湖北省第十屆（2025屆）高三下學期4月調(diào)研模擬考試數(shù)學試題（解析版）

第1頁/共1頁第十屆湖北省高三（4月）調(diào)研模擬考試數(shù)學試卷命題單位：黃岡市教科院審題單位：宜昌市教科院2025.4本試卷共4頁，19題，全卷滿分150分.考試用時120分鐘.★祝考試順利★注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式化簡集合A，進而求交集.【詳解】由題意可得：集合，且，所以.故選：C.2.已知復數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，則，代入已知條件，利用復數(shù)相等的條件即可求解.【詳解】設(shè)，則，因為，所以，所以，所以，解得，所以.故選：A.3.已知函數(shù)，若，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，可得，結(jié)合周期分析可求得最小值.【詳解】由，可得，解得，又函數(shù)的最小正周期為，故取的最小值時，在同一個周期內(nèi)，當，，此時，當，時，，所以的最小值為.故選：C.4.一個直三棱柱形容器中盛有水，側(cè)棱，底面邊上的高為.當?shù)酌嫠椒胖脮r水面高度為16（如圖①）.當側(cè)面水平放置時（如圖②），水面高度為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用水的體積不變計算可求解.【詳解】設(shè)底面的面積為，當?shù)酌嫠椒胖脮r水面高度為16，所以水的體積為，設(shè)側(cè)面水平放置時，水呈四棱柱體，設(shè)四棱柱體的底面梯形的面積為，則水的體積為，所以，所以，設(shè)四棱柱體的底面梯形的高為，則可得，解得.故選：D.5.已知向量，滿足，且在上的投影向量為單位向量，則（）A.1 B. C.3 D.2【答案】D【解析】分析】由題意可得，進而可得，設(shè)設(shè)，，計算可求.【詳解】因為在上的投影向量為單位向量，所以，所以，所以，設(shè)，，可得，兩邊平方得，所以，令，則，解得或，當時，這時，此時，此時，不符合題意，當時，即，此時.故選：D.6.已知為坐標原點，為雙曲線：的右焦點，，為的左右頂點，M為C上一點，軸，過的直線分別交y軸和線段于H，N兩點，直線交y軸于G點，且，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，可得，利用相似三角形建立關(guān)系求得，進而得到，得解.【詳解】如圖，設(shè)，由，得，由，可得，即，則，又，得，即，，即，解得，，即，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：B.7.已知函數(shù)，若，則的最小值為（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，進而可求的最小值.【詳解】函數(shù)的定義域為，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，由，得，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，當且僅當時取等號，所以的最小值為.故選：B.8.如圖，半徑為1的與半徑為2的內(nèi)切于點A，沿的圓弧無滑動的滾動一周.若上一定點P從A點出發(fā)隨著的滾動而運動，設(shè)點P的軌跡為C，則（）A.C是半徑為的圓 B.C是半徑為1的圓C.C是長度為2的線段 D.C是長度為4的線段【答案】D【解析】【分析】作圓運動后的某圓，設(shè)此時與圓相切于點，點從運動到，通過題設(shè)運動中的等量關(guān)系結(jié)合弧長公式得到即可得到的軌跡求解.【詳解】圓運動到，設(shè)此時與圓相切于點，點從運動到，易知，所以，所以，所以的軌跡為圓中過，的直徑，長度為4．故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題正確的是（）A.是一組樣本數(shù)據(jù)，去掉其中的最大數(shù)和最小數(shù)后，剩下10個數(shù)的中位數(shù)小于原樣本的中位數(shù)B.若事件A，B相互獨立，且，，則事件A，B不互斥C.若隨機變量，，則D.