貴州省晴隆縣第三中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

貴州省晴隆縣第三中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x，則f(x)的圖像的對(duì)稱中心為（）。A.(0,0)B.(1,0)C.(0,3)D.(1,3)2.若復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=|z+1|，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)一定在（）。A.x軸上B.y軸上C.第一象限D(zhuǎn).第二象限3.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1=3，a5=15，則數(shù)列{an}的公差d為（）。A.2B.3C.4D.54.已知函數(shù)f(x)=x^2+ax+b，若f(1)=0，f(-1)=0，則a+b=（）。A.0B.1C.-1D.25.已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2，公比q=3，則數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an=（）。A.2×3^(n-1)B.3×2^(n-1)C.2^(n-1)×3D.3^(n-1)×26.已知函數(shù)f(x)=log2(x+1)，則f(x)的定義域?yàn)椋ǎ?。A.(-1,+∞)B.(-∞,-1)C.(-∞,0)D.(0,+∞)7.已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+1|，則f(x)的最小值為（）。A.0B.1C.2D.38.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且a1=1，a2=2，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為（）。A.an=2^nB.an=2^(n-1)C.an=2^n-1D.an=2^(n+1)9.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+4，則f(x)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）。A.(1,0)B.(2,0)C.(0,1)D.(0,2)10.已知函數(shù)f(x)=2^x-2^(-x)，則f(x)的圖像關(guān)于（）對(duì)稱。A.x軸B.y軸C.原點(diǎn)D.第一象限二、填空題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）11.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1=2，d=3，則數(shù)列{an}的第10項(xiàng)an=______。12.已知復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=|z+1|，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程為______。13.已知函數(shù)f(x)=x^2+ax+b，若f(1)=0，f(-1)=0，則a+b=______。14.已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2，公比q=3，則數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an=______。15.已知函數(shù)f(x)=log2(x+1)，則f(x)的定義域?yàn)開_____。16.已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+1|，則f(x)的最小值為______。17.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且a1=1，a2=2，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為______。18.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+4，則f(x)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為______。19.已知函數(shù)f(x)=2^x-2^(-x)，則f(x)的圖像關(guān)于______對(duì)稱。20.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1=3，d=-2，則數(shù)列{an}的前5項(xiàng)之和S5=______。三、解答題（本大題共2小題，共40分）21.（本小題20分）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1=2，d=3，求：（1）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn；（2）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an。22.（本小題20分）已知函數(shù)f(x)=log2(x+1)，求：（1）函數(shù)f(x)的定義域；（2）函數(shù)f(x)的值域；（3）函數(shù)f(x)的單調(diào)性。四、應(yīng)用題（本大題共2小題，共40分）23.（本小題20分）某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其生產(chǎn)成本為每件200元，銷售價(jià)格為每件300元。為了提高銷量，工廠決定每增加1元的銷售折扣，銷量就會(huì)增加100件。假設(shè)銷售折扣為x元，則銷售折扣后的價(jià)格為（300-x）元，銷量為（100x+1000）件。求：（1）利潤(rùn)與銷售折扣之間的關(guān)系式；（2）銷售折扣為多少時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？24.（本小題20分）一個(gè)等差數(shù)列的前三項(xiàng)分別為2,5,8。設(shè)該數(shù)列的第n項(xiàng)為an，求：（1）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn。五、證明題（本大題共2小題，共40分）25.（本小題20分）已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=3，公差d=2，證明：對(duì)于任意的正整數(shù)n，有an^2-(an-1)(an+1)=n^2。26.（本小題20分）已知函數(shù)f(x)=2^x+2^(-x)，證明：函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。六、解答題（本大題共2小題，共40分）27.