河北省邢臺市質(zhì)檢聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析）

第頁，共頁2024－2025學(xué)年高一（下）質(zhì)檢聯(lián)盟期中考試數(shù)學(xué)注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第二冊第六章，第八章.一、選擇題：本題共11小題，每小題5分，共55分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知向量，，則向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先計算和，再利用公式計算即可.【詳解】由題意可得，，則向量在向量上的投影向量是.故選：C.2.下列命題正確的是（）A.棱柱中兩個互相平行平面一定是棱柱的底面B.所有面都是三角形的幾何體一定是三棱錐C.所有側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱D.棱臺的所有側(cè)棱所在直線一定交于同一點【答案】D【解析】【分析】根據(jù)柱體，錐體，臺體的定義和結(jié)構(gòu)特征逐一判斷即可.【詳解】對于A，正六棱柱中兩個互相平行的平面可能是側(cè)面，則A錯誤；對于B，正八面體的所有面都是三角形，則B錯誤；對于C，底面是菱形的直四棱柱的所有側(cè)面都是全等的矩形，則C錯誤；對于D，由棱臺的定義可知棱臺的所有側(cè)棱所在直線一定交于同一點，則D正確.故選：D.3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中的斜二測直觀圖是，其中，，則（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】將斜二測直觀圖還原成平面直角坐標(biāo)系中的平面圖，即可由勾股定理求得長.【詳解】由斜二測畫法可知，圖形中平行于軸、軸的線段，在直觀圖中分別平行于軸和軸，平行于軸的線段在直觀圖中保持不變，平行于軸的線段在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?如圖為在平面直角坐標(biāo)系中的平面圖，則，，則.故選：B.4.已知某圓柱的軸截面是邊長為的正方形，則該圓柱的側(cè)面積是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出圓柱的底面半徑和高，結(jié)合圓柱的側(cè)面積公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知該圓柱的底面半徑，高，則該圓柱的側(cè)面積是.故選：B.5.在直四棱柱中，四邊形是菱形，，，是棱的中點，則直線與平面所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】取棱的中點，證平面，得出是直線與平面所成的角，結(jié)合解三角形的知識即可得解.【詳解】取棱的中點，連接，，又是棱的中點，所以，因為平面，所以平面，則是直線與平面所成的角.設(shè)，則，，.在中，由余弦定理可得，則，所以.故選：A6.已知圓錐的軸截面是邊長為4的等邊三角形，是的中點，一只螞蟻從點出發(fā)，沿著圓錐的表面爬到點，則這只螞蟻爬行的最短距離是（）A. B.4 C. D.6【答案】C【解析】【分析】由扇形弧長公式求得，則，由勾股定理即可求解．【詳解】由題意可知圓錐的底面半徑，母線，側(cè)面展開所得扇形的圓心角，則，因為是的中點，所以，則這只螞蟻爬行的最短距離，故選：C．7.在正三棱錐中，，，是的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出輔助線，得到或其補(bǔ)角是直線與所成的角，求出各邊長，利用余弦定理求出答案..【詳解】取棱的中點，連接，，因為是的中點，所以，⊥，則或其補(bǔ)角是直線與所成的角，.由題中數(shù)據(jù)可知，，，由勾股定理得，在中，由余弦定理可得，則，故.故選：A8.在中，是線段的中點，是線段的中點，延長，交線段于點，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由平面向量的基本定理與共線向量定理求解即可.