山東省臨沂市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析）

第頁，共頁山東省臨沂市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.如果物體的運(yùn)動函數(shù)為，其中的單位是米，的單位是秒，那么物體在秒末的瞬時(shí)速度是（）A米／秒 B.米／秒 C.米／秒 D.米／秒【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的概念可求出物體在秒末的瞬時(shí)速度.【詳解】由導(dǎo)數(shù)的概念可得，因此，物體在秒末的瞬時(shí)速度是米／秒.故選：D.2.從件不同的禮物中選出件送給位同學(xué)，不同的送法種數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用排列計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】從件不同的禮物中選出件送給位同學(xué)，不同的送法種數(shù)是種.故選：C.3.把一枚硬幣連續(xù)拋兩次，記“第一次出現(xiàn)正面”為事件A，“第二次出現(xiàn)反面”為事件B，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】用列舉法列出事件，包含的基本事件，再由條件概率的概率公式計(jì)算可得；【詳解】解：依題意包括基本事件為{正，正}、{正，反}，包括的基本事件為{正，反}，∴，故選：A．4.二項(xiàng)式展開式中，系數(shù)最大值為（）A.280 B.448 C.560 D.672【答案】C【解析】【分析】利用二項(xiàng)式定理寫出通項(xiàng)，再計(jì)算其奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù).【詳解】展開式通項(xiàng)公式為，且為整數(shù)，要想系數(shù)最大，則為偶數(shù)，是展開式中的奇數(shù)項(xiàng)，則第項(xiàng)的系數(shù)為，第項(xiàng)的系數(shù)為，第項(xiàng)的系數(shù)為，第7項(xiàng)的系數(shù)為，故二項(xiàng)式展開式中，系數(shù)最大值為.故選：C5.某校高二級學(xué)生參加期末調(diào)研考試的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，將考試成績從高到低按照、、、的比例分為、、、四個等級.若小明的數(shù)學(xué)成績?yōu)榉?，則屬于等級（）（附：，）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】計(jì)算出、的值，結(jié)合即可得出結(jié)論.【詳解】由題意可得，，則，所以，，因?yàn)?，故小明屬于等?故選：B.6.隨機(jī)變量的可能取值為、、，若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，，根據(jù)題意得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個量的值，結(jié)合方差公式可求得的值.【詳解】設(shè)，，則，，解得，，故.故選：C.7.質(zhì)數(shù)（primenumber）又稱素?cái)?shù)，一個大于1的自然數(shù)，除了1和它本身外，不能被其他自然數(shù)整除，則這個數(shù)為質(zhì)數(shù).數(shù)學(xué)上把相差為2的兩個素?cái)?shù)叫做“孿生素?cái)?shù)”，如：3和5，5和，那么，如果我們在不大于30的正整數(shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，記事件：這兩個數(shù)都是素?cái)?shù)；事件：這兩個數(shù)是孿生素?cái)?shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件概率的計(jì)算方法求得正確答案.【詳解】不超過的自然數(shù)有個，其中素?cái)?shù)有共個，孿生素?cái)?shù)有和，和，和，和，共組，所以，，所以故選：B.8.對任意，不等式恒成立，則正數(shù)的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將所求不等式變形為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析該函數(shù)的單調(diào)性，可得出，參變分離得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的最大值.【詳解】對任意的，不等式恒成立，則，可得，，令，其中，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，由可得，則，故對任意的，，令，其中，則，由可得，由可得，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，故，解得，即正實(shí)數(shù)的最大值為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某工廠生產(chǎn)的個零件中，有件合格品，件不合格品，從這個零件中任意抽出件，則抽出的個零件中（）A.都是合格品的抽法種數(shù)為B.恰有件不合格品的抽法種數(shù)為C.至少有件不合格品的抽法種數(shù)為D.