廣東省廣州三校2024-2025學年高一下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題（解析）

第頁，共頁2024-2025學年下學期期中三校聯(lián)考高一數(shù)學本試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先化簡集合A，再根據(jù)集合的并集運算求解.【詳解】由，解得，，又，所以．故選：D.2.已知點，則與向量共線的單位向量為（）A. B.或C. D.或【答案】D【解析】【分析】求得，利用，可求與向量共線的單位向量.【詳解】與共線的單位向量為，即或.故選：D.3.已知是邊長為2的等邊三角形，則（）A.4 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】由等邊三角形的性質，可得向量的模長以及夾角，根據(jù)數(shù)量積的定義式，可得答案.【詳解】依題意可知和的夾角為，所以.故選：D.4.如圖，已知的半徑為4，若劣弧長為，則劣弧所對圓周角的正弦的平方為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用圓心角等于弧長除以半徑，同弧所對的圓心角是圓周角的2倍，就可求得圓心角再利用余弦的二倍角公式，就可以解得答案.【詳解】設劣弧所對的圓周角為，則其所對圓心角為，由圓心角等于弧長除以半徑可知，即，又由，可以解得.故選：C.5.已知矩形的長，寬.點在線段上運動（不與兩點重合），則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依題意，點在線段上，設，建立空間直角坐標系，根據(jù)點坐標，表示出，根據(jù)，求出答案.【詳解】由題意得，點在線段上，設，且.以為坐標原點，建立平面直角坐標系如圖所示，則，則，由，故，所以，由于，所以.故選：A.6.已知圓錐的軸截面為為該圓錐的頂點，該圓錐內(nèi)切球的表面積為，若，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】研究圓錐與內(nèi)切球的軸截面，由題可得內(nèi)切球半徑，在軸截面中解直角三角形分別求出圓錐的高與底面半徑即可.【詳解】如圖所示，設內(nèi)切球與相切于點，因為，所以，由內(nèi)切球的表面積為，可得球的半徑，在直角中得，則圓錐高為，在直角中得，即圓錐的底面半徑為3，所以該圓錐的體積．故選：A．7.設的內(nèi)角的對邊分別為，已知，且，則角（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依題意，，結合正弦定義得，即，即得結論.【詳解】由，得，由正弦定理，得，或.又.故選：B.8.我們知道：的圖象關于原點成中心對稱圖形的充要條件是為奇函數(shù)，有同學發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：的圖象關于成中心對稱圖形的充要條件是為奇函數(shù)．若的圖象的對稱中心為，則（）A.8088 B.4044 C.2022 D.1011【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對稱性的定義求出函數(shù)的對稱中心為，可得，結合對稱性進行配對求和即可.【詳解】若函數(shù)圖象的對稱中心為，則為奇函數(shù)，即為奇函數(shù)，必有且，解得，所以的圖象的對稱中心為，即有，，，，，所以，，.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：解題關鍵是確定的對稱中心，解題時根據(jù)定義，利用是奇函數(shù)，得出圖象的對稱中心，然后函數(shù)值配對求和．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知為復數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的概念及運算可得.【詳解】對于A，設，當時，，得，得，即，故A正確；對于B，令，可知，故B錯誤；對于C，令，可知，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：AD10.如圖，在三棱柱中，，下列結論中正確的有（）A.平面平面B.直線與所成角的正切值是C.三棱錐的外接球的表面積是D.該三棱柱各側面的所有面對角線長的平方和等于它所有棱長的平方和的3倍【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)題意，證得平面，可判定A正確；由，得到直線與所成的角即為直線與所成的角，設，在中，求得，可判定B正確；將三棱錐補成一個棱長為2的正方體，求得外接球的半徑，可判定C正確；根據(jù)平行四邊形的性質，可判定D錯誤.【詳解】對于A中，因為，且，所以平面，又因為平面，則平面平面，所以A正確；對于B中，因為，則直線與所成的角即為直線與所成的角，設，在平行四邊形中，與相交于點，等腰直角三角形，，所以，可得，所以，又由，解得，所以B正確；對于C中，由于兩兩垂直且相等，故可將三棱錐補成一個棱長為2的正方體，正方體的外接球就是三棱錐的外接球，半徑是，所以外接球的表面積是，所以C正確；對于D中，在平行四邊形中，可得，可得，所以，同理可得：，，相加得，所以該三棱柱各側面的所有面對角線長的平方和等于它所有棱長的平方和的2倍，所以D錯誤；故選：ABC11.已知函數(shù)，且在區(qū)間上為單調函數(shù)，若函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值可以是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】由函數(shù)在區(qū)間上為單調函數(shù)，結合二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質，得到，再由有兩個不同的零點，轉化為與的圖象有兩個不同的交點，進而得到與的圖象在上也僅有一個公共點，滿足或與的圖象相切，結合二次函數(shù)的性質，即可求解.【詳解】由函數(shù)，在區(qū)間上為單調函數(shù)，因為時，函數(shù)在上單調遞增，所以只需滿足，解得，又因為有兩個不同的零點，即由兩個不同的實數(shù)根，即函數(shù)與的圖象有兩個不同的交點，作出函數(shù)與的圖象，如圖所示，當時，由，可得，又由，所以，所以函數(shù)與的圖象在上僅有一個公共點，則函數(shù)與的圖象在上也僅有一個公共點，則滿足或與的圖象相切，即有一解，所以或，解得或，綜上可得，實數(shù)的取值范圍為，結合選項，選項B、C滿足題意.故選：BC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，為單位向量，且滿足，則向量在向量方向的投影向量為________【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運算律求出，再利用投影向量的意義求解.【詳解】由，得，則，又，為單位向量，則，，所以向量在向量方向的投影向量為.故答案為：13.已知函數(shù)在區(qū)間上恰有一個零點，則的取值范圍______．【答案】．【解析】【分析】先求出的取值范圍，再結合正弦函數(shù)的性質，根據(jù)函數(shù)在給定區(qū)間上恰有一個零點來確定的取值范圍.【詳解】已知，，則，所以.