【詳解】因為是線段的中點，所以，因為是線段的中點，所以，因為，，三點共線，所以，因為，，三點共線，所以，則解得，故.故選：D9.如圖，這是一個正方體的展開圖，關(guān)于原正方體，有以下四個結(jié)論：①；（2）；（3）；（4）.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】畫出正方體，由正方體的性質(zhì)可得.【詳解】原正方體如圖所示，由正方體的性質(zhì)可知相交，，則，則四邊形為平行四邊形，則；因為等邊三角形，則，又空間內(nèi)兩條直線的夾角范圍為，則直線與所成的角為；因且，則，則①③錯誤，②④正確.故選：B.10.某工藝品加工廠收到一塊底面棱長為厘米，側(cè)棱長為厘米的正三棱錐形狀的珍貴木材，現(xiàn)用這塊木材制作一個獨特的球形飾品，則這個球形飾品的表面積的最大值是（）A.平方厘米 B.平方厘米C.平方厘米 D.平方厘米【答案】B【解析】【分析】求出正三棱錐的表面積與體積，由題意可知，這個球形飾品為正三棱錐的內(nèi)切球時，表面積最大，然后由球的表面積公式求解即可.【詳解】如圖，在正三棱錐中底面正三角形中，，，所以，在中，，，所以，所以該木材的表面積平方厘米，，所以，所以體積立方厘米.要使這個球形飾品的表面積最大，則這個球形飾品是該木材的內(nèi)切球.設(shè)內(nèi)切球的半徑為厘米，則，所以.設(shè)這個球形飾品的半徑為厘米，則，故這個球形飾品的表面積平方厘米.故選：B11.如圖，在同一個平面內(nèi)，向量，，滿足，向量，的夾角為，向量，的夾角為，且.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】根據(jù)平面向量基本定理，結(jié)合正弦定理可得解.【詳解】如圖，過點作，交于點，作，交于點，則.因為，所以，，，，.因為，且，所以由正弦定理得，得，故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.12.若平面向量，不共線，則下列各組向量可以作為平面向量的一組基底的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】ACD【解析】【分析】由于不共線的兩個向量可以作為一組基底，所以只需由共線向量定理排除即可.【詳解】因為向量，不共線，若向量，共線，則，即，無解，故向量，不共線，若向量，共線，則，即，無解，故向量，不共線，若向量，共線，則，即，無解，故向量，不共線，則向量，，向量，，向量，都可以作為平面向量的一組基底.因為，所以向量，共線，則向量，不可以作為平面向量的一組基底.故選：ACD13.已知某圓臺的上，下底面的半徑分別是和，且該圓臺的上，下底面的圓周都在半徑為的球的球面上，則該圓臺的體積可能是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的性質(zhì)可得外接球半徑與圓臺軸截面外接圓半徑相等，即可得解.【詳解】旋轉(zhuǎn)體的性質(zhì)可得外接球半徑與圓臺軸截面外接圓半徑相等，如圖所示，當(dāng)球的球心在圓臺外時，設(shè)圓臺的高為，則，解得，圓臺的體積為；當(dāng)球的球心在圓臺內(nèi)時，則，即圓臺的高，則圓臺的體積為.綜上，該圓臺的體積為或，故選：AC.14.在銳角中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知，，且，則（）A.角的取值范圍是B.的取值范圍是C.周長的取值范圍是D.的取值范圍是【答案】ABD【解析】【分析】對于選項A，先利用正弦定理轉(zhuǎn)化，得出，然后利用銳角三角形的三個內(nèi)角均為銳角建立關(guān)于角A的不等式組，解不等式組即可判斷；對于選項B，利用正弦定理得到，再結(jié)合A選項的角A的范圍求得的取值范圍；對于C選項，利用已知條件和選項B的結(jié)論，得出，再結(jié)合A選項的角A的范圍，然后求得的范圍，從而求得周長的范圍；對于選項D，利用已知條件和選項B的結(jié)論，得出再結(jié)合A選項的角A的范圍即可求得的取值范圍.【詳解】因為，且，所以，所以，所以.因為是銳角三角形，，所以，則，則解得，所以，A正確.因為，所以.因為，所以，所以，所以，即的取值范圍是，B正確..