高中數(shù)學(xué)《對(duì)不等式》課例分析

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b+mb

1教學(xué)設(shè)計(jì)

1.1教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：經(jīng)歷不等式的實(shí)際問(wèn)題背景、幾何圖形解釋的探索過(guò)程，初步

體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。

過(guò)程與方法：讓學(xué)生親身經(jīng)歷不等式的探索過(guò)程，獲取歸納、分析和總結(jié)的

能力。通過(guò)對(duì)提出的不等式的研究，提出探索性的問(wèn)題，使學(xué)生能用數(shù)學(xué)的眼光

觀察、分析、處理生活中的實(shí)際問(wèn)題。

情感與態(tài)度：從學(xué)生樂(lè)于接受的現(xiàn)實(shí)背景中出發(fā)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是解決

實(shí)際問(wèn)題和交流的重要工具。學(xué)生通過(guò)討論，互相激勵(lì)，有助于改變部分學(xué)生的

心理狀態(tài)，培養(yǎng)學(xué)生合作交流的學(xué)習(xí)方式。

1.2教學(xué)模式

設(shè)置問(wèn)題情境一提出數(shù)學(xué)問(wèn)題一解決數(shù)學(xué)問(wèn)題一聯(lián)系實(shí)際應(yīng)用

2教學(xué)過(guò)程

2.1提出問(wèn)題導(dǎo)入課題

教具：礦泉水、杯子幾個(gè)、白砂糖、吸管。

實(shí)驗(yàn)：教師先兌一杯糖水，分裝在兩個(gè)杯子中。此時(shí)，教師先請(qǐng)一名同學(xué)嘗

一嘗其中一個(gè)杯子中的糖水，然后再在另一個(gè)杯子中加入一些糖，再請(qǐng)這名同學(xué)

嘗一嘗，并讓他說(shuō)一說(shuō)兩杯糖水的差異。

（學(xué)生回答）

師：在生活中，我們都知道這樣一個(gè)常識(shí)，如果我們沖一杯糖水喝，當(dāng)覺(jué)得

不夠甜時(shí)，只需要再放入一些糖，糖水就變甜了，這一簡(jiǎn)單的常識(shí)背后蘊(yùn)含了深

刻的數(shù)學(xué)知識(shí)。下面我們就從數(shù)學(xué)的角度討論這一問(wèn)題。事實(shí)上，“糖水變甜了”

反映了一個(gè)不等關(guān)系，那么我們能不能找出這個(gè)關(guān)系并用數(shù)學(xué)式子來(lái)表示呢？

（教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)糖水加糖前后糖的質(zhì)量百分?jǐn)?shù)的大小，提煉出關(guān)于a、

b、m的關(guān)系式：a—m>—（/?>?>0,m>0）.）

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（點(diǎn)評(píng)：“講”變?yōu)椤皩?dǎo)。生活中的“經(jīng)驗(yàn)”為知識(shí)的理解鋪平了道路。

這樣身臨其境地導(dǎo)入，使學(xué)生有一種親切感,能使學(xué)生把抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)具體化,

為學(xué)生創(chuàng)設(shè)溫馨、和諧、引人入勝的學(xué)習(xí)環(huán)境，從而感受數(shù)學(xué)的情趣。)

2.2觀察討論數(shù)形結(jié)合

觀察下圖：

(其中a<0)

你能根據(jù)圖形寫出a、b、m的哪些關(guān)系式？

(點(diǎn)評(píng)：創(chuàng)新始于問(wèn)題！設(shè)疑一編擬符合學(xué)生認(rèn)知水平、富有啟發(fā)性、挑戰(zhàn)

性的問(wèn)題一解決問(wèn)題的同時(shí)解決疑問(wèn)，從而激發(fā)學(xué)生的探究欲望。)

2.3探索研究拓展思維

師：事實(shí)上，前面我們從一個(gè)生活小常識(shí)和一個(gè)幾何圖形給出了一個(gè)常見(jiàn)不

等式

a+ma,.?八、

------->—(Z?>a>0,m>0)

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的模型解釋.雖然在數(shù)學(xué)中，a、b、m只是代表具體的、枯燥的數(shù)，但當(dāng)我們賦

予a、b、m一定的含義后，例如前面所說(shuō)的糖水問(wèn)題，不等式”生>@就有了

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實(shí)際意義。同樣，當(dāng)我們用幾何的眼光或者說(shuō)戴上“笛卡爾眼鏡”再來(lái)看這個(gè)不

等式時(shí)，就把數(shù)與形聯(lián)系在一起了，這樣，會(huì)使這個(gè)不等式變得直觀而生動(dòng)。在

這里，第一個(gè)模型我們可以命名為“糖水模型”，第二個(gè)模型我們可以命名為“正

切模型今天我們的問(wèn)題是：

(1)對(duì)不等式空或(a+m)b〉a(b+m),你會(huì)聯(lián)想到其他學(xué)科(特別是物

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理、化學(xué)、生物)中的哪一些公式、定理或生活中的某些事實(shí)?請(qǐng)根據(jù)你的聯(lián)想

把這個(gè)不等式拓展到其他學(xué)科或生活中，并盡可能多地給出這個(gè)不等式在其他學(xué)

科或生活中的模型。

(2)不等式;上依>@或(。+機(jī)巾>。3+㈤與幾何中的某些知識(shí)有聯(lián)系(前

b+mb

者如直線“斜率”公式等，后者如矩形面積公式等），你能從新的視角賦予這個(gè)

