天津大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期5月期中考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

天津大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高二年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)學(xué)科試卷注意事項(xiàng)：一、本試卷分為第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，滿(mǎn)分150分．二、答卷前請(qǐng)務(wù)必將個(gè)人信息填寫(xiě)在答題卡和答題紙密封線(xiàn)內(nèi)的相應(yīng)位置．三、選擇題答案請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡的相應(yīng)位置填涂：非選擇題請(qǐng)用藍(lán)、黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案填寫(xiě)在答題卡的相應(yīng)位置．在試卷或其它位置作答無(wú)效！第Ⅰ卷一、選擇題：(每道題均為單選題，每題5分，共50分)1.已知函數(shù)在處可導(dǎo)，且，則（）A. B.9 C. D.1【答案】B【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式可得.【詳解】.故選：B2.下面是不同成對(duì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，從左到右對(duì)應(yīng)的樣本相關(guān)系數(shù)是r1，r2，r3，r4，其中最小的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖變化趨勢(shì)判斷樣本相關(guān)系數(shù)的正負(fù)，再由散點(diǎn)圖的集中程度大小，即可判斷.【詳解】由散點(diǎn)圖變化趨勢(shì)可知：且D的散點(diǎn)圖更集中，接近于一條直線(xiàn)，所以相對(duì)于更趨近于，所以.故選：D.3.定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A.是的一個(gè)零點(diǎn) B.和都是的極大值點(diǎn)C.的單調(diào)遞增區(qū)間是 D.的單調(diào)遞減區(qū)間是【答案】C【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，逐項(xiàng)判斷即可得出結(jié)論.【詳解】當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則是函數(shù)的極小值點(diǎn)，函數(shù)無(wú)極大值點(diǎn)，無(wú)法判斷是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，A錯(cuò)B錯(cuò)C對(duì)D錯(cuò).故選：C.4.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4【答案】B【解析】【分析】利用正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)軸為，所以,故選：B5.的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由二項(xiàng)式定理得到展開(kāi)式通項(xiàng)公式，即可求解.【詳解】的展開(kāi)式通項(xiàng)公式為，令，解得，故常數(shù)項(xiàng)等于.故選：B.6.君子六藝包括禮、樂(lè)、射、御、書(shū)、數(shù)，這些技能不僅是周朝貴族教育的重要組成部分，也對(duì)后世的教育體系產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響.某校國(guó)學(xué)社團(tuán)周末開(kāi)展“六藝”課程講座活動(dòng)，一天連排六節(jié)，每藝一節(jié)，則“禮”與“樂(lè)”之間最多間隔一藝的不同排課方法總數(shù)有（）A.432種 B.486種 C.504種 D.540種【答案】A【解析】【分析】分“禮”與“樂(lè)”相鄰和“禮”與“樂(lè)”中間插一藝，利用相鄰和插空法求解.【詳解】當(dāng)“禮”與“樂(lè)”相鄰時(shí)，有種；當(dāng)“禮”與“樂(lè)”中間插一藝時(shí)，有種；所以“禮”與“樂(lè)”之間最多間隔一藝的不同排課方法總數(shù)有種，故選：A7.已知隨機(jī)變量，且，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由二項(xiàng)分布均值公式求得可判斷A，由方差公式可判斷B，由二項(xiàng)分布的概率公式可判斷C，由均值性質(zhì)可判斷D.【詳解】對(duì)于A，，解得，故A不符合題意；對(duì)于B，，故B不符合題意；對(duì)于C，，故C符合題意；對(duì)于D，由均值的性質(zhì)可知，，故D不符合題意.故選：C.8.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題干條件可構(gòu)造函數(shù)，對(duì)求導(dǎo)得在上單調(diào)遞減，由已知條件可得，結(jié)合的單調(diào)性可解函數(shù)不等式.【詳解】由，聯(lián)想到積的導(dǎo)數(shù)公式，故構(gòu)造函數(shù)，則，故在上單調(diào)遞減，又，所以不等式即的解集為.故選：B.9.為了探究某次數(shù)學(xué)測(cè)試中成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)是否與性別存在關(guān)聯(lián)，小華進(jìn)行了深入的調(diào)查，并繪制丁下側(cè)所示的2×2列聯(lián)表(個(gè)別數(shù)據(jù)暫用字母表示)：數(shù)學(xué)成績(jī)性別合計(jì)男女優(yōu)秀2770非優(yōu)秀58110合計(jì)180臨界值表如下：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828經(jīng)計(jì)算得：，參照右上表，有如下結(jié)論：①，②；③可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)5%的前提下認(rèn)為“數(shù)學(xué)達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)與性別有關(guān)”；④沒(méi)有充分的證據(jù)顯示“數(shù)學(xué)達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)與性別有關(guān)”，則以上結(jié)論中正確的為（）A.