探“圖形運動”本質(zhì) 促“整體建構(gòu)”關(guān)聯(lián)

［摘"要］研究者通過分析學生學習“旋轉(zhuǎn)三要素”前后的測評數(shù)據(jù)，整合“線與面的旋轉(zhuǎn)”教學內(nèi)容，滲透“圖形旋轉(zhuǎn)即點旋轉(zhuǎn)”的本質(zhì)認知，在溝通與對比中不斷提升學生的空間觀念。［關(guān)鍵詞］整體建構(gòu)；圖形的旋轉(zhuǎn)；運動本質(zhì)；空間觀念小學階段“圖形運動”包括三個教學內(nèi)容：軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn)，教材基于從易到難、螺旋上升的原則進行編排?！靶D(zhuǎn)”是“圖形的運動（三）”中的內(nèi)容，它是小學數(shù)學“圖形的位置與運動”板塊最后一個學習內(nèi)容，“旋轉(zhuǎn)”與對稱、平移相比更抽象，涉及的要素更多。在教學“圖形的旋轉(zhuǎn)”時，大部分教師先教學“線段旋轉(zhuǎn)”，后教學“圖形旋轉(zhuǎn)”。因此，筆者產(chǎn)生了一些思考：基于整體建構(gòu)視角，能否將線段教學融入圖形旋轉(zhuǎn)教學中？是否按先轉(zhuǎn)三角尺再畫三角形的思路教學？基于以上思考，筆者通過對比多種教學路徑，基于真實學情從整體視角出發(fā)重組了教學內(nèi)容。一、教學序列的分析“圖形的運動”以軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn)等載體通過全等變換，讓學生進一步把握圖形運動的特征，從而有效發(fā)展空間觀念。內(nèi)容要求、學業(yè)要求、教學提示都指向了讓學生用“旋轉(zhuǎn)三要素”描述圖形的位置，用方格紙畫簡單的圖案，感受旋轉(zhuǎn)的特征。1.教材對比（1）教學序列的縱向分析“圖形的運動”在各個學段的人教版教材中都有所涉及（如圖1所示）：二年級，能初步感知旋轉(zhuǎn)的現(xiàn)象，能定性判斷“是不是旋轉(zhuǎn)”；五年級，能用“旋轉(zhuǎn)三要素”從定量的角度精準描述“怎樣旋轉(zhuǎn)”及嘗試畫簡單的旋轉(zhuǎn)圖形；九年級，直接借助圓規(guī)和量角器作圖。（2）教學序列的橫向?qū)Ρ裙P者對比了人教版、北師大版、蘇教版三個版本的小學數(shù)學教材，對情境、素材、路徑等方面進行了異同點對比分析（如圖2所示）。①相同教學思路相同點1：基于生活原型，明晰“旋轉(zhuǎn)三要素”。人教版教材借助指針旋轉(zhuǎn)，北師大版、蘇教版教材利用停車場轉(zhuǎn)桿等生活情境來認識“旋轉(zhuǎn)三要素”。相同點2：操作探究，深化旋轉(zhuǎn)本質(zhì)。三個版本教材都是借助擺一擺三角尺來滲透旋轉(zhuǎn)本質(zhì)。相同點3：關(guān)聯(lián)點、線、面旋轉(zhuǎn)，凸顯結(jié)構(gòu)化思想。教材關(guān)注了點、線、面的旋轉(zhuǎn)，深化“圖形旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)即點的旋轉(zhuǎn)”。②不同教學路徑“圖形的旋轉(zhuǎn)”教學的路徑不同：人教版先教學旋轉(zhuǎn)三角尺再畫三角形，北師大版先教學畫旋轉(zhuǎn)線段再畫旋轉(zhuǎn)后的圖形，蘇教版直接教學畫旋轉(zhuǎn)后三角形。2.學情分析筆者對147名學生進行了兩次測試，具體情況見表1、表2。分析測試結(jié)果發(fā)現(xiàn)，學生對于“旋轉(zhuǎn)三要素”的認知存在較大偏差，能感知線的旋轉(zhuǎn)，但對面的旋轉(zhuǎn)不夠明晰和完整。