《推理與證明》章末知識(shí)梳理與能力提升

1/13《推理與證明》章末知識(shí)梳理與能力提升考點(diǎn)1合情推理真題1（2016山東，12，5分，★☆☆）觀察下列等式：······照此規(guī)律，_____.考點(diǎn)2演繹推理真題2（2017課標(biāo)全國(guó)II，4，5，★☆☆）設(shè)非零向量，滿足，則（）A.B.C.D.真題3（2017課標(biāo)全國(guó)I，12，5，★★☆）設(shè)，是橢圓：長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).若上存在點(diǎn)滿足，則的取值范圍是（）A.B.C.D.真題4（2017北京，14，5，★★☆）某學(xué)習(xí)小組由學(xué)生和教師組成，人員構(gòu)成同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：(i)男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)；(ii)女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù)；(iii)教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù).①若教師人數(shù)為，則女學(xué)生人數(shù)的最大值為_(kāi)____；②該小組人數(shù)的最小值為_(kāi)____.真題5（2017課標(biāo)全國(guó)III，16，5分，★★☆）設(shè)函數(shù)則滿足的取值范圍是_____.真題6（2016北京，14，5分，★★☆）某網(wǎng)店統(tǒng)計(jì)了連續(xù)三天售出商品的種類情況:第一天售出種商品，第二天售出種商品，第三天售出種商品；前兩天都售出的商品有種,后兩天都售出的商品有種.則該網(wǎng)店①第一天售出但第二天未售出的商品有_____種；②這三天售出的商品最少有_____種.真題7（2016四川，15，5分，★★☆）在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)不是原點(diǎn)時(shí)，定義的“伴隨點(diǎn)”為；當(dāng)是原點(diǎn)時(shí)，定義的“伴隨點(diǎn)”為它自身.現(xiàn)有下列命題：①若點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)，則點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)；②單位圓上的點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”仍在單位圓上；③若兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則它們的“伴隨點(diǎn)”關(guān)于軸對(duì)稱；④若三點(diǎn)在同一條直線上,則它們的“伴隨點(diǎn)”一定共線.其中的真命題是_____(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)).真題8（2017課標(biāo)全國(guó)II，17，12分，★★☆）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，.(1)若，求的通項(xiàng)公式；(2)若，求.真題9（2017課標(biāo)全國(guó)II，18，12分，★★☆）如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，，.(1)證明：直線平面；(2)若的面積為，求四棱錐的體積.真題10（2017北京，19，14分，★★☆）已知橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，，焦點(diǎn)在軸上，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線交橢圓于不同的兩點(diǎn)，，過(guò)作的垂線交于點(diǎn).求證：與的面積之比.考點(diǎn)3直接證明與間接證明真題11（2017課標(biāo)全國(guó)I，6，5分，★☆☆）如圖，在下列四個(gè)正方體中，為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，，，為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線與平面不平行的是（）真題12（2017課標(biāo)全國(guó)I，18，12分，★★☆）如圖，在四棱錐中，，且；(1)證明：平面平面；(2)若，，且四棱錐的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積.真題13（2017課標(biāo)全國(guó)III，19，12分，★★☆）如圖，四面體中，是正三角形，.(1)證明：，(2)已知是直角三角形，.若為棱上與不重合的點(diǎn)，且,求四面體與四面體的體積比.真題14（2017課標(biāo)全國(guó)III，20,12分，★★☆）在直角坐標(biāo)系；中，曲線與軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.當(dāng)變化時(shí)，解答下列問(wèn)題：(1)能否出現(xiàn)的情況？說(shuō)明理由；(2)證明過(guò)，，三點(diǎn)的圓在軸上截得的弦長(zhǎng)為定值.