不等式一個(gè)幾何解釋嗎？

以上兩題各小組的同學(xué)至少選一題進(jìn)行討論，并把你們組的討論結(jié)果寫在答

題紙上。

（點(diǎn)評(píng)：把教學(xué)內(nèi)容變?yōu)閱?wèn)題的“鏈接”，引導(dǎo)學(xué)生憑借自己的努力一一嘗

試、探索、調(diào)查、實(shí)驗(yàn)、合作等進(jìn)行問(wèn)題求解，在解決問(wèn)題的過(guò)程中激起學(xué)生的

問(wèn)題意識(shí)并生成更多、更深刻的問(wèn)題。）

2.4學(xué)生探究成果

小組一（人口模型）：一個(gè)工廠有工人b名，其中男工a名（b>a〉O）,若男

工增加m名（m>0）,則男工的比例增加了，即得至【J交上〉

h+mh

小組二（面積模型）：

E

；m

D&…G

SABFE>S,u)GH=b(a+m)>a(b+m)

小組三（函數(shù)模型）：

記f（x）=9=l—j

b+x

a+m

f(0)<f(m)=>—<

bb+m

小組四（不等臂杠桿模型）:

b

z\i

b

小組五（機(jī)械效率模型）：

〃=%里=q<為增加的有用功）

叱總bb+m

小組六（生態(tài)平衡模型）

聽(tīng)著各小組的同學(xué)精彩的回答，我的臉上露出了滿意的微笑。盡管有的回

答頗有些牽強(qiáng)，但我的目的達(dá)到了。于是，在對(duì)這些回答進(jìn)行評(píng)價(jià)后，我繼續(xù)說(shuō)

道：大家看，如果我們僅僅是會(huì)比較竺”和g的大小，那只是會(huì)完成作業(yè)，這是

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很一般的；假如我們經(jīng)過(guò)思考，再得出1>>@>0S〉a>0,加>0）或

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2〉j〉is〉a〉o,/〃>o）,就有點(diǎn)不一般了，因?yàn)槲覀冮_(kāi)始動(dòng)腦筋了；倘若

aa+m

再進(jìn)一步歸納出“糖水模型”或什么的并且聯(lián)系到數(shù)學(xué)上的其他相似問(wèn)題，那就

不一般了，因?yàn)槲覀冞M(jìn)一步思考了；假如再?gòu)臄?shù)學(xué)學(xué)科推廣到其他學(xué)科，那就很

不一般了;假如我們?cè)龠M(jìn)一步聯(lián)系到生活的其他方面的例子，那就非常不一般了。

事實(shí)上，生活中處處有數(shù)學(xué)，只要我們善于觀察和勤于思考。數(shù)學(xué)家L.kelvin

說(shuō)過(guò)這樣一段擲地有聲的話：“別把數(shù)學(xué)想象得那么困難和艱澀，并認(rèn)為它排斥

常識(shí)，數(shù)學(xué)僅僅是常識(shí)的一種微妙的形式。”或許大家經(jīng)過(guò)今天的學(xué)習(xí)，能夠舉一

反三，縱橫聯(lián)系，對(duì)這個(gè)不等式有更深刻的理解和認(rèn)識(shí)。事實(shí)上，當(dāng)我們把原來(lái)

的兩杯糖水混合在一起，還可以得到一個(gè)新的結(jié)論①，大家不妨思考一下。今天

我們的作業(yè)是各小組的同學(xué)回去共同探討，寫一篇關(guān)于這個(gè)不等式的小論文并完

成'自我評(píng)價(jià)表

（①即：若a,b,c,d為正數(shù)，且@＜￡,則@＜色上＜￡。）

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自我評(píng)價(jià)表.

姓名日期

今天數(shù)學(xué)課的課題：

所涉及的重要數(shù)學(xué)概念（法則、公式）：

理解的最好的地方：

不明白或還需要進(jìn)一步理解的地方：

所學(xué)的內(nèi)容能否應(yīng)用在日常生活中，舉例說(shuō)明：

3教學(xué)反思

綜合各位聽(tīng)課老師評(píng)課及學(xué)生學(xué)習(xí)效果反饋情況，進(jìn)行認(rèn)真思考，形成以下

認(rèn)識(shí)：

（1）著名數(shù)學(xué)教育家顧明遠(yuǎn)老師說(shuō)過(guò)：學(xué)習(xí)就要思考，即孔子講的“學(xué)而不

思則罔”。思考就會(huì)提出問(wèn)題，提出問(wèn)題而后分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，不僅能夠?qū)?/p>

知識(shí)有透徹的理解，而且能夠使思維得到進(jìn)一步發(fā)展。因此提出問(wèn)題確是學(xué)習(xí)的

關(guān)鍵。怎樣才能使學(xué)生提出問(wèn)題？就要為學(xué)生設(shè)立一個(gè)問(wèn)題的情境來(lái)啟發(fā)學(xué)生思

考，因此，情境教學(xué)總是和問(wèn)題教學(xué)聯(lián)系在一起的。

（2）“數(shù)學(xué)情境與提出問(wèn)題”基本教學(xué)模式為“設(shè)置數(shù)學(xué)情境一提出數(shù)學(xué)問(wèn)

題一解決數(shù)學(xué)問(wèn)題一注重?cái)?shù)學(xué)應(yīng)用”。設(shè)置數(shù)學(xué)情境既要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，緊扣教

學(xué)目標(biāo)，適合學(xué)生的認(rèn)知水平，靠近他們的最近發(fā)展區(qū)；又要具有豐富的數(shù)學(xué)信

息，展現(xiàn)形式盡可能生動(dòng)直觀、易于理解，以便學(xué)生提出問(wèn)題。提出與解決數(shù)學(xué)

問(wèn)題融為一體，相伴而行。學(xué)生在提出、解決問(wèn)題中獲取數(shù)學(xué)知識(shí)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知

識(shí)的形成與發(fā)展，從而從根本上調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)