整體視野下的分?jǐn)?shù)概念教學(xué)路徑

整體視野下的分?jǐn)?shù)概念教學(xué)路徑分?jǐn)?shù)教學(xué)的研究做了好多年，我的工作室團(tuán)隊。這幾年我們其中重要研究的就是分?jǐn)?shù)概念怎么教，那么在這個過程當(dāng)中，我也上了一系列的關(guān)于分?jǐn)?shù)概念的課，現(xiàn)在慢慢的也往分?jǐn)?shù)的運(yùn)算和分?jǐn)?shù)的解決問題當(dāng)中來進(jìn)行探索，希望通過幾年的一種研究，持續(xù)地跟蹤，能對分?jǐn)?shù)教學(xué)形成一個系列性的一個說法，一個研究。分享最新的一些思考。想講兩件事，第一件事情怎么準(zhǔn)確理解分?jǐn)?shù)的概念，第二件事情，我們怎么來重構(gòu)分?jǐn)?shù)概念教學(xué)的路徑？首先我們來看第一個問題，怎么來準(zhǔn)確理解分?jǐn)?shù)的概念。我看了很多很多的資料，我發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)這個概念是被很多專家給講壞了的，分?jǐn)?shù)其實很簡單，結(jié)果你說它這樣，那個說它這樣就把它講得太復(fù)雜了。我認(rèn)為分?jǐn)?shù)概念就三句話，第一分?jǐn)?shù)是個數(shù)，數(shù)的本質(zhì)就是大與小，我們?nèi)绻阉旁跀?shù)軸上就一目了然了。請問現(xiàn)在這個數(shù)軸上的這個點(diǎn)用哪個分?jǐn)?shù)表示？1/3，1/3它可以兩層意思，第一層意思1/3比0大比1小，這是一個區(qū)間，第二1/3什么意思呢？1/3表示把“1”平均分成三份，其中一份的大小。我認(rèn)為這里說“1”會讓我們的孩子更明白。第一句話，老師們簡明扼要，一分鐘就把它講明白了。分?jǐn)?shù)是個什么？分?jǐn)?shù)是個數(shù)，它的本質(zhì)是什么？大與小講明白了。第二句話，找準(zhǔn)計數(shù)單位“1”是理解分?jǐn)?shù)概念的關(guān)鍵。第二句話，我們來捋一下計數(shù)單位。計數(shù)單位的最基礎(chǔ)的基礎(chǔ)單位就是這個自然數(shù)1，如果你不嫌麻煩，生活當(dāng)中我們只要有這個1就可以不停地數(shù)了，但是當(dāng)我們數(shù)更多物體的時候，我們就可以做這件事情，就是累加，累加就產(chǎn)生了更大的整數(shù)的單位。比如說我們產(chǎn)生了十進(jìn)制的單位，我們還可以去繼續(xù)精分，精分就產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)的單位。比如說這樣你會發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)的單位是用來干什么的，計量更小的量連1都不到的時候，我們就用分?jǐn)?shù)來表達(dá)。教材上一模一樣一句分?jǐn)?shù)的概念，我們讀這句話讀了有10多年甚至20多年了，我從工作開始，我就讀這句話，但是我現(xiàn)在閱讀，我覺得這句話講得不好，哪個地方講得不好呢？就這個地方講得不好，這三個字把分?jǐn)?shù)和其他的數(shù)給割裂開來了。這里單位“1”其實是個合成詞，前面那個詞單位是指什么意思就是指的是計數(shù)單位，然后后面的那個“1”，在這個計數(shù)單位的體系里面，這個“1”在哪里，1就是這個意義，所以這個1是不用加引號的。我建議把這個概念改一改，不要寫成單位“1”就只要說把1平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。只要我們這樣一改，分?jǐn)?shù)，小數(shù)，整數(shù)都連起來了，不然孩子不明白的這三者之間是什么關(guān)系。單位“1”加了個引號，是個天外來物，所以我們要把這個詞給它糾正過來。第三句話老師們，分?jǐn)?shù)還沒完，分?jǐn)?shù)復(fù)雜復(fù)雜在這兒，如果就上面兩句話，分?jǐn)?shù)就太簡單了，但是在實際情境中，我們要理解分?jǐn)?shù)兩種意義。只要是個小學(xué)數(shù)學(xué)老師都知道哪兩種意義，量的意義和率的意義。我把它寫完整，分?jǐn)?shù)表示數(shù)量多少的含義，我后面加了三個字，叫先入的，我待會兒解釋。第二句話叫分?jǐn)?shù)，表示數(shù)量與數(shù)量之間關(guān)系的含義，我把它叫做拓展的。