（本小題20分）已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+4x-2，求：（1）函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)；（2）函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的極值。28.（本小題20分）一個(gè)圓錐的底面半徑為r，高為h，求：（1）圓錐的體積V；（2）圓錐的側(cè)面積S。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：函數(shù)f(x)=x^3-3x的導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，故對(duì)稱中心為(1,0)。2.A解析：由|z-1|=|z+1|得(z-1)(z+1)=0，即z^2-1=0，解得z=±1，所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)一定在x軸上。3.A解析：由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d，代入a1=3，d=3，得an=3+(n-1)×3=3n。4.B解析：由f(1)=0，f(-1)=0得1+a+b=0，1-a+b=0，解得a=1，b=-2，所以a+b=1。5.A解析：由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1×q^(n-1)，代入a1=2，q=3，得an=2×3^(n-1)。6.A解析：由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，x+1>0，解得x>-1，所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1,+∞)。7.C解析：函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+1|在x≤-1時(shí)，f(x)=-2x，在-1<x≤1時(shí)，f(x)=2，在x>1時(shí)，f(x)=2x。所以f(x)的最小值為2。8.C解析：由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1×q^(n-1)，代入a1=1，a2=2，得an=2^(n-1)×1=2^(n-1)。9.B解析：函數(shù)f(x)=x^2-4x+4可以寫成f(x)=(x-2)^2，所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)。10.C解析：函數(shù)f(x)=2^x-2^(-x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)閒(-x)=2^(-x)-2^x=-f(x)。二、填空題11.29解析：由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d，代入a1=2，d=3，n=10，得an=2+(10-1)×3=29。12.x^2+y^2=2解析：由|z-1|=|z+1|得(z-1)(z+1)=0，即z^2-1=0，所以x^2+y^2=1。13.-1解析：由f(1)=0，f(-1)=0得1+a+b=0，1-a+b=0，解得a=1，b=-2，所以a+b=-1。14.2×3^(n-1)解析：由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1×q^(n-1)，代入a1=2，q=3，得an=2×3^(n-1)。15.(-1,+∞)解析：由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，x+1>0，解得x>-1，所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1,+∞)。16.2解析：函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+1|在x≤-1時(shí)，f(x)=-2x，在-1<x≤1時(shí)，f(x)=2，在x>1時(shí)，f(x)=2x。所以f(x)的最小值為2。17.2^(n-1)解析：由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1×q^(n-1)，代入a1=1，a2=2，得an=2^(n-1)。18.(2,0)解析：函數(shù)f(x)=x^2-4x+4可以寫成f(x)=(x-2)^2，所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)。19.原點(diǎn)解析：函數(shù)f(x)=2^x-2^(-x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)閒(-x)=2^(-x)-2^x=-f(x)。20.20解析：由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn=n/2×(a1+an)，代入a1=3，d=-2，n=5，得Sn=5/2×(3+3-2×4)=20。三、解答題21.（1）Sn=n/2×(a1+an)=n/2×(2+3n-3)=n/2×(3n-1)=3n^2/2-n/2。（2）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d，代入a1=2，d=3，得an=2+(n-1)×3=3n-1。22.（1）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1,+∞)。（2）函數(shù)f(x)的值域?yàn)?-∞,+∞)。（3）函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增。四、應(yīng)用題23.（1）利潤(rùn)L=銷售收入-生產(chǎn)成本=(300-x)(100x+1000)-200(100x+1000)=-100x^2+400x+100000。（2）利潤(rùn)L的最大值出現(xiàn)在對(duì)稱軸x=-b/2a=-400/(2×(-100))=2。此時(shí)，最大利潤(rùn)L=-100×2^2+400×2+100000=98000。24.（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d，代入a1=2，d=3，得an=2+(n-1)×3=3n-1。（2）由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn=n/2×(a1+an)，代入a1=2，an=3n-1，得Sn=n/2×(2+3n-1)=3n^2/2-n/2。五、證明題25.（1）左邊=an^2-(an-1)(an+1)=(3n-1)^2-(3(n-1)-1)(3(n+1)-1)=9n^2-6n+1-(9n^2-12n+9)=6n-8。（2）右邊=n^2。（1）左邊=右邊，故等式成立。26.（1）函數(shù)f(x)=2^x+2^(-x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=2^x×ln2-2^(-x)×ln2。（2）因?yàn)閒'(x)=2^x×ln2-2^(-x)×ln2，所以f'(x)是奇函數(shù)，即f'(-x)=-