廣東省清遠市四校聯(lián)盟2023-2024學年高二上學期期中數(shù)學（解析版）

廣東省清遠市四校聯(lián)盟20232024學年高二上學期期中數(shù)學（解析版）一、選擇題（每題1分，共5分）1.已知函數(shù)$f(x)=x^22x+3$，則$f(x)$在$x=1$處的導數(shù)為（）A.0B.2C.2D.12.若向量$\vec{a}=(2,3)$和向量$\vec=(3,2)$，則$\vec{a}\cdot\vec$的值為（）A.0B.5C.5D.123.在直角坐標系中，點$P(2,3)$關(guān)于原點的對稱點是（）A.$(2,3)$B.$(2,3)$C.$(2,3)$D.$(3,2)$4.若直線$y=2x+1$與圓$x^2+y^2=4$相切，則該圓的半徑為（）A.1B.2C.3D.45.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=2$且$a_{n+1}=2a_n$，則$a_5$的值為（）A.16B.8C.4D.2二、判斷題（每題1分，共5分）1.若$f(x)$在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則其導數(shù)$f'(x)$在該區(qū)間內(nèi)恒大于0。（）2.向量$\vec{a}$和$\vec$共線當且僅當$\vec{a}\cdot\vec=0$。（）3.平行四邊形的對角線互相垂直。（）4.函數(shù)$f(x)=x^3$在整個實數(shù)域內(nèi)單調(diào)遞增。（）5.若$\triangleABC$的三邊長分別為$a,b,c$，則$a^2+b^2=c^2$是直角三角形的充分必要條件。（）三、填空題（每題1分，共5分）1.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$在$x=1$處的導數(shù)為______。2.已知$\vec{a}=(1,2)$，則$|\vec{a}|=$______。3.若直線$y=mx+b$經(jīng)過點$(2,3)$且斜率為1，則該直線的方程為______。4.已知$\triangleABC$的三邊長分別為3、4、5，則其面積為______。5.若$a,b,c$是等差數(shù)列，且$a+b+c=12$，則$b=$______。四、簡答題（每題2分，共10分）1.簡述函數(shù)的極值與導數(shù)的關(guān)系。2.證明：若$\vec{a}$和$\vec$垂直，則$\vec{a}\cdot\vec=0$。3.求解不等式$x^24x+3<0$。4.簡述圓的標準方程及其幾何意義。5.已知數(shù)列$\{a_n\}$為等差數(shù)列，求證：$a_{n+1}a_n$為常數(shù)。五、應用題（每題2分，共10分）1.某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品，其成本函數(shù)為$C(x)=0.5x^2+10x+100$，其中$x$為生產(chǎn)數(shù)量。求當生產(chǎn)數(shù)量為多少時，成本最低。2.已知$\vec{a}=(1,2)$和$\vec=(2,1)$，求$\vec{a}+\vec$和$\vec{a}\vec$。3.在直角坐標系中，點$P(2,3)$關(guān)于直線$y=x$的對稱點為$Q$，求點$Q$的坐標。4.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$且$a_{n+1}=2a_n+1$，求$a_3$的值。5.已知函數(shù)$f(x)=x^22x+3$，求其在區(qū)間$[0,2]$上的最大值和最小值。六、分析題（每題5分，共10分）1.已知函數(shù)$f(x)=x^33x$，分析其在區(qū)間$(1,1)$上的單調(diào)性。2.已知$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(2,1)$，求$\vec{a}$和$\vec$的夾角。七、實踐操作題（每題5分，共10分）1.已知直線$y=2x+1$和圓$x^2+y^2=4$，求它們的交點坐標。2.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=2$且$a_{n+1}=2a_n+1$，求$a_5$的值。八、專業(yè)設計題（每題2分，共10分）1.設計一個數(shù)列，使得它的前n項和為n(n+1)/2。2.設計一個函數(shù)，使得它在x=0處有極值點，且極值為0。3.設計一個圓，使得它經(jīng)過點(1,2)且半徑為2。4.設計一個直線，使得它經(jīng)過點(1,2)且斜率為2。5.設計一個向量，使得它與向量(1,2)垂直。九、概念解釋題（每題2分，共10分）1.解釋“等差數(shù)列”的概念。2.解釋“函數(shù)的導數(shù)”的概念。3.解釋“向量的點積”的概念。4.解釋“圓的標準方程”的概念。5.解釋“數(shù)列的極限”的概念。十、思考題（每題2分，共10分）1.思考如何判斷一個數(shù)列是否收斂。2.思考如何判斷一個函數(shù)是否連續(xù)。3.思考如何判斷兩個向量是否共線。4.思考如何判斷一個點是否在圓內(nèi)。5.思考如何判斷一個數(shù)列是否為等比數(shù)列。十一、社會擴展題（