三句話，我就把分?jǐn)?shù)的最重要的事給講完了，其他的東西都是這三句話當(dāng)中延伸出去的，我把這三句話教明白了，分?jǐn)?shù)的80%我就教好了。第二句話重構(gòu)分?jǐn)?shù)概念教學(xué)路徑我用一個直觀圖。分?jǐn)?shù)概念怎么教呢？分?jǐn)?shù)概念就是講三件事，第一件事情分出來，第二件事情除出來，第三件事情是比出來。分出來和比出來是主線，上面是主線，除出來是個工具。所以我們這樣來理解，分出來講的是數(shù)量分物的結(jié)果，然后我們來借助平均分，通過意義的拓展，我們來講比出來，比出來講的是什么，關(guān)系的含義，這是主線。然后我們通過平均分和除出來相聯(lián)系，除出來解決的是什么問題呢？解決的是分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，解決的是什么問題。意義拓展怎么做呢？一一拓展就通過倍的遷移，老師們這樣一看，整個分?jǐn)?shù)概念體系最重要的就是三節(jié)課，一節(jié)課叫分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識，教什么呢？教幾分之幾個？幾分之幾米？第二節(jié)課是什么？分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，1÷2=1/2建立關(guān)系，第三節(jié)課是什么？就是建立倍，幾分之幾誰是誰的幾分之幾倍。說到這里，你一開始覺得很不習(xí)慣，紅色圓是白色圓的1/3倍，你心里覺得朱老師今天說錯了，哪里有說1/3倍的？但是你仔細(xì)想一想，這個1/3是不是表示的是一種倍數(shù)關(guān)系？我們以前只說1/3，表示的是一種關(guān)系，那么你再追問一下，這個1/3表示的一種什么關(guān)系呢？倍數(shù)關(guān)系，這樣以后就和比聯(lián)系起來了。比建立的又是什么關(guān)系？倍數(shù)關(guān)系。所以比可以寫成分?jǐn)?shù)形式，道理在這里。三年級我們就做這件事情，這里一定要大家要注意的事情是在我現(xiàn)在的認(rèn)識當(dāng)中，我認(rèn)為現(xiàn)在教材的編排的序分?jǐn)?shù)的進(jìn)入是不對的，不能先叫關(guān)系，要先教數(shù)量。我們來看我們的教材，教材是先講關(guān)系的，第一句話，第二句話是這樣，這句話講的是關(guān)系的表達(dá)。我們在上這節(jié)課的時候，經(jīng)常會聽到這樣一個教學(xué)環(huán)節(jié)，老師說同學(xué)們每份是這塊月餅的一半，也就是它的1/2，學(xué)生把那個他的給吃掉了，每份就是1/2，老師就開始來了，男同學(xué)說一遍，女同學(xué)說一遍，全班合起來說一遍，你有沒有體會到，當(dāng)你這樣去上課的時候，你不是在為自己打工，你是在為語文老師打工，那么孩子為什么不會說呢？因為他為什么要這樣去表達(dá)，他不明白。我們來看看正常人的思維，我們上這節(jié)課，一般的人都是這么上的，包括我自己。我也是這么上的，請大家按照正常人的思維來填填空，第一個空四個月餅，平均分給兩人，每人幾個（兩個），接下來你肯定知道，兩個月餅平均分給兩人，每人幾個（一個）。接下來干嘛了？就是新課了，一個月餅平均分給兩個人，括號里填什么（半個），你當(dāng)然也可以說填一半都對，但是按照這三道題目排列的邏輯，你認(rèn)為正常人是填哪個的？半個的為什么不填一半？如果要填一半，上面兩道題目都要說一半，你一定要注意，數(shù)學(xué)是講邏輯的。你上面的兩個圖，你現(xiàn)在講的是數(shù)量，你第三個括號一定要填半個，但是我們的老師當(dāng)孩子說半個的時候，你已經(jīng)把它轉(zhuǎn)到一半里面去了，所以你說的是關(guān)系，孩子說的是數(shù)量，你給他講的是關(guān)系，你這樣去教孩子，你不把孩子教的心靈扭曲才怪。所以我第一個強(qiáng)烈建議教分?jǐn)?shù)，第一節(jié)課一定先教帶單位的分?jǐn)?shù)用來表示數(shù)量，具體是第二節(jié)課講是一個月餅的1/2還是后面講，那是另外一回事情了。但是第一節(jié)課建議大家教1/2個，還有我們教了1/2個，1/4個之后，我們還不夠，我們還要教1/4杯，還要教1/4盒，還要教1/4米，還要教1/4千克，還要教1/4小時。你有沒有發(fā)現(xiàn)，按照現(xiàn)在的教材體系中，學(xué)生對這些帶單位的分?jǐn)?shù)，他們是很陌生的，講不清楚它的意義的。