①② B.①②④ C.①②③ D.①②③④【答案】B【解析】【分析】利用列聯(lián)表中數(shù)據(jù)計(jì)算出的值，結(jié)合和卡方的臨界值表可判斷③④.【詳解】由列聯(lián)表可知，所以：，①正確.又因?yàn)?，，所以，②正確.因?yàn)?，所以沒(méi)有充分的證據(jù)顯示“數(shù)學(xué)達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)與性別有關(guān)，故③錯(cuò)誤，④正確.故選：B10.已知函數(shù)，下列命題正確有（）A.可能有2個(gè)零點(diǎn)B.沒(méi)有極小值C.時(shí)，D.若存在極大值點(diǎn)，其中，則【答案】D【解析】【分析】討論的范圍，根據(jù)不同的取值討論函數(shù)的單調(diào)性及極值和零點(diǎn)，即可判斷A、B兩項(xiàng)；再根據(jù)得到，根據(jù)時(shí)的單調(diào)性即可判斷C；根據(jù)分析已知，，解關(guān)于的方程即可，得，即可判斷D.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知最低點(diǎn)坐標(biāo)為，此時(shí)函數(shù)與軸無(wú)交點(diǎn)，即函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，或.當(dāng)時(shí)，在時(shí)，，在上，即在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減.故此時(shí)有極小值點(diǎn)，極小值為，存在極大值點(diǎn)，極大值為；，所以有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，在時(shí)，，在上，即在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故此時(shí)有極小值點(diǎn)，極小值為，存在極大值點(diǎn)，極大值為；，所以有一個(gè)零點(diǎn).對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；和時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)；故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，又，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由上述分析可知，則，，即.已知方程已有一根為，故可因式分解得，解得與相異的根，則，故D正確.故選：D第Ⅱ卷二、填空題(每題5分，共40分)11.已知某班級(jí)中有男生32人，女生28人，男生中參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的有24人，女生中參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的有12人，現(xiàn)從這個(gè)班級(jí)中隨機(jī)抽出一名學(xué)生，若抽到的是女生，則所抽到的學(xué)生參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的概率為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】由條件概率的公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)事件表示抽到女生，事件表示抽到參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的學(xué)生，則，，則.故答案為：12.學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)需要從5名男生和2名女生中選取4名志愿者，則選出的志愿者中至少有一名女生的不同選法的種數(shù)是____________（請(qǐng)用數(shù)字作答）【答案】30【解析】【分析】根據(jù)分類(lèi)討論，結(jié)合組合的知識(shí)求得正確答案.【詳解】選出的志愿者中，1個(gè)女生3個(gè)男生時(shí)，方法數(shù)有種，2個(gè)女生2個(gè)男生時(shí)，方法數(shù)有種，所以不同選法有種.故答案為：30.13.已知函數(shù)，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式先寫(xiě)出切點(diǎn)坐標(biāo)，再對(duì)函數(shù)求導(dǎo)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫(xiě)出切線(xiàn)的斜率，最后由點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)方程.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，故切點(diǎn)坐標(biāo)為，，切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線(xiàn)的斜率，所以，用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線(xiàn)方程：，整理得：.故答案為：14.已知兩個(gè)變量y與x對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：x12345y5m8910.5若y與x滿(mǎn)足一元線(xiàn)性回歸模型，且經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則________．【答案】7.5##【解析】【分析】先計(jì)算，再將點(diǎn)代入回歸方程中即可.【詳解】，，將點(diǎn)代入方程中得，，得故答案為：15.函數(shù)的最小值為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)，確定單調(diào)性，然后求最值.【詳解】∵函數(shù)，∴，令，得，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，∴在處取極小值，也是最小值，∴函數(shù)最小值為.故答案為：.16.