江蘇省泗陽(yáng)縣2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析）

第頁(yè)，共頁(yè)2024～2025學(xué)年第二學(xué)期期中調(diào)研試卷高一數(shù)學(xué)（滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列命題正確的是（）A.單位向量均相等 B.任一向量與它的相反向量不相等C.模為零的向量與任一向量平行 D.模相等的兩個(gè)共線向量是相同的向量【答案】C【解析】【分析】根據(jù)單位向量、零向量、共線向量的定義判斷即可.【詳解】對(duì)于A：?jiǎn)挝幌蛄看笮∠嗟榷际牵较虿灰欢ㄏ嗤?，故單位向量不一定相等，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：零向量與它的相反向量相等，故B錯(cuò)誤．對(duì)于C：模為的向量為零向量，零向量與任非零意向量共線，故C正確；對(duì)于D：模相等的兩個(gè)共線向量可能是相同的向量也可能是相反向量，故D錯(cuò)誤.故選：C．2.在△ABC中，若，則A. B. C. D.或【答案】A【解析】【詳解】由正弦定理有，所以，，又因?yàn)?故，選A.點(diǎn)睛：本題主要考查了用正弦定理解三角形，屬于易錯(cuò)題．本題運(yùn)用大邊對(duì)大角定理是解題的關(guān)鍵．3.已知，，若，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由結(jié)合題意，正弦差角公式可得答案.【詳解】.因，，則，又，則，又.則.故選：B4.被譽(yù)為“蘇北黃鶴樓”的泗水閣位于泗陽(yáng)運(yùn)河風(fēng)光帶上，建成于2012年，建筑面積約5800平方米，是四面五層仿唐漢風(fēng)格的建筑.某同學(xué)為測(cè)量泗水閣的高度，在泗水閣旁邊找到一座建筑物，高約為，在底面上的點(diǎn)處（，，三點(diǎn)共線）測(cè)得建筑物頂部，泗水閣頂部的仰角分別為和，在處測(cè)得樓頂部的仰角為，則泗水閣的高度約為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】在中求得，然后在中，利用正弦定理求得即可求解.【詳解】中，，所以，在中，，則，由正弦定理得，即，解得，在中，.故選：C.5.四邊形是正方形，是的中點(diǎn)，是邊上的一點(diǎn)，且，連接與交于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為3，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量夾角余弦公式進(jìn)行求解.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立平間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為3，則，故，所以.故選：B6.在中，是邊上的點(diǎn)，，，，，則的長(zhǎng)為（）A.5 B.7 C.9 D.11【答案】B【解析】【分析】在中，由正弦定理求得，再在中，由余弦定理，即可求得的長(zhǎng).【詳解】如圖所示，在中，由正弦定理得，即，因?yàn)?，可得，且，在中，由余弦定理得：，所?故選：B7.圖中正方形的邊長(zhǎng)為2，圓的半徑為5，正方形的中心與圓的圓心重合，動(dòng)點(diǎn)在圓上，則的值為（）A.23 B.29 C.21 D.24【答案】A【解析】【分析】利用可求解.【詳解】因?yàn)檎叫蔚闹行呐c圓的圓心重合，所以是的中點(diǎn)，又正方形的邊長(zhǎng)為2，所以，所以，所以.故選：A.8.在中，角的對(duì)邊分別為且，若，則的周長(zhǎng)的最大值為（）A. B. C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，求得，得到周長(zhǎng)為，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由且，可得，又由，即，所以的周長(zhǎng)為，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，周長(zhǎng)取得最大值，最大值為.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.以下正確的有（）A.B.C.函數(shù)的最大值為2D.【答案】BCD【解析】分析】利用三角恒等變換公式逐項(xiàng)計(jì)算可得結(jié)論.【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故函數(shù)的最大值為2，故C正確；對(duì)于D，，故D正確.故選：BCD.10.的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，則下列說(shuō)法正確的有（）A.若，則B.，則為等腰三角形C.，，，則有兩解D.若，則可以是鈍角三角形【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A，由正弦定理，大邊對(duì)大角可判斷選項(xiàng)正誤；對(duì)于B，利用余弦定理統(tǒng)一成邊的形式，化簡(jiǎn)后可判斷三角形的形狀；對(duì)于C，過(guò)作于點(diǎn)，求出后與比較即可；對(duì)于D，由誘導(dǎo)公式，兩角和的正切公式可得，據(jù)此可判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻?，又大邊?duì)大角，則，故A正確；對(duì)于B，由，得，所以由余弦定理得，所以，得，所以，所以，所以或，所以為等腰三角形或直角三角形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，過(guò)作于點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以有兩解，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，且不可能有兩個(gè)鈍角，所以，所以三個(gè)內(nèi)角均為銳角，故D錯(cuò)誤.故選：AC11.下列說(shuō)法正確的有（）A.若，則或B.已知不共線，若向量與向量共線，則實(shí)數(shù)C.設(shè)，，若與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為D.