若隨機變量的方差，期望，則隨機變量的期望【答案】BCD【解析】【分析】A選項，利用中位數(shù)的定義判斷出A錯誤；B選項，計算出，故，B正確；C選項，利用正態(tài)分布的對稱性進行判斷；D選項，利用得到，D正確.【詳解】A選項，從小到大排序，去掉其中的最大數(shù)和最小數(shù)后，剩下10個數(shù)大小順序不變，故剩下10個數(shù)的中位數(shù)和原來的中位數(shù)一樣，A錯誤；B選項，事件A，B相互獨立，且，，，所以，故事件A，B不互斥，B正確；C選項，隨機變量，，設(shè)，，則，，根據(jù)原則，可知，C正確；D選項，隨機變量的方差，期望，其中，故，，故隨機變量的期望，D正確.故選：BCD10.已知a，b，c分別為的內(nèi)角A，B，C所對的邊，，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.，【答案】ABD【解析】【分析】由已知結(jié)合二倍角的余弦公式可得，利用三角恒等變換可得，可判斷A；利用三角內(nèi)角和可得，結(jié)合兩角和正切公式計算可判斷B；分類討論可得，進而，進而計算可判斷CD.【詳解】由，可得，所以，所以，所以，所以，所以，所以，故A正確；因為，所以，所以，所以，所以，故B正確；因為，所以同號，若，又，此時，顯然不符合題意，所以，所以，所以，所以，由，可得，所以，所以，所以，故C錯誤；由，可得，，故D正確.故選：ABD.11.已知拋物線：的焦點為，點在拋物線上，，設(shè)直線為拋物線在點處的切線，過點作的垂線交拋物線于另一點，若，則下列說法正確的是（）A. B.直線的斜率為C. D.【答案】BCD【解析】【分析】對于A，根據(jù)條件，利用拋物線的定義，即可求解；對于B和C，利用導數(shù)的幾何意，求得拋物線在點處的切線方程為，求得垂線方程，聯(lián)立拋物線方程得到，再利用過兩點直線的斜率，即可求解；對于D，利用，得到，利用累加法得到，即可求解.【詳解】對于選項A，因為，解得，所以選項A錯誤，因為，即，則，所以拋物線在點處的切線方程為，垂線方程，由，消得到，則，得到，又，所以選項B和C正確，對于選項D，因為，得到，所以當時，，又，所以，則，故選項D正確，故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，則______.【答案】【解析】【分析】利用余弦差公式將已知條件展開，結(jié)合，求得，再利用正弦二倍角公式，將展開，代入即可求解.【詳解】因為，而，所以，所以.故答案為：.13.已知函數(shù)恰有2個極值點，則實數(shù)a的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】由題可得有兩個不同正根，利用分離參數(shù)法得到.令，，只需與有兩個交點，利用導數(shù)研究的單調(diào)性與極值，利用數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，由，可得，要使函數(shù)有兩個極值點，只需有兩個不同正根，并且在的兩側(cè)的單調(diào)性相反，由得，，所以，由題意可知與有兩個不同的交點，令，則，所以當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，當時，，作出圖形如圖所示：由圖象可得實數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.14.甲乙丙三個班級共同分配9個三好學生名額，每班至少1個名額，用X表示這三個班級中分配的最少名額數(shù)，則X的數(shù)學期望_______.【答案】【解析】【分析】由隔板法求得總的情況數(shù)，利用分組分配的思想求得不同取值下情況數(shù)，結(jié)合古典概型寫出分布列，根據(jù)均值的計算，可得答案，【詳解】由題意可得的可能取值為，且總的情況數(shù)為，當時，分組情況有，，，，情況數(shù)分別為；當時，分組情況有，，情況數(shù)分別；當時，分組情況有，情況數(shù)為.則，，，可得的分布列如下：所以.故答案為：.四、解答題：共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知是無窮正整數(shù)數(shù)列，定義操作為刪除數(shù)列中除以余數(shù)為的項，剩下的項按原先后順序不變得到新數(shù)列.若，，進行操作后剩余項組成新數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項和為.