江蘇省泗陽縣2024-2025學年高一下學期期中考試數(shù)學試卷（解析）

第頁，共頁2024～2025學年第二學期期中調研試卷高一數(shù)學（滿分150分，考試時間120分鐘）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.下列命題正確的是（）A.單位向量均相等 B.任一向量與它的相反向量不相等C.模為零的向量與任一向量平行 D.模相等的兩個共線向量是相同的向量【答案】C【解析】【分析】根據單位向量、零向量、共線向量的定義判斷即可.【詳解】對于A：單位向量大小相等都是，但方向不一定相同，故單位向量不一定相等，故A錯誤；對于B：零向量與它的相反向量相等，故B錯誤．對于C：模為的向量為零向量，零向量與任非零意向量共線，故C正確；對于D：模相等的兩個共線向量可能是相同的向量也可能是相反向量，故D錯誤.故選：C．2.在△ABC中，若，則A. B. C. D.或【答案】A【解析】【詳解】由正弦定理有，所以，，又因為,故，選A.點睛：本題主要考查了用正弦定理解三角形，屬于易錯題．本題運用大邊對大角定理是解題的關鍵．3.已知，，若，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由結合題意，正弦差角公式可得答案.【詳解】.因，，則，又，則，又.則.故選：B4.被譽為“蘇北黃鶴樓”的泗水閣位于泗陽運河風光帶上，建成于2012年，建筑面積約5800平方米，是四面五層仿唐漢風格的建筑.某同學為測量泗水閣的高度，在泗水閣旁邊找到一座建筑物，高約為，在底面上的點處（，，三點共線）測得建筑物頂部，泗水閣頂部的仰角分別為和，在處測得樓頂部的仰角為，則泗水閣的高度約為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】在中求得，然后在中，利用正弦定理求得即可求解.【詳解】中，，所以，在中，，則，由正弦定理得，即，解得，在中，.故選：C.5.四邊形是正方形，是的中點，是邊上的一點，且，連接與交于點，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐標系，設正方形的邊長為3，寫出點的坐標，利用向量夾角余弦公式進行求解.【詳解】以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立平間直角坐標系，設正方形的邊長為3，則，故，所以.故選：B6.在中，是邊上的點，，，，，則的長為（）A.5 B.7 C.9 D.11【答案】B【解析】【分析】在中，由正弦定理求得，再在中，由余弦定理，即可求得的長.【詳解】如圖所示，在中，由正弦定理得，即，因為，可得，且，在中，由余弦定理得：，所以.故選：B7.圖中正方形的邊長為2，圓的半徑為5，正方形的中心與圓的圓心重合，動點在圓上，則的值為（）A.23 B.29 C.21 D.24【答案】A【解析】【分析】利用可求解.【詳解】因為正方形的中心與圓的圓心重合，所以是的中點，又正方形的邊長為2，所以，所以，所以.故選：A.8.在中，角的對邊分別為且，若，則的周長的最大值為（）A. B. C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】根據題意，求得，得到周長為，結合三角函數(shù)的性質，即可求解.【詳解】由且，可得，又由，即，所以的周長為，當時，即時，周長取得最大值，最大值為.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.以下正確的有（）A.B.C.函數(shù)的最大值為2D.【答案】BCD【解析】分析】利用三角恒等變換公式逐項計算可得結論.【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，當且僅當時，等號成立，故函數(shù)的最大值為2，故C正確；對于D，，故D正確.故選：BCD.10.的內角，，的對邊分別為，，，則下列說法正確的有（）A.若，則B.，則為等腰三角形C.，，，則有兩解D.若，則可以是鈍角三角形【答案】AC【解析】【分析】對于A，由正弦定理，大邊對大角可判斷選項正誤；對于B，利用余弦定理統(tǒng)一成邊的形式，化簡后可判斷三角形的形狀；對于C，過作于點，求出后與比較即可；對于D，由誘導公式，兩角和的正切公式可得，據此可判斷選項正誤.【詳解】對于A，因為，所以由正弦定理可得，又大邊對大角，則，故A正確；對于B，由，得，所以由余弦定理得，所以，得，所以，所以，所以或，所以為等腰三角形或直角三角形，故B錯誤；對于C，過作于點，則，因為，所以有兩解，故C正確；對于D，因為，，所以，因為，且不可能有兩個鈍角，所以，所以三個內角均為銳角，故D錯誤.