大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計2025年秋季學(xué)期期中考試試題及答案詳解

大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計2025年秋季學(xué)期期中考試試題及答案詳解一、選擇題（每小題5分，共20分）1.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，且E(X)=4，則λ=（）。A.2B.4C.8D.162.設(shè)隨機(jī)變量X～N(μ,σ2)，則P{|X-μ|≥σ}=（）。A.0.6826B.0.9545C.0.9973D.0.99993.在一次考試中，某學(xué)生成績服從正態(tài)分布N(70,9)，則該生成績在70分以下的概率為（）。A.0.5B.0.1587C.0.8413D.0.99984.設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，且X～B(3,0.5)，Y～B(2,0.4)，則P(X+Y≥2)=（）。A.0.375B.0.625C.0.75D.0.8755.設(shè)隨機(jī)變量X～U(0,1)，則E(X2)=（）。A.0.5B.1/3C.1/2D.1二、填空題（每小題5分，共25分）1.設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p)，則P(X=k)=______。2.設(shè)隨機(jī)變量X～N(μ,σ2)，則隨機(jī)變量Y=3X+2～______。3.設(shè)隨機(jī)變量X～N(0,1)，則P(-1≤X≤1)=______。4.設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，且X～B(3,0.5)，Y～B(2,0.4)，則P(X+Y≥2)=______。5.設(shè)隨機(jī)變量X～U(0,1)，則E(X2)=______。三、計算題（每小題15分，共30分）1.設(shè)隨機(jī)變量X～B(5,0.4)，求P(X=3)。2.設(shè)隨機(jī)變量X～N(100,25)，求P(90≤X≤110)。3.設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，且X～B(3,0.5)，Y～B(2,0.4)，求P(X+Y≥2)。四、證明題（每小題15分，共30分）1.證明：若隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且X～B(n,p)，Y～B(m,q)，則E(XY)=E(X)E(Y)。2.證明：若隨機(jī)變量X～N(μ,σ2)，則隨機(jī)變量Y=aX+b～N(aμ+b,a2σ2)。五、應(yīng)用題（每小題15分，共30分）1.某班有30名學(xué)生，隨機(jī)抽取5名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，求抽取的5名學(xué)生中至少有2名成績在80分以上的概率。2.某地區(qū)某年發(fā)生地震的概率為0.1%，求該地區(qū)連續(xù)兩年不發(fā)生地震的概率。六、綜合題（每小題20分，共40分）1.設(shè)隨機(jī)變量X～N(0,1)，求P(X≤0.5)。2.設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，且X～U(0,1)，Y～U(0,1)，求P(X+Y≤1)。本次試卷答案如下：一、選擇題答案及解析：1.B。泊松分布的期望值E(X)等于其參數(shù)λ，所以λ=4。2.D。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)Φ(1)約等于0.8413，因此P{|X-μ|≥σ}=1-2Φ(1)≈0.1587。3.B。正態(tài)分布的對稱性，70分是均值，距離均值一個標(biāo)準(zhǔn)差σ，根據(jù)3σ原則，概率約為0.1587，即1-0.1587=0.8413。4.C。由于X和Y相互獨(dú)立，所以P(X+Y≥2)=P(X=0)P(Y=2)+P(X=1)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)。計算得0.375+0.375+0.25=0.75。5.A。均勻分布U(0,1)的期望E(X)是區(qū)間的中點(diǎn)，即(0+1)/2=0.5，方差D(X)是區(qū)間長度的平方除以12，即(1-0)2/12=1/12，因此E(X2)=Var(X)+[E(X)]2=1/12+0.25=0.5。二、填空題答案及解析：1.設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p)，則P(X=k)=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)。2.設(shè)隨機(jī)變量X～N(μ,σ2)，則隨機(jī)變量Y=3X+2～N(3μ+2,32σ2)。3.設(shè)隨機(jī)變量X～N(0,1)，則P(-1≤X≤1)=Φ(1)-Φ(-1)=Φ(1)+Φ(1)-1=2Φ(1)-1≈0.6826。4.設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，且X～B(3,0.5)，Y～B(2,0.4)，則P(X+Y≥2)=P(X=0)P(Y=2)+P(X=1)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=0.125+0.375+0.25=0.75。5.設(shè)隨機(jī)變量X～U(0,1)，則E(X2)=∫[0,1]x2dx=[x3/3]from0to1=1/3。三、計算題答案及解析：1.設(shè)隨機(jī)變量X～B(5,0.4)，求P(X=3)。解析：P(X=3)=C(5,3)×0.4^3×0.6^2=10×0.064×0.36=0.2304。2.設(shè)隨機(jī)變量X～N(100,25)，求P(90≤X≤110)。解析：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布轉(zhuǎn)換，P(90≤X≤110)=Φ((110-100)/5)-Φ((90-100)/5)=Φ(2)-Φ(-1)≈0.9772-0.1587=0.8185。3.設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，且X～B(3,0.5)，Y～B(2,0.4)，求P(X+Y≥2)。解析：P(X+Y≥2)=P(X=0)P(Y=2)+P(X=1)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=0.125+0.375+0.25=0.75。四、證明題答案及解析：1.證明：若隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且X～B(n,p)，Y～B(m,q)，則E(XY)=E(X)E(Y)。解析：E(XY)=∑[k=0ton]k×P(X=k)×∑[j=0tom]j×P(Y=j)=∑[k=0ton]k×C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)×∑[j=0tom]j×C(m,j)×q^j×(1-q)^(m-j)。由于X和Y相互獨(dú)立，所以E(XY)=∑[k=0ton]k×C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)×∑[j=0tom]j×C(m,j)×q^j×(1-q)^(m-j)=∑[k=0ton]k×C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)×E(Y)。E(Y)=∑[j=0tom]j×C(m,j)×q^j×(1-q)^(m-j)=p×m，所以E(XY)=E(X)E(Y)=np×p×m=np×m。2.證明：若隨機(jī)變量X～N(μ,σ2)，則隨機(jī)變量Y=aX+b～N(aμ+b,a2σ2)。解析：E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=aμ+b，D(Y)=D(aX+b)=a2D(X)=a2σ2，因此Y～N(aμ+b,a2σ2)。五、應(yīng)用題答案及解析：1.某班有30名學(xué)生，隨機(jī)抽取5名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，求抽取的5名學(xué)生中至少有2名成績在80分以上的概率。解析：設(shè)事件A為“抽取的5名學(xué)生中至少有2名成績在80分以上”，則P(A)=1-P(0名在80分以上)-P(1名在80分以上)。設(shè)P(成績在80分以上)=p，則P(A)=1-(C(30,5)×p^5×(1-p)^(25)-C(30,4)×p^4×(1-p)^(26))。2.某地區(qū)某年發(fā)生地震的概率為0.1%，求該地區(qū)連續(xù)兩年不發(fā)生地震的概率。解析：設(shè)事件B為“某地區(qū)某年發(fā)生地震”，則P(B)=0.001，事件B的補(bǔ)事件為“某地區(qū)某年不發(fā)生地震”，則P(不發(fā)生地震)=1-0.001=0.999。由于地震發(fā)生與否是獨(dú)立事件，所以P(連續(xù)兩年不發(fā)生地震)=P(不發(fā)生地震)×P(不發(fā)生地震)=0.999×0.999=0.998001。六、綜合題答案及解析：1.設(shè)隨機(jī)變量X～N(0,1)，求P(X