至多有件不合格品的抽法種數(shù)為【答案】BCD【解析】【分析】利用組合計(jì)算原理逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】某工廠生產(chǎn)的個零件中，有件合格品，件不合格品，從這個零件中任意抽出件，則抽出的個零件中，對于A選項(xiàng)，都是合格品的抽法種數(shù)為，A錯；對于B選項(xiàng)，恰有件不合格品的抽法種數(shù)為，B對；對于C選項(xiàng)，至少有件不合格品即為：件不合格品件合格品、件不合格品件合格品，抽法種數(shù)，C對；對于D選項(xiàng)，至多有件不合格品，其反面是件合格品，抽法種數(shù)為，D對.故選：BCD.10.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的部分圖象如圖所示，設(shè)函數(shù)，則（）A.在區(qū)間上是減函數(shù) B.在區(qū)間上是增函數(shù)C.在時(shí)取極小值 D.在時(shí)取極小值【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)圖象得到的符號，即可得到的符號，進(jìn)而得到的單調(diào)性和極值.【詳解】結(jié)合圖象可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，因，故當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在時(shí)取極大值，在時(shí)取極小值.故選：AD.11.甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第一次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，下列說法正確的是（）A.2次傳球后球在丙手上的概率是B.3次傳球后球在乙手上的概率是C.3次傳球后球在甲手上的概率是D.n次傳球后球在甲手上的概率是【答案】ACD【解析】【分析】列舉出經(jīng)2次、3次傳球后的所有可能，再利用古典概率公式計(jì)算作答可判斷ABC，n次傳球后球在甲手上的事件即為，則有，利用全概率公式可得，再構(gòu)造等比數(shù)列求解即可判斷D.【詳解】第一次甲將球傳出后，2次傳球后的所有結(jié)果為：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共4個結(jié)果，它們等可能，2次傳球后球在丙手中的事件有：甲乙丙，1個結(jié)果，所以概率是，故A正確；第一次甲將球傳出后，3次傳球后的所有結(jié)果為:甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8個結(jié)果，它們等可能，3次傳球后球在乙手中的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3個結(jié)果，所以概率為，故B錯誤；3次傳球后球在甲手上的事件為：甲乙丙甲，甲丙乙甲，2個結(jié)果，所以概率為，故C正確；n次傳球后球在甲手上的事件記為，則有，令，則于是得，故，則，而第一次由甲傳球后，球不可能在甲手中，即，則有，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以即，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則______.【答案】【解析】【分析】利用正態(tài)密度曲線的對稱性可得出關(guān)于的等式，解之即可.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則，解得.故答案為：.13.已知函數(shù)，則______.【答案】【解析】【分析】求出，代值計(jì)算可得的值.【詳解】因?yàn)?，則，因此，.故答案為：.14.在一個抽獎游戲中，主持人從編號為1，2，3的三個外觀相同的空箱子中隨機(jī)選擇一個，放入一件獎品，再將三個箱子關(guān)閉.主持人知道獎品在哪個箱子里.游戲規(guī)則是主持人請抽獎人在三個箱子中選擇一個，若獎品在此箱子里，則獎品由抽獎人獲得.按照游戲規(guī)則當(dāng)抽獎人選擇了一個箱子后，主持人會打開了另外兩個箱子中的一個空箱子，主持人只打開抽獎人選擇之外的空箱子，當(dāng)兩個都是空箱子時(shí)，他隨機(jī)選擇其中一個打開.這時(shí)，主持人會給抽獎人一次重新選擇的機(jī)會，抽獎人可以重新選擇，也可以堅(jiān)持原來的選擇.甲、乙兩人先后參加抽獎游戲，甲在抽獎過程中，當(dāng)主持人給重新選擇的機(jī)會時(shí)，甲重新選擇了另一個箱子，乙在抽獎過程中，主持人給重新選擇的機(jī)會時(shí)，乙堅(jiān)持原來的選擇.那么甲、乙兩人都獲得獎品的概率為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式求解.【詳解】首先，甲、乙獲獎是相互獨(dú)立的，設(shè)甲獲得獎品為事件，乙獲得獎品為事件，甲、乙都獲得獎品為事件，則：.對甲：當(dāng)甲第一次抽獎抽到無獎品的箱子（概率為）時(shí)，重新選擇必定中獎，所以,對乙：乙因?yàn)闆]有重新選擇，所以乙只有在第一次選擇時(shí)，選中有獎品的箱子，才能獲得獎品，所以.所以.故答案為：四、解答題：本小題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知二項(xiàng)展開式中，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的比為.（1）求的值；（2）求展開式中項(xiàng)的系數(shù).【答案】（1）；（2）180.