故選：AC11.下列說法正確的有（）A.若，則或B.已知不共線，若向量與向量共線，則實數(shù)C.設，，若與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍為D.已知向量與的夾角為，，，則在方向上的投影向量為【答案】BCD【解析】【分析】對于A，由向量模長定義可判斷選項正誤；對于B，由向量共線定義可判斷選項正誤；對于C，由題可得，據此可判斷選項正誤；對于D，由投影向量計算公式可判斷選項正誤.【詳解】對于A，，則只能得到兩向量模相等，不能得到向量共線，故A錯誤；對于B，因向量與向量共線，則，故B正確；對于C，因與的夾角為銳角，則且不平行于，則，故C正確；對于D，在方向上的投影向量為，因，，則，故D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則_________【答案】【解析】【分析】原式兩邊平方后，即可計算的值.【詳解】因為，兩邊平方后，，所以.故答案為：13.為所在平面內的點，，若，則______.【答案】##【解析】【分析】根據，化簡得到，結合，求得的值，即可求解.【詳解】由，可得，因為，所以，可得.故答案：.14.在中，，若，則實數(shù)的值為______.【答案】【解析】【分析】先利用正弦定理化簡得，再根據余弦定理得出為鈍角，最后利用正弦定理和余弦定理化簡即可.【詳解】利用正弦定理則可化簡為，則，因，則，則，因，則利用正弦定理和余弦定理有.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知向量.（1）若，求實數(shù)的值；（2）若，且為非零實數(shù)，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據題意，得到，由，結合向量的數(shù)量積的坐標表示，列出方程，即可求解；（2）根據題意，得到，由，結合共線向量的坐標表示，列出方程，求得的關系式，即可求解.【小問1詳解】解：因為，可得，因為，所以，解得.【小問2詳解】解：因，可得，又因為，所以，可得，因為為非零實數(shù)，所以.16.已知，，，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的關系以及二倍角的余弦公式即可求值；（2）先求出，再利用即可求解.【小問1詳解】因為，，所以又因為，所以，所以.【小問2詳解】因為，，所以，所以又因為，所以，，因為所以因為，所以17.設的內角，，的對邊分別為，，，是邊的中點，的面積為1，且.（1）求；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理與余弦定理可求得，進而可求；（2）由三角形的面積利用三角形的面積可求，利用向量數(shù)量積的運算律把化簡計算可求解.【小問1詳解】因為，所以由正弦定理得，所以，所以，因為，；【小問2詳解】因為，，，.18.某校為拓展學生社會實踐活動，擬建造一個四邊形的實踐基地，如圖，在四邊形區(qū)域中，將區(qū)域設立成燒烤區(qū)，區(qū)域設立成花卉觀賞區(qū)，邊，，，修建觀賞步道，邊修建隔離防護欄，其中米，米，.燒烤區(qū)是一個占地面積為40000平方米的實踐性區(qū)域.（1）需要修建多長的隔離防護欄？（2）若要使花卉觀賞區(qū)的面積最大，應如何設計觀賞步道？【答案】（1）米（2）應使觀賞步道米【解析】【分析】（1）由三角形面積公式可求得，進而可求得；（2）法一：由正弦定理可得，，進而可得，可求解.法二，利用余弦定理結合基本不等式可求得的最大值，進而可求解.【小問1詳解】因為，，三角形面積為，所以，，而，，，所以需要修建多長的隔離防護欄米.【小問2詳解】解法一：由（1）知，設，，在中，由正弦定理得：，所以，，花卉觀賞區(qū)的面積為：因，則，則當，即時，取值最大，最大值，此時故為了使花卉觀賞區(qū)域的面積最大，應使觀賞步道米.解法二：令，，由余弦定理得：，，，當且僅當時取等號，則最大值，故為了使花卉觀賞區(qū)域的面積最大，應使觀賞步道米.19.設的內角，，的對邊分別為，，，是邊的中點，.（1）若，求面積的最大值；（2）若的面積為，且，求的值；（3）若，求的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由題可得，由向量模長公式可得，然后由基本不等式可得答案；（2）由題可得，再在中運用正弦定理與余弦定理可得答案；（