廣東省梅縣東山中學(xué)2013屆高三上學(xué)期期中考試（數(shù)學(xué)文）

廣東省梅縣東山中學(xué)2013屆高三上學(xué)期期中考試（數(shù)學(xué)文）一、選擇題要求：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$，則$f'(x)$的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是A.1B.2C.3D.42.已知數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，且對(duì)于任意的$n\in\mathbb{N}^*$，都有$a_{n+1}=a_n^2+1$，則數(shù)列$\{a_n\}$中存在一個(gè)數(shù)，它的倒數(shù)在$(\frac{1}{2},1)$內(nèi)，則這個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)為A.1B.2C.3D.43.若函數(shù)$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$（$a\neq0$）的圖象與直線$y=x$相切，且切點(diǎn)坐標(biāo)為$(1,1)$，則$\frac{f'(1)}{f(1)}$的值為A.1B.2C.3D.44.已知函數(shù)$f(x)=x^2+2ax+a^2$在區(qū)間$[-1,1]$上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是A.$[-2,2]$B.$(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$C.$[-2,0)\cup(0,2]$D.$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$5.設(shè)$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}2&3\\1&2\end{bmatrix}$，則$|2A-B|$的值為A.8B.12C.16D.206.若向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow=(2,3)$，則$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow$的值為A.7B.5C.3D.1二、填空題要求：把答案填在題目的橫線上。7.已知函數(shù)$f(x)=\lnx$，則$f'(x)=\quad\quad\quad$8.已知數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，且對(duì)于任意的$n\in\mathbb{N}^*$，都有$a_{n+1}=\sqrt{a_n^2+2}$，則$a_3=\quad\quad\quad$9.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$，則$f(2)=\quad\quad\quad$10.已知數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，且對(duì)于任意的$n\in\mathbb{N}^*$，都有$a_{n+1}=2a_n-1$，則$a_4=\quad\quad\quad$11.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的圖象與直線$y=x$相切，則$a+b+c=\quad\quad\quad$12.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{x-1}$，則$f(-1)=\quad\quad\quad$三、解答題要求：解答下面各題。13.（本小題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$（$a\neq0$）的圖象與直線$y=x$相切，且切點(diǎn)坐標(biāo)為$(1,1)$，求實(shí)數(shù)$a$，$b$，$c$，$d$的值。14.（本小題滿分12分）已知數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，且對(duì)于任意的$n\in\mathbb{N}^*$，都有$a_{n+1}=2a_n-1$，求證：數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=2^n-1$。15.（本小題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$，求證：存在實(shí)數(shù)$\xi$，使得$f'(\xi)=f(\xi)$。16.（本小題滿分12分）已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow=(2,3)$，求$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow$的值。四、解答題要求：解答下面各題。17.（本小題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$，求$f(x)$在區(qū)間$[-1,1]$上的最大值和最小值。18.（本小題滿分12分）已知數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，且對(duì)于任意的$n\in\mathbb{N}^*$，都有$a_{n+1}=a_n^2-2$，求證：數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=2^{n-1}$。19.（本小題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{x-1}$，求證：存在實(shí)數(shù)$\xi$，使得$f'(\xi)=f(\xi)$。20.（本小題滿分12分）已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow=(2,3)$，求向量$\overrightarrow{a}$與向量$\overrightarrow$的夾角$\theta$，其中$0\leq\theta<\pi$。五、解答題要求：解答下面各題。21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的圖象與直線$y=x$相切，且切點(diǎn)坐標(biāo)為$(1,1)$，求實(shí)數(shù)$a$，$b$，$c$的值。22.（本小題滿分12分）已知數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，且對(duì)于任意的$n\in\mathbb{N}^*$，都有$a_{n+1}=a_n+2$，求證：數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=2n+1$。23.（本小題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{x-1}$，求證：存在實(shí)數(shù)$\xi$，使得$f'(\xi)=f(\xi)$。24.（本小題滿分12分）已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow=(2,3)$，求向量$\overrightarrow{a}$與向量$\overrightarrow$的叉積$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow$。六、解答題要求：解答下面各題。25.（本小題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$，求$f(x)$在區(qū)間$[-1,1]$上的單調(diào)區(qū)間。26.（本小題滿分12分）已知數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，且對(duì)于任意的$n\in\mathbb{N}^*$，都有$a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n$，求證：數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$。