【解析】【分析】（1）結(jié)合二項(xiàng)式的展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)可得，解組合數(shù)方程即可求出結(jié)果；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，以及二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式，得，令即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的比為，可得，化簡可得，求得.（2）由于二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為，令，求得，可得展開式中項(xiàng)的系數(shù)為.16.在甲、乙、丙三個地區(qū)爆發(fā)了流感，這三個地區(qū)分別有、、的人患了流感，假設(shè)這三個地區(qū)的人口數(shù)的比為，現(xiàn)從這三個地區(qū)中任意選取一個人.（1）求這個人患流感的概率；（2）如果此人患流感，求此人選自甲地區(qū)的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）記事件選取的這個人患了流感，記事件此人來自甲地區(qū)，記事件此人來自乙地區(qū)，記事件此人來自丙地區(qū)，利用全概率公式可求得的值；（2）利用條件概率公式可求得的值.【小問1詳解】記事件選取的這個人患了流感，記事件此人來自甲地區(qū)，記事件此人來自乙地區(qū)，記事件此人來自丙地區(qū)，則，且、、彼此互斥，由題意可得，，，，，，由全概率公式可得.【小問2詳解】由條件概率公式可得.17.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若對，恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的大小關(guān)系，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）參變分離可得對恒成立，令，，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可得解.【小問1詳解】定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，令，得或，令，得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，令，得或，令，得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在單調(diào)遞增.綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，無減區(qū)間.【小問2詳解】若函數(shù)，對恒成立，即對恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值即最小值，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.某高中學(xué)校在一次高二數(shù)學(xué)監(jiān)測后，為了解本次監(jiān)測的成績情況，在整個年級中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，將成績分為，共6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，記分?jǐn)?shù)不低于130分為優(yōu)秀.（1）從樣本中隨機(jī)選取一名學(xué)生，已知這名學(xué)生的分?jǐn)?shù)不低于90分，問這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績?yōu)閮?yōu)秀的概率；（2）在樣本中，采取等比例分層抽樣的方法從成績在內(nèi)的學(xué)生中抽取13名，再從這13名學(xué)生中隨機(jī)抽取3名，記這3名學(xué)生中成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）先根據(jù)頻率和為1，求出的值.再利用頻率取估計(jì)概率即可.（2）先明確13名同學(xué)的構(gòu)成，再利用超幾何分布，寫出的概率分布，并求其期望.【小問1詳解】依題意，得，解得，則不低于90分的人數(shù)為，成績在內(nèi)的，即優(yōu)秀的人數(shù)為；故這名學(xué)生成績是優(yōu)秀的概率為.【小問2詳解】成紗在內(nèi)的有人；成纜在內(nèi)的有人；成績在內(nèi)的有20人；故采用等比例分層抽樣抽取的13名學(xué)生中，成績在內(nèi)的有6人，在內(nèi)的有5人，在內(nèi)的有2人，所以由題意可知，的可能取值為0，1，2，則，，，所以的分布列為：012故.19.已知函數(shù).（1）若時(shí)，曲線與直線相切，求實(shí)數(shù)的值；（2）若是的極值點(diǎn)，函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)，設(shè)和為兩個不相等的正數(shù)，且滿足.①求的取值范圍；②求證：【答案】（1）1（2）①或；②證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知即為切線的斜率，用點(diǎn)斜式求得切線方程，根據(jù)切線過點(diǎn)，列式求得，即可得的值.（2）①先根據(jù)極值點(diǎn)求出，再把有一個零點(diǎn)轉(zhuǎn)化結(jié)合函數(shù)圖形求出參數(shù)范圍即可；②構(gòu)造函