設(shè)，則在上單調(diào)遞增，所以，即.因為，所以周長的取值范圍是，C錯誤.因為，所以.因為在單調(diào)遞增，所以，所以，即，D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.15.已知某棱錐的頂點個數(shù)為，棱的條數(shù)為，則______.（用含的式子表示）【答案】【解析】【分析】根據(jù)棱錐的性質(zhì)直接可得解.【詳解】設(shè)該棱錐為棱錐，則，，則，即，故答案為：.16.某數(shù)學(xué)興趣小組成員為測量，兩地之間的距離，測得在的北偏東方向上，在的北偏西方向上，在的北偏東方向上，在的北偏東方向上，在的正東方向上，且，相距20千米，則，兩地之間的距離是______千米.【答案】【解析】【分析】畫出圖分析，在與中分別由正弦定理求出，，然后在等邊中，求解即可.【詳解】如圖：在中，由題意可知，，千米，由正弦定理可得，則千米.在中，由題意可知，，千米，由正弦定理可得，則千米.在中，，千米，則千米.故答案為：17.如圖，在四棱錐中，四邊形是平行四邊形，，，直線平面，則______.【答案】【解析】【分析】在線段上取點，使得，連接，，，由平面，可得，進(jìn)而可得是線段的中點，由向量關(guān)系可得，即可求.【詳解】如圖，在線段上取點，使得.連接，，，記，，連接，因為直線平面，且平面平面，所以.因為四邊形是平行四邊形，所以為線段的中點，則為線段的中點.因為，，所以，所以，即.因為為線段的中點，所以是線段的中點，則，所以，則.故答案為：四、解答題：本題共4小題，共62分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.18已知向量，.（1）若向量，共線，求向量的坐標(biāo)；（2）若，求.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量模長關(guān)系，即可結(jié)合共線求解，（2）根據(jù)向量垂直滿足的關(guān)系可得，即可根據(jù)模長公式求解.【小問1詳解】因為，所以.因為向量，共線，所以.當(dāng)向量，同向時，，則；當(dāng)向量，反向時，，則.故或.【小問2詳解】因為，所以，所以.因為，，所以，所以.因為，所以.19.如圖，在長方體中，四邊形是邊長為的正方形，，為棱的中點.（1）證明：平面；（2）求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）第一小問考查的是線面垂直的判定，要證平面，只需在平面內(nèi)找到兩條相交直線與垂直即可；（2）第二小問考查的是空間中點到平面的距離，可以用等體積法，根據(jù)三棱錐的體積與三棱錐的體積相等求解.【小問1詳解】證明：記.因為，為棱的中點，所以，則.因為，所以，所以.因為，所以，所以，即.由長方體的性質(zhì)可知平面.因平面，所以.因為平面，平面，且，所以平面.【小問2詳解】解：連接，.由題意可得三棱錐的體積.由長方體的性質(zhì)可知平面，且平面，則.因為，，所以，所以的面積.設(shè)點到平面的距離為，則三棱錐的體積，因為，所以，解得，即點到平面的距離為.20.如圖，在三棱柱中，、分別是棱、上一點，且，.（1）證明：平面.（2）證明：直線、、交于同一點.（3）記三棱臺的體積為，多面體的體積為，求的值.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）證明出，利用線面平行的判定定可證得結(jié)論成立；（2）證明出與相交，設(shè)，證明出為平面、平面的公共點，結(jié)合基本事實可證得結(jié)論成立；（3）設(shè)的面積為，三棱柱的高為，計算出三棱柱的體積和三棱臺的體積，即可求出的值.【小問1詳解】因為，，所以，所以.因為平面，平面，所以平面.【小問2詳解】由（1）可知，.因為，，所以，，則直線與相交.設(shè)直線與的交點為，因為點在直線上，且平面，所以平面.因為點在直線上，且平面，所以平面.因為平面平面，所以點在直線上，即直線、、交于點.【小問3詳解】設(shè)的面積為，三棱柱的高為，則三棱柱的體積.因為，所以，且，所以的面積，則三棱臺的體積，故.21.在中，角的對邊分別是，且.（1）證明：是等腰三角形.（2）若（異于兩點）在線段上，且