因為函數(shù)（）在區(qū)間上恰有一個零點.正弦函數(shù)的零點為，.當時，；當時，.要使函數(shù)在上恰有一個零點，則.解不等式可得：.

的取值范圍是.故答案為：.14.“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳車的標志而來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論，奔馳定理與三角形的四心（重心?內(nèi)心?外心?垂心）有著美麗的邂逅.它的具體內(nèi)容是：如圖，若是內(nèi)一點，的面積分別為，則有.已知為的內(nèi)心，且，若，則的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】利用為的內(nèi)心，再結合奔馳定理可得，再由已知條件轉化可得，利用平面向量基本定理可知，從而得到，再由，可得，利用均值不等式可得，最后可得.【詳解】因為的內(nèi)心到該三角形三邊的距離相等，則，由可得，所以，又，則，所以，兩式相加可得，化簡可得，又，由余弦定理可得，由基本不等式可得，所以，當且僅當時等號成立，所以.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是利用奔馳定理得到，再結合余弦定理和基本不等式即可得到，最后即可得到的最大值.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)（且）的圖像與函數(shù)的圖像關于直線對稱.（1）若在區(qū)間上的值域為，求的值；（2）在（1）的條件下，解關于的不等式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)反函數(shù)的關系先得出表達式，進而得出表達式，利用的單調性，分類討論得出結果；（2）由（1）的單調性，結合定義域的范圍，解不等式組即可.【小問1詳解】由題知，是的反函數(shù)，，故.當時，根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的單調性，均在單調遞減，于是在上單調遞減，故，此時不成立；當時，根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的單調性，均在單調遞增，在上單調遞增，故，此時成立.綜上可知：【小問2詳解】由（1）知，，為定義在的增函數(shù)，根據(jù)，定義域滿足：，解得.由單調性和可得，，整理得，結合可知，16.的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．已知．（1）證明：．（2）若，，求的面積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理與三角函數(shù)和差公式整理等式，根據(jù)三角形的性質以及正弦函數(shù)的性質，可得答案；（2）利用正弦定理以及余弦定理，解得邊與角，根據(jù)面積公式，可得答案.【小問1詳解】由，根據(jù)正弦定理可得，，，，由，則，解得或（舍去），所以.【小問2詳解】由正弦定理可得，即，，解得，由余弦定理可得，則，整理可得，分解因式可得，解得或，當時，，由，解得，，不合題意；當時，的面積.17.如圖，在四棱錐中，底面，，點為棱中點.（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積；（3）求直線與平面所成角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）取中點，連接，由已知可證四邊形為平行四邊形，可得，可證結論；（2）利用，可求三棱錐的體積；（3）易證平面，可得，進而可證平面，可得為直線與平面所成的角，求解即可.【小問1詳解】如圖，取中點，連接，由于分別為的中點，故，且，又，可得，且，故四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面平面，所以平面.小問2詳解】因為為的中點，所以，因為底面，所以，即.【小問3詳解】因為底面底面，又平面，平面.又平面.為的中點，，又平面，平面，直線在平面內(nèi)的射影為直線，故為直線與平面所成的角，由底面底面可得，，為等腰直角三角形，且平分，，所以直線與平面所成的角為.18.已知向量，函數(shù).（1）若，求的值；（2）已知是銳角三角形，角所對應的邊分別為，且，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意可得，利用已知可得，可求；（2）由已知可得，或，分類討論可求得的取值范圍.【小問1詳解】向量，則函數(shù)，因為，所以，所以.【小問2詳解】由（1）得，，.由，得，因為是銳角三角形，所以或.①當時，，由可得，由正弦定理得，令，因為，所以.在上單調遞增，當時，，當時，，故，即.②當時，，則，與已知矛盾.綜上所述，的取值范圍是.19.函數(shù)的凹凸性的定義是由丹麥著名的數(shù)學家兼工程師JohanJensen在1905年提出來的．其中對于凸函數(shù)的定義如下：設連續(xù)函數(shù)的定義域為（或開區(qū)間或，或都可以），若對于區(qū)間上任意兩個數(shù)，均有成立，則稱為區(qū)間上的凸函數(shù)．容易證明譬如都是凸函數(shù)．JohanJensen在1906年將上述不等式推廣到了個變量的情形，即著名的Jensen不等式：若函數(shù)為其定義域上的凸函數(shù)，則對其定義域內(nèi)任意個數(shù)，均有成立，當且僅當時等號成立．（1）若函數(shù)為上的凸函數(shù)，求的取值范圍：（2）在中，求的最小值；（3）若連續(xù)函數(shù)的定義域和值域都是，且對于任意均滿足下述兩個不等式：，證明：函數(shù)為上的凸函數(shù)．（注：）【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（