甘肅省嘉峪關(guān)市酒鋼三中2013屆高三上學(xué)期第一次考試（數(shù)學(xué)理）

甘肅省嘉峪關(guān)市酒鋼三中2013屆高三上學(xué)期第一次考試（數(shù)學(xué)理）一、選擇題要求：從每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出一個(gè)正確答案。1.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$，則函數(shù)的對(duì)稱中心為（）A.$(1,-1)$B.$(1,0)$C.$(0,1)$D.$(0,-1)$2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，且$a_1+a_5=12$，$S_9=72$，則該數(shù)列的公差為（）A.2B.3C.4D.5二、填空題要求：直接寫出答案。3.函數(shù)$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$的導(dǎo)數(shù)為______。4.若復(fù)數(shù)$z$滿足$|z-1|=|z+1|$，則復(fù)數(shù)$z$在復(fù)平面上的幾何意義為______。三、解答題要求：寫出解題過程。5.（本題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，其中$a\neq0$，且$f(1)=0$，$f'(1)=2$，$f(2)=8$，$f(3)=27$。求函數(shù)$f(x)$的解析式。（1）求$a$的值；（2）求$b$的值；（3）求$c$的值；（4）求$d$的值。四、解答題要求：寫出解題過程。6.（本題滿分12分）在三角形ABC中，AB=AC=4，BC=6，點(diǎn)D是邊BC上的一點(diǎn)，且AD垂直于BC。求證：$BD^2+DC^2=2AD^2$。五、解答題要求：寫出解題過程。7.（本題滿分15分）已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+1}$，求函數(shù)$f(x)$的極值點(diǎn)，并說明極值的性質(zhì)。六、解答題要求：寫出解題過程。8.（本題滿分10分）在等比數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，公比$q=2$，求前$n$項(xiàng)和$S_n$的表達(dá)式，并求出數(shù)列中第10項(xiàng)$a_{10}$的值。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A解析：函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$的對(duì)稱中心可以通過求導(dǎo)數(shù)找到極值點(diǎn)，然后計(jì)算極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。求導(dǎo)得$f'(x)=3x^2-6x+2$，令$f'(x)=0$得$x=1$，代入原函數(shù)得$f(1)=-1$，所以對(duì)稱中心為$(1,-1)$。2.C解析：等差數(shù)列的前$n$項(xiàng)和公式為$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，其中$a_n=a_1+(n-1)d$。由$a_1+a_5=12$得$a_1+a_1+4d=12$，即$2a_1+4d=12$。又因?yàn)?S_9=72$，代入公式得$\frac{9}{2}(2a_1+8d)=72$，解得$d=4$。二、填空題3.$6x^2-6x+4$解析：函數(shù)$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$的導(dǎo)數(shù)可以通過對(duì)每一項(xiàng)分別求導(dǎo)得到，即$f'(x)=6x^2-6x+4$。4.點(diǎn)$z$位于實(shí)軸上，且到點(diǎn)$1$和點(diǎn)$-1$的距離相等解析：復(fù)數(shù)$z=a+bi$，由$|z-1|=|z+1|$得$|a+bi-1|=|a+bi+1|$，即$\sqrt{(a-1)^2+b^2}=\sqrt{(a+1)^2+b^2}$。平方后化簡(jiǎn)得$a=0$，所以$z=bi$，$z$位于實(shí)軸上。三、解答題5.（1）$a=1$解析：由$f(1)=0$得$a+b+c+d=0$，由$f'(1)=2$得$3a+2b+c=2$，由$f(2)=8$得$8a+4b+2c+d=8$，由$f(3)=27$得$27a+9b+3c+d=27$。解這個(gè)方程組得$a=1$。（2）$b=-1$解析：將$a=1$代入$3a+2b+c=2$得$2b+c=-1$，將$a=1$代入$8a+4b+2c+d=8$得$4b+2c+d=6$，將$a=1$代入$27a+9b+3c+d=27$得$9b+3c+d=20$。解這個(gè)方程組得$b=-1$。（3）$c=0$解析：將$a=1$和$b=-1$代入$2b+c=-1$得$c=0$。（4）$d=-1$解析：將$a=1$，$b=-1$，$c=0$代入$a+b+c+d=0$得$d=-1$。四、解答題6.解析：由勾股定理得$AD^2=AB^2-BD^2$，$AD^2=AC^2-DC^2$。因?yàn)?AB=AC$，所以$AD^2=BD^2+DC^2$，即$BD^2+DC^2=2AD^2$。五、解答題7.解析：求導(dǎo)得$f'(x)=\frac{-1}{(x-2)^2}-\frac{1}{(x+1)^2}$，令$f'(x)=0$得$x=1$或$x=-3$。通過判斷$f'(x)$的符號(hào)變化確定極值點(diǎn)，得$x=1$為極大值點(diǎn)，$x=-3$為極小值點(diǎn)。六、解答題8.解析：等比數(shù)列的前$n$項(xiàng)和公式為$S_n=\frac{a_1(