已知甲箱中有2個(gè)紅球和3個(gè)黑球，乙箱中有1個(gè)紅球和3個(gè)黑球(所有球除顏色外完全相同)，某學(xué)生先從甲箱中隨機(jī)取出1個(gè)球放入乙箱，再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出2個(gè)球，記“從乙箱中取出的2個(gè)球都是黑球”為事件B，則_________．【答案】##0.48【解析】【分析】根據(jù)題給條件分析具體情況列條件概率和全概率公式計(jì)算即可得解.【詳解】記學(xué)生先從甲箱中取出的1個(gè)球恰有個(gè)紅球放入乙箱為事件，.學(xué)生先從甲箱中隨機(jī)取出1個(gè)黑球放入乙箱，則此時(shí)乙箱中有紅黑，此時(shí).學(xué)生先從甲箱中隨機(jī)取出1個(gè)紅球放入乙箱，則此時(shí)乙箱中有紅黑，此時(shí)，則.故答案為：.17.設(shè)，若的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為10，則____________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理求項(xiàng)的系數(shù)即可.【詳解】項(xiàng)為，由.故答案為：218.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)并根據(jù)單調(diào)性得出不等式在恒成立，再構(gòu)造函數(shù)并利用單調(diào)性即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】對(duì)于，則，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以在恒成立，顯然，所以在恒成立，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，則或（舍去），所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：三、解答題19.在的展開(kāi)式中，第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的4倍．（1）求n的值；（2）求的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)．【答案】（1）9（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式及二項(xiàng)式系數(shù)的概念求解；（2）由二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式，令求解即可.【小問(wèn)1詳解】由二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式可知，，所以由題意知，解得.【小問(wèn)2詳解】由（1）知二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，解得，故展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.20.已知函數(shù)在及處取得極值．（1）求a，b的值；（2）若關(guān)于x的方程有三個(gè)不同的實(shí)根，求c的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，利用求出a，b的值，再進(jìn)行檢驗(yàn)；（2）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和極值情況，只需滿(mǎn)足，解之即得.【小問(wèn)1詳解】由題意得，由函數(shù)在及處取得極值，得解得，此時(shí)，，則得或；得，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則和分別為的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn).故.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，在處取得極大值，在處取得極小值．又有三個(gè)不同的實(shí)根，所以解得，所以實(shí)數(shù)c的取值范圍是．21.某社團(tuán)共有12名成員，其中高一男生2人，女生4人，高二男生3人，女生3人．現(xiàn)從中隨機(jī)抽選2人參加數(shù)學(xué)知識(shí)問(wèn)答．（1）若逐個(gè)抽選，求恰好第一個(gè)抽選的是男生的概率；（2）若恰好抽選了1名男生與1名女生，求這2人都是高二學(xué)生的概率；（3）若恰好抽選了1名高一學(xué)生與1名高二學(xué)生，記抽選出來(lái)的男生與女生的人數(shù)之差的絕對(duì)值為，求的分布列與均值．【答案】（1）（2）（3）分布列見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）由古典概型即可求解；（2）判斷題干所求為條件概率，利用條件概率公式即可求解；（3）列出所有符合組合情況，計(jì)算的分布列與均值即可.小問(wèn)1詳解】若逐個(gè)抽選，恰好第一個(gè)抽選的是男生的情況為男生所占人數(shù)總比例，即概率為.【小問(wèn)2詳解】記事件為恰好抽選了1名男生與1名女生，事件為這2人都是高二學(xué)生.由題知男生總共人，女生總共人.，，由條件概率可得.【小問(wèn)3詳解】因?yàn)榍『贸檫x了1名高一學(xué)生與1名高二學(xué)生，可能的情況包含“1名高一男學(xué)生與1名高二男學(xué)生”、“1名高一男學(xué)生與1名高二女學(xué)生”、“1名高一女學(xué)生與1名高二男學(xué)生”、“1名高一女學(xué)生與1名高二女學(xué)生”.抽選出來(lái)的男生與女生的人數(shù)之差的絕對(duì)值為，則的可能取值為.；.則的分布列為則均值.22.已知函數(shù)，.（1）若曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)平行于直線(xiàn)，求該切線(xiàn)方程；（2）若，求證：當(dāng)時(shí)，；（3）若有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的值.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）．【解析】【分析】（1）求出，根據(jù)求出，再求出，從而可求切線(xiàn)方程.（2）利用導(dǎo)數(shù)求出，根據(jù)可得不等式成立.（3）就和分類(lèi)討論，后者可根據(jù)極小值的符號(hào)來(lái)討論.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，故．