已知向量與的夾角為，，，則在方向上的投影向量為【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A，由向量模長(zhǎng)定義可判斷選項(xiàng)正誤；對(duì)于B，由向量共線定義可判斷選項(xiàng)正誤；對(duì)于C，由題可得，據(jù)此可判斷選項(xiàng)正誤；對(duì)于D，由投影向量計(jì)算公式可判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】對(duì)于A，，則只能得到兩向量模相等，不能得到向量共線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因向量與向量共線，則，故B正確；對(duì)于C，因與的夾角為銳角，則且不平行于，則，故C正確；對(duì)于D，在方向上的投影向量為，因，，則，故D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則_________【答案】【解析】【分析】原式兩邊平方后，即可計(jì)算的值.【詳解】因?yàn)?，兩邊平方后，，所?故答案為：13.為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，，若，則______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合，求得的值，即可求解.【詳解】由，可得，因?yàn)椋?，可?故答案：.14.在中，，若，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】先利用正弦定理化簡(jiǎn)得，再根據(jù)余弦定理得出為鈍角，最后利用正弦定理和余弦定理化簡(jiǎn)即可.【詳解】利用正弦定理則可化簡(jiǎn)為，則，因，則，則，因，則利用正弦定理和余弦定理有.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知向量.（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，且為非零實(shí)數(shù)，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得到，由，結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，列出方程，即可求解；（2）根據(jù)題意，得到，由，結(jié)合共線向量的坐標(biāo)表示，列出方程，求得的關(guān)系式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)椋傻?，因?yàn)?，所以，解?【小問(wèn)2詳解】解：因，可得，又因?yàn)?，所以，可得，因?yàn)闉榉橇銓?shí)數(shù)，所以.16.已知，，，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的關(guān)系以及二倍角的余弦公式即可求值；（2）先求出，再利用即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，所以又因?yàn)?，所以，所?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，，所以，所以又因?yàn)?，所以，，因?yàn)樗砸驗(yàn)?，所?7.設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，是邊的中點(diǎn)，的面積為1，且.（1）求；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理與余弦定理可求得，進(jìn)而可求；（2）由三角形的面積利用三角形的面積可求，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律把化簡(jiǎn)計(jì)算可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以由正弦定理得，所以，所以，因?yàn)?，；【小?wèn)2詳解】因?yàn)?，，?18.某校為拓展學(xué)生社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，擬建造一個(gè)四邊形的實(shí)踐基地，如圖，在四邊形區(qū)域中，將區(qū)域設(shè)立成燒烤區(qū)，區(qū)域設(shè)立成花卉觀賞區(qū)，邊，，，修建觀賞步道，邊修建隔離防護(hù)欄，其中米，米，.燒烤區(qū)是一個(gè)占地面積為40000平方米的實(shí)踐性區(qū)域.（1）需要修建多長(zhǎng)的隔離防護(hù)欄？（2）若要使花卉觀賞區(qū)的面積最大，應(yīng)如何設(shè)計(jì)觀賞步道？【答案】（1）米（2）應(yīng)使觀賞步道米【解析】【分析】（1）由三角形面積公式可求得，進(jìn)而可求得；（2）法一：由正弦定理可得，，進(jìn)而可得，可求解.法二，利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得的最大值，進(jìn)而可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，三角形面積為，所以，，而，，，所以需要修建多長(zhǎng)的隔離防護(hù)欄米.【小問(wèn)2詳解】解法一：由（1）知，設(shè)，，在中，由正弦定理得：，所以，，花卉觀賞區(qū)的面積為：因，則，則當(dāng)，即時(shí)，取值最大，最大值，此時(shí)故為了使花卉觀賞區(qū)域的面積最大，應(yīng)使觀賞步道米.解法二：令，，由余弦定理得：，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則最大值，故為了使花卉觀賞區(qū)域的面積最大，應(yīng)使觀賞步道米.19.設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，是邊的中點(diǎn)，.（1）若，求面積的最大值；（2）若的面積為，且，求的值；（3）若，求的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由題可得，由向量模長(zhǎng)公式可得，然后由基本不等式可得答案；（2）由題可得，再在中運(yùn)用正弦定理與余弦定理可得答案；（