為什么？因為現(xiàn)在我們的概念體系當(dāng)中，帶單位表示數(shù)量的分?jǐn)?shù)太弱了，太弱了。我們在這個教學(xué)過程當(dāng)中，我們要讓孩子這樣去填空，我們來選，隨便選一個分?jǐn)?shù)，老師們1/4小時，請你填一填怎么填的，把什么平均分成四份，一小時平均分成四份，其中的一份是1/4小時，在這之前你還讓他說一句話，1/4小時表示不到一小時，先把位置定好，不到一小時，把一小時平均分成四份，其中一份的大小就是1/4小時。把這些都說全部說一遍之后，我馬上就可以抽象了。如果我把那個單位都去掉，那就是把1平均分成四份，其中的一份就是1/4。老師們，這個時候的一沒有引號，它可以表示什么呢？可以表示一個可以表示一杯，也可以表示一盒，可以表示一米，也可以表示一千克，還可以表示一小時。各位老師，你想一想，當(dāng)你表示一小時的時候，你這個一給它加個引號嗎？你從來不加的，所以建議你不要加引號，就是表示把一平均分成四份，其中的一份1/4小時，我們還可以在數(shù)軸上表示它。第一件事情解決了老師們分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識這個課以及后面的課當(dāng)中，把表示數(shù)量的分?jǐn)?shù)給他算算清楚。在這個過程當(dāng)中，我們就把第一件事情講明白了，接下來數(shù)已經(jīng)是初步實現(xiàn)了抽象，接下來我們講這個事情，還是講分?jǐn)?shù)與除法關(guān)系？在上面這個數(shù)量的基礎(chǔ)上，各位老師前面是沒有數(shù)，沒有算式的，現(xiàn)在我們把算式寫出來，來看看這些表格，大家來點(diǎn)點(diǎn)。

看第一個算式用哪個？6÷3。第二個算式用哪個？3÷3。第三個算式用哪個？1÷3一除以三。這個算式是根據(jù)除法的意義來的，平均分用除法。接下來我們來看結(jié)果，第一個不用說的兩個，第二個是一個，第三個是1/3個。請問是除出來嗎？這個時候不是除出來的，這個時候是分出來的，用分出來的方法解決了除出來的結(jié)果。這是三年級的水平。如果這節(jié)課是在五年級上或者四年級上都可以，這個時候我們還要增加一個水平，那就是如果是兩個蛋糕，四個蛋糕呢？各位老師，請大家想，如果是兩個蛋糕平均分給三個人，怎么分的？一個一個分的，當(dāng)然你也可以疊起來分，但是我建議大家一個一個分就可以了，一個一個一分，一個蛋糕平均分成分給三個人，每人分到1/3個，兩個蛋糕每人分到多少？2/3個就來了。四個蛋糕的時候，如果你真的去上課，四個蛋糕平均分給三個人，孩子分出來的一定不是4/3，你知道分出來是出錯了嗎？1又1/3，因為正常人都是一個一個先分，那么怎么到4/3呢？你就跟他說先一個一個吃，吃太多了就不用分了，來，先分一個，分到1/3，問他一句飽了沒？學(xué)生說沒飽，再拿一個2/3，再問他一句飽了沒有？再拿一個三分之幾，3/3，再拿一個就4/3就來了。在這個過程當(dāng)中，我們把這兩件事情都解決好了之后，我們只要去做一個羅列就可以了。完成了分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系。一句話講明白了，有了分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍就可以做了。所以這是腳手架。所以我們接下來第三句話最關(guān)鍵，用倍的遷移來講關(guān)系。倍的遷移來講，關(guān)系是意義，拓展分?jǐn)?shù)意義的拓展是來講關(guān)系的，要認(rèn)識分?jǐn)?shù)是比出來的，當(dāng)我們是倍的時候，它其實就是個比，所以在這個維度倍、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)和比都是一碼事，講的都是兩個量之間的倍數(shù)關(guān)系。這節(jié)課怎么上的？就是我們今天資料里面這一節(jié)課的內(nèi)容。人教版教材例題三這個例題我認(rèn)為就是上倍數(shù)關(guān)系的起始課，那么這節(jié)課怎么上的呢？我就不贅述了。這是復(fù)習(xí)，然后是幾倍，然后到1/3倍，然后呢，同化1/3倍的含義，這個是同化，然后讓孩子來概括1/3倍什么意思？孩子明白什么意思。老師們看到這個時候，你如果你教六年級，你就欣然一笑，以后就是找什么單位一，其實我更愿意說找一倍數(shù)，其實就是找一倍數(shù)，就把這個事情講完了，最后要做這件事情。最后留一個問