27.（本小題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{x-1}$，求證：存在實(shí)數(shù)$\xi$，使得$f'(\xi)=f(\xi)$。28.（本小題滿分12分）已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow=(2,3)$，求向量$\overrightarrow{a}$與向量$\overrightarrow$的外積$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow$。本次試卷答案如下：一、選擇題1.答案：B解析思路：求導(dǎo)得到$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$，解得$x=\pm1$，代入原函數(shù)得到$f(1)=0$，$f(-1)=4$，故$f'(x)$的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2。2.答案：B解析思路：觀察數(shù)列的遞推關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)$a_2=3$，$a_3=7$，$a_4=15$，$a_5=31$，$a_6=63$，以此類推，可以發(fā)現(xiàn)$a_n=2^{n-1}+1$，因此存在兩個(gè)數(shù)，它們的倒數(shù)在$(\frac{1}{2},1)$內(nèi)。3.答案：A解析思路：求導(dǎo)得到$f'(x)=3ax^2+2bx+c$，代入切點(diǎn)坐標(biāo)$(1,1)$，得到$f'(1)=3a+2b+c=1$，代入$f(1)=a+b+c=1$，解得$a=1$，$b=0$，$c=0$，故$\frac{f'(1)}{f(1)}=1$。4.答案：C解析思路：求導(dǎo)得到$f'(x)=2x+2a$，由于$f(x)$在區(qū)間$[-1,1]$上單調(diào)遞增，故$f'(x)\geq0$，即$2x+2a\geq0$，解得$a\geq-x$，代入$x=-1$得到$a\geq-1$，代入$x=1$得到$a\geq-1$，故$a\in[-2,2]$。5.答案：C解析思路：計(jì)算$2A-B$得到$\begin{bmatrix}0&2\\5&6\end{bmatrix}$，其行列式為$0\cdot6-2\cdot5=-10$，故$|2A-B|=-10$。6.答案：A解析思路：計(jì)算向量點(diǎn)積$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=1\cdot2+2\cdot3=8$。二、填空題7.答案：$\frac{1}{x}$解析思路：對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為$\frac{1}{x}$。8.答案：3解析思路：根據(jù)遞推關(guān)系$a_{n+1}=\sqrt{a_n^2+2}$，代入$a_1=2$得到$a_2=\sqrt{2^2+2}=2\sqrt{2}$，代入$a_2=2\sqrt{2}$得到$a_3=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+2}=3$。9.答案：2解析思路：代入$x=2$得到$f(2)=2^3-3\cdot2+2=2$。10.答案：15解析思路：根據(jù)遞推關(guān)系$a_{n+1}=2a_n-1$，代入$a_1=1$得到$a_2=2\cdot1-1=1$，代入$a_2=1$得到$a_3=2\cdot1-1=1$，代入$a_3=1$得到$a_4=2\cdot1-1=1$，以此類推，得到$a_4=15$。11.答案：0解析思路：由于$f(x)$的圖象與直線$y=x$相切，故$f(x)=x$，即$ax^2+bx+c=x$，整理得到$ax^2+(b-1)x+c=0$，由于相切，故判別式$\Delta=(b-1)^2-4ac=0$，代入$a+b+c=1$得到$a+b+c=0$。12.答案：-1解析思路：代入$x=-1$得到$f(-1)=\frac{(-1)^2}{-1-1}=-\frac{1}{2}$。三、解答題13.解析思路：求導(dǎo)得到$f'(x)=3ax^2+2bx+c$，代入切點(diǎn)坐標(biāo)$(1,1)$，得到$f'(1)=3a+2b+c=1$，代入$f(1)=a+b+c=1$，解得$a=1$，$b=0$，$c=0$，故$a=1$，$b=0$，$c=0$。14.解析思路：根據(jù)遞推關(guān)系$a_{n+1}=2a_n-1$，代入$a_1=1$得到$a_2=2\cdot1-1=1$，代入$a_2=1$得到$a_3=2\cdot1-1=1$，以此類推，得到$a_n=2^n-1$。15.解析思路：求導(dǎo)得到$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$，解得$x=\pm1$，代入原函數(shù)得到$f(1)=0$，$f(-1)=4$，故存在實(shí)數(shù)$\xi$，使得$f'(\xi)=f(\xi)$。16.解析思路：計(jì)算向量點(diǎn)積$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=1\cdot2+2\cdot3=8$。四、解答題17.解析思路：求導(dǎo)得到$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$，解得$x=\pm1$，代入原函數(shù)得到$f(1)=0$，$f(-1)=4$，故$f(x)$在區(qū)間$[-1,1]$上的最大值為4，最小值為0。18.解析思路：根據(jù)遞推關(guān)系$a_{n+1}=a_n^2-2$，代入$a_1=1$得到$a_2=1^2-2=-1$，代入$a_2=-1$得到$a_3=(-1)^2-2=-1$，以此類推，得到$a_n=2^{n-1}$。19.解析思路：求導(dǎo)得到$f'(x)=\frac{2x(x-1)-x^2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$，令$f'(x)=0$，解得$x=0$，代入原函數(shù)得到$f(0)=0$，故存在實(shí)數(shù)$\xi$，使得$f'(\xi)=f(\xi)$。20.解析思路：計(jì)算向量點(diǎn)積$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=1\cdot2+2\cdot3=8$，計(jì)算向量模長(zhǎng)$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$|\overrightarrow|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，代入$\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow|}$得到$\cos\theta=\frac{8}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{13}}$，解得$\theta=\cos^{-1}\frac{8}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{13}}$。五、解答題21.解析思路：求導(dǎo)得到$f'(x)=3ax^2+2bx+c$，代入切點(diǎn)坐標(biāo)$(1,1)$，得到$f'(1)=3a+2b+c=1$，代入$f(1)=a+b+c=1$，解得$a=1$，$b=0$，$c=0$，故$a=1$，$b=0$，$c=0$。22.解析思路：根據(jù)遞推關(guān)系$a_{n+1}=a_n+2$，代入$a_1=2$得到$a_2=2+2=4$，代入$a_2=4$得到$a_3=4+2=6$，以此類推，得到$a_n=2n+1$。23.解析思路：求導(dǎo)得到$f'(x)=\frac{2x(x-1)-x^2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$，令$f'(x)=0$，解得$x=0$，代入原函數(shù)得