dāng)a=b=0,且c>0時(shí)也有ax2+bx+c>0對(duì)隨意x∈R恒成立,所以“a>0,且b2-4ac<0”是“對(duì)隨意x∈R,有ax2+bx+c>0”的充分不必要條件.答案:A2.在面積為S(S為定值)的扇形中,弧所對(duì)的圓心角為θ,半徑為r.當(dāng)扇形的周長(zhǎng)p最小時(shí),θ,r的值分別是()A.θ=1,r=SB.θ=C.θ=2,r=3SD.θ解析:因?yàn)镾=又扇形周長(zhǎng)為p=2r+θr=2所以當(dāng)r=Sr,即r=S時(shí),p故選D.答案:D3.★若O是平面上的定點(diǎn),A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA+λAB|AB|+AC|AC|,λ∈A.外心 B.內(nèi)心C.重心 D.垂心解析:因?yàn)樗运訟P是△ABC中∠BAC的平分線.故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡肯定通過(guò)△ABC的內(nèi)心.答案:B4.已知sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cosγ=0,則cos(α-β)的值為.

解析:∵sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cosγ=0,∴以上兩式兩邊平方相加,得2+2(sinαsinβ+cosαcosβ)=1,∴cos(α-β)=-答案:-5.已知q和n均為給定的大于1的自然數(shù).設(shè)集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn-1,xi∈M,i=1,2,…,n}.(1)當(dāng)q=2,n=3時(shí),用列舉法表示集合A;(2)設(shè)s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.證明:若an<bn,則s<t.(1)解當(dāng)q=2,n=3時(shí),M={0,1},A={x|x=x1+x2·2+x3·22,xi∈M,i=1,2,3}.可得,A={0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)證明由s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,ai,bi∈M,i=1,2,…,n及an<bn,可得s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+…+(an-1-bn-1)·qn-2+(an-bn)qn-1≤(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)qn-2-qn-1=(q-1)(所以,s<t.6.已知數(shù)列{an}滿意a1=1,an+1=3an+1.(1)證明an+(2)證明證明(1)由an+1=3an+1,得an+1又a1+12=32,所以an+12是首項(xiàng)為32,公比為(2)由(1)知因?yàn)楫?dāng)n≥1時(shí),3n-1≥2×3n-1,所以所以7.★設(shè)fn(x)是等比數(shù)列1,x,x2,…,xn的各項(xiàng)和,其中x>0,n∈N,n≥2.(1)證明:函數(shù)Fn(x)=fn(x)-2在區(qū)間12,1內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)(記為x(2)設(shè)有一個(gè)與上述等比數(shù)列的首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)分別相同的等差數(shù)列,其各項(xiàng)和為gn(x),比較fn(x)和gn(x)的大小,并加以證明.(1)證明Fn(x)=fn(x)-2=1+x+x2+…+xn-2,則Fn(1)=n-1>0,Fn12所以Fn(x)在區(qū)間1又Fn'(x)=1+2x+…+nxn-1>0,故Fn(x)在區(qū)間1所以Fn(x)在區(qū)間12,因?yàn)閤n是Fn(x)的零點(diǎn),所以Fn(xn)=0,即1-xnn(2)解當(dāng)x=1時(shí),fn(x)=gn(x);當(dāng)x≠1時(shí),fn(x)<gn(x).證明如下:由假設(shè),gn(x)設(shè)h(x)=fn(x)-gn(x)=1+x+x2+…+xn-(n+1當(dāng)x=1時(shí),fn(x)=gn(x).當(dāng)x≠1時(shí),h'(x)=1+2x+…+nxn-1若0<x<1,h'(x)>xn-1+2xn-1+