參考答案真題1.答案：見(jiàn)解析解析：觀察前個(gè)等式，由歸納推理可知.解題關(guān)鍵本題是關(guān)于歸納推理的題目，根據(jù)題設(shè)條件，找出其中的規(guī)律是階梯的關(guān)鍵.真題2.答案：A解析：由，得，即，所以，所以，故選A.真題3.答案：A解析：依題意得或所以或解得或.故選A.真題4.答案：見(jiàn)解析解析：設(shè)男學(xué)生人數(shù)為，女學(xué)生人數(shù)為，教師人數(shù)為，，，.則由題意可得，①當(dāng)時(shí)，有，要使最大，則應(yīng)取最大值，的最大值為.②若要使總?cè)藬?shù)最少，即最小，由，且，，，則當(dāng)最小且，時(shí)，總?cè)藬?shù)最少，此時(shí)若，則，，而，不符合題意；若，則，，而，不符合題意；若，則，，而，符合題意，所以該小組人數(shù)的最小值為.真題5.答案：見(jiàn)解析解析：解法一：當(dāng)時(shí)，原不等式化為，因?yàn)椋栽跁r(shí)恒成立，所以；當(dāng)時(shí)，原不等式化為，所以；當(dāng)時(shí)，原不等式化為，因?yàn)?，，所以在時(shí)恒成立，所以.綜上可知，的取值范圍是.解法二:因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，設(shè)，所以為上的增函數(shù)，原不等式為，因?yàn)?，，，，所以原不等式等價(jià)于，即的取值范圍是.真題6.答案：見(jiàn)解析解析：設(shè)第一天售出的商品種類構(gòu)成集合，第二天售出的商品種類構(gòu)成集合,第三天售出的商品種類構(gòu)成集合,關(guān)系如圖.①第一天售出但第二天未售出的商品有種.②若這三天售出的商品種類最少，只需令第三天售出且未在第二天售出的種商品全在第一天售出的且未在第二天售出的種商品中，此時(shí)共有種.真題7.答案：見(jiàn)解析解析：①設(shè)，則的“伴隨點(diǎn)”為，的“伴隨點(diǎn)”為①是假命題.②在單位圓上任取一點(diǎn)，則的“伴隨點(diǎn)”為,即，仍在單位圓上，②是真命題.③設(shè)，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則的“伴隨點(diǎn)”為的“伴隨點(diǎn)”為與關(guān)于軸對(duì)稱，③是真命題.④取直線，在該直線上取三個(gè)不同的點(diǎn)，，，則的“伴隨點(diǎn)”為，的“伴隨點(diǎn)”為，的“伴隨點(diǎn)”為，通過(guò)計(jì)算可知，，三點(diǎn)不共線，故④是假命題.真題8.答案：見(jiàn)解析解析：設(shè)的公差為，的公比為，則，.由得.①(1)由得.②聯(lián)立①和②解得（舍去），或因此的通項(xiàng)公式為.(2)由，得.解得或.當(dāng)時(shí)，由①得，則.當(dāng)時(shí)，由①得，則.真題9.答案：見(jiàn)解析解析：在平面內(nèi)，因?yàn)?，所?又平面，平面，故平面.(2)如圖，取的中點(diǎn)，連接，.由及，得四邊形為正方形，則.因?yàn)閭?cè)面為等邊三角形且垂直于底面，平面平面，所以，底面.因?yàn)榈酌?，所?設(shè)，則，，，，.取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，所以.因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得(舍去）或.于是，，.所以四棱錐的體積.真題10.答案：見(jiàn)解析解析：（1)設(shè)橢圓的方程為.由題意得解得所以，所以橢圓的方程為.(2)證明:設(shè)，則，.由題設(shè)知，且.直線的斜率，故直線的斜率，所以直線的方程為.直線的方程為.聯(lián)立解得點(diǎn)的縱坐標(biāo).由點(diǎn)在橢圓上，得所以.又，，所以與的面積之比.解題關(guān)鍵演繹推理的一般模式為三段論的形式，應(yīng)用三段論推理解決問(wèn)題時(shí)，首先明確什么是大前提，什么是小前提,然后再找結(jié)論，解題時(shí)要注意推理的嚴(yán)密性，書(shū)寫(xiě)格式的規(guī)范性.真題11.答案：A解析：B選項(xiàng)中，，且平面，平面，則平面；C選項(xiàng)中，，且平面，平面，則平面；D選項(xiàng)中，，且平面，平面，則平面；故選A.真題12.答案：見(jiàn)解析解析：（1）證明：由已知，得，.由于，故，從而平面.又從平面，所以平面平面.(2)在平面內(nèi)作，垂足為由（1）知，平面，故，可得平面.設(shè)，則由已知可得，.故四棱錐體積.由題設(shè)得，故.從而，，.可得四棱錐的側(cè)面積為.真題13.答案：見(jiàn)解析解析：（1)證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)，.因?yàn)椋?又因?yàn)槭钦切?，所?從而平面，故.(2)連結(jié).由（1)及題設(shè)知，所以.在中，.又，所以，.由題設(shè)知為直角三角形，所以.又是正三角形，且，所以，所以.故為的中點(diǎn)，從而到平面的距離為到平面的距離的，四面體的體積為四面體的體積的，故四面體仙與四面體的體積之比為.真題14.答案：見(jiàn)解析解析：（1)不能出現(xiàn)的情況，理由如下：設(shè)，，則，滿足，所以.又的坐標(biāo)為，故的斜率與的斜率之積為，所以不能出現(xiàn)的情況.(2)證明:的中點(diǎn)坐標(biāo)為，可得的中垂線方程為.由（1）可得，所以的中垂線方程為.聯(lián)立又，可得所以過(guò)，，三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑.故圓在軸上截得的弦長(zhǎng)為，即過(guò)，，三點(diǎn)的圓在軸上截得的弦長(zhǎng)為定值.解題關(guān)鍵（1)在解決問(wèn)題時(shí)，我們經(jīng)常把綜合法和分析法結(jié)合起來(lái)使用，