所以．所求切線(xiàn)方程為，即．【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以的最小值為．故時(shí)，．【小問(wèn)3詳解】對(duì)于函數(shù)，．（i）當(dāng)時(shí)，，沒(méi)有零點(diǎn)；（ii）當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以是的極大值，是的極小值．因?yàn)?，所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．由于，①若，即，在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)；②若，即，在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)；③若，即，由于，所以在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)．由（2）知，當(dāng)時(shí)，，所以．故在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)．因此時(shí)，在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn)．綜上，當(dāng)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，．天津大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高二年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)學(xué)科試卷注意事項(xiàng)：一、本試卷分為第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，滿(mǎn)分150分．二、答卷前請(qǐng)務(wù)必將個(gè)人信息填寫(xiě)在答題卡和答題紙密封線(xiàn)內(nèi)的相應(yīng)位置．三、選擇題答案請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡的相應(yīng)位置填涂：非選擇題請(qǐng)用藍(lán)、黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案填寫(xiě)在答題卡的相應(yīng)位置．在試卷或其它位置作答無(wú)效！第Ⅰ卷一、選擇題：(每道題均為單選題，每題5分，共50分)1.已知函數(shù)在處可導(dǎo)，且，則（）A. B.9 C. D.12.下面是不同成對(duì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，從左到右對(duì)應(yīng)的樣本相關(guān)系數(shù)是r1，r2，r3，r4，其中最小的是（）A. B. C. D.3.定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A.是的一個(gè)零點(diǎn) B.和都是的極大值點(diǎn)C.單調(diào)遞增區(qū)間是 D.的單調(diào)遞減區(qū)間是4.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.45.的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)等于（）A. B. C. D.6.君子六藝包括禮、樂(lè)、射、御、書(shū)、數(shù)，這些技能不僅是周朝貴族教育的重要組成部分，也對(duì)后世的教育體系產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響.某校國(guó)學(xué)社團(tuán)周末開(kāi)展“六藝”課程講座活動(dòng)，一天連排六節(jié)，每藝一節(jié)，則“禮”與“樂(lè)”之間最多間隔一藝的不同排課方法總數(shù)有（）A.432種 B.486種 C.504種 D.540種7.已知隨機(jī)變量，且，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤是（）A. B. C. D.8.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.9.為了探究某次數(shù)學(xué)測(cè)試中成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)是否與性別存在關(guān)聯(lián)，小華進(jìn)行了深入的調(diào)查，并繪制丁下側(cè)所示的2×2列聯(lián)表(個(gè)別數(shù)據(jù)暫用字母表示)：數(shù)學(xué)成績(jī)性別合計(jì)男女優(yōu)秀2770非優(yōu)秀58110合計(jì)180臨界值表如下：0.100.050.0250.0100.0050.0012.70638415.0246.6357.87910.828經(jīng)計(jì)算得：，參照右上表，有如下結(jié)論：①，②；③可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)5%的前提下認(rèn)為“數(shù)學(xué)達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)與性別有關(guān)”；④沒(méi)有充分的證據(jù)顯示“數(shù)學(xué)達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)與性別有關(guān)”，則以上結(jié)論中正確的為（）A.①② B.①②④ C.①②③ D.①②③④10.已知函數(shù)，下列命題正確有（）A.可能有2個(gè)零點(diǎn)B.沒(méi)有極小值C.時(shí)，D.若存在極大值點(diǎn)，其中，則第Ⅱ卷二、填空題(每題5分，共40分)11.已知某班級(jí)中有男生32人，女生28人，男生中參加運(yùn)動(dòng)會(huì)有24人，女生中參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的有12人，現(xiàn)從這個(gè)班級(jí)中隨機(jī)抽出一名學(xué)生，若抽到的是女生，則所抽到的學(xué)生參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的概率為_(kāi)________．12.學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)需要從5名男生和2名女生中選取4名志愿者，則