針對這樣的數(shù)據(jù)，筆者產(chǎn)生了思考。（1）教學“旋轉(zhuǎn)三要素”后，能否直接進入“面的旋轉(zhuǎn)”教學？學習“旋轉(zhuǎn)三要素”后，學生畫旋轉(zhuǎn)線段準確率從64.63%提升至89.80%，表明學生對于畫線段并無太大難度。畫旋轉(zhuǎn)線段后的三角形實際上是讓學生經(jīng)歷找點、連線、成面的過程，發(fā)現(xiàn)點、線、面不是分離的，從而建構(gòu)整體性的認知。因此，直接教學“面的旋轉(zhuǎn)”更有利于學生建構(gòu)整體的認知。（2）依托數(shù)據(jù)，把三角尺能否融入旋轉(zhuǎn)畫圖教學？在學習“三要素”后，有59.86%的學生不借助三角尺的旋轉(zhuǎn)也能正確畫圖。能否不再單獨教學三角尺的旋轉(zhuǎn)，而是將三角尺作為學習支架整合到“圖形的旋轉(zhuǎn)”教學中？這樣的設(shè)計能夠帶來兩大便利：一是“放一放”，讓會畫的學生利用空間想象畫圖，使三角尺起驗證作用，充分發(fā)展學生空間觀念；二是“扶一扶”，作為一個有力的學習支架，讓有困難的學生先旋轉(zhuǎn)三角尺再畫圖。二、單元序列的重組基于這樣的思考，筆者在教學“三要素”后直接教學“圖形旋轉(zhuǎn)”，將三角尺、線段融入畫三角形的教學中；第二課時為“圖形的分析”，利用圖形運動知識分析圖形，根據(jù)情境需要靈活分解基本圖形，培養(yǎng)學生解決問題的實踐能力；第三課時為拓展課“圖形的設(shè)計”，以設(shè)計“美麗的圖案”為主線，經(jīng)歷多個圖形拼組的運動變化，培養(yǎng)學生空間想象能力。三、關(guān)鍵課例的實踐“圖形的旋轉(zhuǎn)”是本單元的關(guān)鍵課例，教學重點為“認識旋轉(zhuǎn)三要素，正確畫出旋轉(zhuǎn)90°后的三角形”，教學難點為“理解圖形的旋轉(zhuǎn)本質(zhì)”。1.遵循教材：生活情境，認識“旋轉(zhuǎn)三要素”（1）尋求共同點，初識“旋轉(zhuǎn)三要素”師：如圖3所示，這些運動都是旋轉(zhuǎn)嗎？有什么共同點？生1：都繞著1個點旋轉(zhuǎn)。師：誰能上來指一指？師：我們稱它為旋轉(zhuǎn)中心。還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？生2：向左或向右轉(zhuǎn)。師：誰能來演示一下？師：看來旋轉(zhuǎn)還要有方向，數(shù)學上有專門的名詞叫順（逆）時針旋轉(zhuǎn)。師：觀察鐘擺跟轉(zhuǎn)桿，你們還有什么發(fā)現(xiàn)呢？生3：它們都旋轉(zhuǎn)一定的角度。小結(jié)：通過對比這幾幅圖，發(fā)現(xiàn)都有中心點、方向和角度，這就是“旋轉(zhuǎn)三要素”。設(shè)計意圖：數(shù)學源于生活，應用于生活。本環(huán)節(jié)教師利用生活情境導入，讓學生在辨析中逐步認識“旋轉(zhuǎn)三要素”。（2）描述初嘗試，話說“旋轉(zhuǎn)三要素”師：二年級時我們學會判斷旋轉(zhuǎn)，現(xiàn)在是五年級了，可以用“旋轉(zhuǎn)三要素”描述旋轉(zhuǎn)。師：如圖4所示，你們能用“旋轉(zhuǎn)三要素”說一說轉(zhuǎn)桿是怎么旋轉(zhuǎn)的嗎？生4：順時針旋轉(zhuǎn)90°。生5：轉(zhuǎn)桿繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°。師：現(xiàn)在呢？