（1）求；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分析可知，進而可得，結(jié)合等差數(shù)列求和公式運算求解；（2）整理可得，利用裂項相消法運算求解.【小問1詳解】因為，可知（滿足除以3余數(shù)為1），當時，為3的倍數(shù)，進行操作，即刪除，剩余，則，可得，所以.【小問2詳解】由（1）可知，則，所以數(shù)列的前項和.16.設(shè)函數(shù)，.（1）當，時，討論的單調(diào)性；（2）若，且和（為的導函數(shù)）的零點均在集合中，求的極小值.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）求導可得，分，兩種情況討論可求得的單調(diào)性；（2）求導，令，可得或，由，計算求解可得的值，進而可求極小值.【小問1詳解】當時，，．當時，，在上單增，當時，令，或，時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，綜上所述：當時，在上單增；當時，和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，【小問2詳解】，令，所以或令，或，又，且，，互不相等，所以，所以所以或或．經(jīng)檢驗，符合，所以，，令，或，當，，，，，所以時，取得極小值．17.在平面直角坐標系中，為坐標原點，F(xiàn)，T分別是橢圓：的左焦點，右頂點，過F的直線交橢圓C于A，B兩點，當軸時，的面積為.（1）求；（2）若斜率為的直線交橢圓C于G，H兩點，N為以線段為直徑的圓上一點，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在橢圓方程中，令，解得，得，再根據(jù)結(jié)合，求出答案；（2）設(shè)直線：與橢圓方程聯(lián)立，由韋達定理求得的中點為，利用弦長公式求得，進而得到以為直徑的圓的半徑，由，三角換元利用三角函數(shù)性質(zhì)求出最大值.【小問1詳解】依題意有，當軸時，在橢圓方程中，令，解得，則，，又．解得，．【小問2詳解】設(shè)直線：，設(shè)，，聯(lián)立，得，所以，所以.，所以的中點為，所以.又的軌跡是以為圓心，半徑的圓，所以令，，記，又，所以，時，.18.如圖，在四棱錐中，為矩形，且，，.（1）求證：平面；（2）若（N在S的左側(cè)），設(shè)三棱錐體積為，四棱錐體積為，且.①求點到平面的距離；②求平面與平面所成夾角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）；【解析】【分析】（1）由余弦定理得到，進而得到即可求證；（2）建系，通過點到面距離公式及面面角的夾角公式即可求解.【小問1詳解】在中，，，，所以，解得：，所以，所以，又，為平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面；【小問2詳解】（2）由（1）知，平面，，所以平面，又在平面內(nèi)，所以平面平面，在平面內(nèi)，所以，在三角形中，，，，所以，又，所以，又，又，所以，又，所以，取的中點，，可知：，因為平面平面，交線為，又在平面內(nèi)，所以平面，如圖建立空間直角坐標系易得：,所以，設(shè)平面的法向量為，則，所以，令，得，即，又，所以求點到平面的距離，②，設(shè)平面的法向量，則，所以，令，則，可得：，設(shè)平面與平面所成夾角為，所以，所以，即平面與平面所成夾角的正弦值為.19.一電動玩具汽車需放入電池才能啟動.現(xiàn)抽屜中備有6塊規(guī)格相同的電池，其中3塊為一次性電池，另外3塊為可反復使用的充電電池.每次使用時隨機取一塊電池，若取出的是一次性電池，則使用后作廢品回收，若取出的是可充電電池，則使用后充滿電再放回抽屜.（1）在已知第2次取出一次性電池的條件下，求第1次取出的是可充電電池的概率；（2）設(shè)X，Y是離散型隨機變量，X在給定事件條件下的期望定義為，其中為X的所有可能取值的集合，表示事件“”與“”均發(fā)生的概率.設(shè)X表示玩具汽車前4次使用中取出一次性電池的塊數(shù)，Y表示前2次使用中取出可充電電池的塊數(shù)，求；（3）若已用完一塊一次性電池后，記剩下電池再使用次后，所有一次性電池恰好全部用完的概率為，求數(shù)列的通項公式.【答案】（1）（2）（3）【解析