江蘇省泗陽(yáng)縣2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷(解析)_第1頁(yè)
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第頁(yè),共頁(yè)2024~2025學(xué)年第二學(xué)期期中調(diào)研試卷高一數(shù)學(xué)(滿分150分,考試時(shí)間120分鐘)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列命題正確的是()A.單位向量均相等 B.任一向量與它的相反向量不相等C.模為零的向量與任一向量平行 D.模相等的兩個(gè)共線向量是相同的向量【答案】C【解析】【分析】根據(jù)單位向量、零向量、共線向量的定義判斷即可.【詳解】對(duì)于A:?jiǎn)挝幌蛄看笮∠嗟榷际牵较虿灰欢ㄏ嗤?,故單位向量不一定相等,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B:零向量與它的相反向量相等,故B錯(cuò)誤.對(duì)于C:模為的向量為零向量,零向量與任非零意向量共線,故C正確;對(duì)于D:模相等的兩個(gè)共線向量可能是相同的向量也可能是相反向量,故D錯(cuò)誤.故選:C.2.在△ABC中,若,則A. B. C. D.或【答案】A【解析】【詳解】由正弦定理有,所以,,又因?yàn)?故,選A.點(diǎn)睛:本題主要考查了用正弦定理解三角形,屬于易錯(cuò)題.本題運(yùn)用大邊對(duì)大角定理是解題的關(guān)鍵.3.已知,,若,,則的值為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由結(jié)合題意,正弦差角公式可得答案.【詳解】.因,,則,又,則,又.則.故選:B4.被譽(yù)為“蘇北黃鶴樓”的泗水閣位于泗陽(yáng)運(yùn)河風(fēng)光帶上,建成于2012年,建筑面積約5800平方米,是四面五層仿唐漢風(fēng)格的建筑.某同學(xué)為測(cè)量泗水閣的高度,在泗水閣旁邊找到一座建筑物,高約為,在底面上的點(diǎn)處(,,三點(diǎn)共線)測(cè)得建筑物頂部,泗水閣頂部的仰角分別為和,在處測(cè)得樓頂部的仰角為,則泗水閣的高度約為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】在中求得,然后在中,利用正弦定理求得即可求解.【詳解】中,,所以,在中,,則,由正弦定理得,即,解得,在中,.故選:C.5.四邊形是正方形,是的中點(diǎn),是邊上的一點(diǎn),且,連接與交于點(diǎn),則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為3,寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo),利用向量夾角余弦公式進(jìn)行求解.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為軸,建立平間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為3,則,故,所以.故選:B6.在中,是邊上的點(diǎn),,,,,則的長(zhǎng)為()A.5 B.7 C.9 D.11【答案】B【解析】【分析】在中,由正弦定理求得,再在中,由余弦定理,即可求得的長(zhǎng).【詳解】如圖所示,在中,由正弦定理得,即,因?yàn)?,可得,且,在中,由余弦定理得:,所?故選:B7.圖中正方形的邊長(zhǎng)為2,圓的半徑為5,正方形的中心與圓的圓心重合,動(dòng)點(diǎn)在圓上,則的值為()A.23 B.29 C.21 D.24【答案】A【解析】【分析】利用可求解.【詳解】因?yàn)檎叫蔚闹行呐c圓的圓心重合,所以是的中點(diǎn),又正方形的邊長(zhǎng)為2,所以,所以,所以.故選:A.8.在中,角的對(duì)邊分別為且,若,則的周長(zhǎng)的最大值為()A. B. C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意,求得,得到周長(zhǎng)為,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì),即可求解.【詳解】由且,可得,又由,即,所以的周長(zhǎng)為,當(dāng)時(shí),即時(shí),周長(zhǎng)取得最大值,最大值為.故選:C.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.以下正確的有()A.B.C.函數(shù)的最大值為2D.【答案】BCD【解析】分析】利用三角恒等變換公式逐項(xiàng)計(jì)算可得結(jié)論.【詳解】對(duì)于A,,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,,故B正確;對(duì)于C,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,故函數(shù)的最大值為2,故C正確;對(duì)于D,,故D正確.故選:BCD.10.的內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為,,,則下列說(shuō)法正確的有()A.若,則B.,則為等腰三角形C.,,,則有兩解D.若,則可以是鈍角三角形【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A,由正弦定理,大邊對(duì)大角可判斷選項(xiàng)正誤;對(duì)于B,利用余弦定理統(tǒng)一成邊的形式,化簡(jiǎn)后可判斷三角形的形狀;對(duì)于C,過(guò)作于點(diǎn),求出后與比較即可;對(duì)于D,由誘導(dǎo)公式,兩角和的正切公式可得,據(jù)此可判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】對(duì)于A,因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻?,又大邊?duì)大角,則,故A正確;對(duì)于B,由,得,所以由余弦定理得,所以,得,所以,所以,所以或,所以為等腰三角形或直角三角形,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,過(guò)作于點(diǎn),則,因?yàn)?,所以有兩解,故C正確;對(duì)于D,因?yàn)?,,所以,因?yàn)?,且不可能有兩個(gè)鈍角,所以,所以三個(gè)內(nèi)角均為銳角,故D錯(cuò)誤.故選:AC11.下列說(shuō)法正確的有()A.若,則或B.已知不共線,若向量與向量共線,則實(shí)數(shù)C.設(shè),,若與的夾角為銳角,則實(shí)數(shù)的取值范圍為D.已知向量與的夾角為,,,則在方向上的投影向量為【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A,由向量模長(zhǎng)定義可判斷選項(xiàng)正誤;對(duì)于B,由向量共線定義可判斷選項(xiàng)正誤;對(duì)于C,由題可得,據(jù)此可判斷選項(xiàng)正誤;對(duì)于D,由投影向量計(jì)算公式可判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】對(duì)于A,,則只能得到兩向量模相等,不能得到向量共線,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,因向量與向量共線,則,故B正確;對(duì)于C,因與的夾角為銳角,則且不平行于,則,故C正確;對(duì)于D,在方向上的投影向量為,因,,則,故D正確.故選:BCD三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.已知,則_________【答案】【解析】【分析】原式兩邊平方后,即可計(jì)算的值.【詳解】因?yàn)?,兩邊平方后,,所?故答案為:13.為所在平面內(nèi)的點(diǎn),,若,則______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù),化簡(jiǎn)得到,結(jié)合,求得的值,即可求解.【詳解】由,可得,因?yàn)椋?,可?故答案:.14.在中,,若,則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】先利用正弦定理化簡(jiǎn)得,再根據(jù)余弦定理得出為鈍角,最后利用正弦定理和余弦定理化簡(jiǎn)即可.【詳解】利用正弦定理則可化簡(jiǎn)為,則,因,則,則,因,則利用正弦定理和余弦定理有.故答案為:.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知向量.(1)若,求實(shí)數(shù)的值;(2)若,且為非零實(shí)數(shù),求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)題意,得到,由,結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,列出方程,即可求解;(2)根據(jù)題意,得到,由,結(jié)合共線向量的坐標(biāo)表示,列出方程,求得的關(guān)系式,即可求解.【小問(wèn)1詳解】解:因?yàn)椋傻?,因?yàn)?,所以,解?【小問(wèn)2詳解】解:因,可得,又因?yàn)?,所以,可得,因?yàn)闉榉橇銓?shí)數(shù),所以.16.已知,,,.(1)求的值;(2)求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用同角三角函數(shù)的關(guān)系以及二倍角的余弦公式即可求值;(2)先求出,再利用即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?,,所以又因?yàn)?,所以,所?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?,,所以,所以又因?yàn)?,所以,,因?yàn)樗砸驗(yàn)?,所?7.設(shè)的內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為,,,是邊的中點(diǎn),的面積為1,且.(1)求;(2)求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用正弦定理與余弦定理可求得,進(jìn)而可求;(2)由三角形的面積利用三角形的面積可求,利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律把化簡(jiǎn)計(jì)算可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?,所以由正弦定理得,所以,所以,因?yàn)?,;【小?wèn)2詳解】因?yàn)?,,?18.某校為拓展學(xué)生社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),擬建造一個(gè)四邊形的實(shí)踐基地,如圖,在四邊形區(qū)域中,將區(qū)域設(shè)立成燒烤區(qū),區(qū)域設(shè)立成花卉觀賞區(qū),邊,,,修建觀賞步道,邊修建隔離防護(hù)欄,其中米,米,.燒烤區(qū)是一個(gè)占地面積為40000平方米的實(shí)踐性區(qū)域.(1)需要修建多長(zhǎng)的隔離防護(hù)欄?(2)若要使花卉觀賞區(qū)的面積最大,應(yīng)如何設(shè)計(jì)觀賞步道?【答案】(1)米(2)應(yīng)使觀賞步道米【解析】【分析】(1)由三角形面積公式可求得,進(jìn)而可求得;(2)法一:由正弦定理可得,,進(jìn)而可得,可求解.法二,利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得的最大值,進(jìn)而可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?,,三角形面積為,所以,,而,,,所以需要修建多長(zhǎng)的隔離防護(hù)欄米.【小問(wèn)2詳解】解法一:由(1)知,設(shè),,在中,由正弦定理得:,所以,,花卉觀賞區(qū)的面積為:因,則,則當(dāng),即時(shí),取值最大,最大值,此時(shí)故為了使花卉觀賞區(qū)域的面積最大,應(yīng)使觀賞步道米.解法二:令,,由余弦定理得:,,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),則最大值,故為了使花卉觀賞區(qū)域的面積最大,應(yīng)使觀賞步道米.19.設(shè)的內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為,,,是邊的中點(diǎn),.(1)若,求面積的最大值;(2)若的面積為,且,求的值;(3)若,求的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)由題可得,由向量模長(zhǎng)公式可得,然后由基本不等式可得答案;(2)由題可得,再在中運(yùn)用正弦定理與余弦定理可得答案;(

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