生6：轉(zhuǎn)桿繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°。師：大家都看得懂指針嗎？12到6，它怎么轉(zhuǎn)動？生7：指針繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°。師：現(xiàn)在同桌相互說一說，讓指針從幾到幾，它怎么轉(zhuǎn)動？要求：從（""）到（""），指針繞點（""）按（""）方向旋轉(zhuǎn)（""）。生8：從12到12，指針繞點O順時針旋轉(zhuǎn)360°。生9：從6到8，指針繞點O順時針旋轉(zhuǎn)60°。師：用“旋轉(zhuǎn)三要素”描述旋轉(zhuǎn)有什么好處嗎？生10：描述更精確。設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)教師引導學生用“旋轉(zhuǎn)三要素”描述生活中的旋轉(zhuǎn)，讓學生在描述的過程中感受用“旋轉(zhuǎn)三要素”描述的精確性。2.合理融合：簡單圖形，畫“旋轉(zhuǎn)三要素”師：線段的旋轉(zhuǎn)對你們來說太簡單了！下面，我們直接學習“三角形的旋轉(zhuǎn)”。師：線段OA繞著點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，你能畫出來嗎？教師展示任務要求，如圖5所示。（1）錯誤辨析，明晰正確畫法作品1：中心點錯誤。（教師利用透明三角形演示，按著中心點旋轉(zhuǎn)）師：旋轉(zhuǎn)的時候繞著中心點，這個點是始終不動的。作品2：長度畫錯。（學生利用透明三角形演示）師：看一看前后長度有變化嗎？生11：沒有。師：那另外兩條呢？師：旋轉(zhuǎn)的時候形狀大小不變，邊的長度也不變。什么變了？生12：方向、位置。作品3：畫成軸對稱圖形。師：猜猜看，他想成什么運動了？生13：軸對稱。師：（展示正確作品）畫對的同學請舉手，誰能說說怎樣才能又快又準地畫旋轉(zhuǎn)圖呢？生14：找點A′、點B′，再連線。師：點A與點A′可以稱為是一組對應點，怎么找到點A′的？生15：數(shù)格子。生16：先找到旋轉(zhuǎn)90度后的線，然后數(shù)格子。師：真厲害！我們找到了點A和點B的對應點A′及點B′，然后與中心點O連線就可以畫出旋轉(zhuǎn)后的三角形！現(xiàn)在給你們一點時間對自己的作品進行調(diào)整。設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)教師引導學生嘗試畫旋轉(zhuǎn)后的三角形，呈現(xiàn)學生的典型錯誤，讓學生在辨析中從關(guān)注面的旋轉(zhuǎn)到關(guān)注線的旋轉(zhuǎn)，并明晰畫法。（2）由外到內(nèi)，感受圖形特征師：剛才利用3個點畫了三角形，那三角形上只有這3個點嗎？生18：我在三角形的邊上可以找到1個點。生19：我在邊上可以找到3個點。生20：線段是由無數(shù)個點組成的，3條邊上可以找到很多點！師：只能在線段上找嗎？生21：我在三角形內(nèi)部也找到1個點。生22：三角形是由無數(shù)個點構(gòu)成的。設(shè)計意圖：畫法明晰之后，本環(huán)節(jié)指向圖形運動的深度解讀。教師引導學生從關(guān)注3個特殊點到圖形的所有點，為后續(xù)理解圖形運動的本質(zhì)做好鋪墊。（3）從面至點，滲透運動本質(zhì)師：這個點怎么運動（在直角邊AO上標出點C）？生23：繞著點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到C′。師：其他點也這樣運動嗎？能找出幾組對應點來驗證一下嗎？作品1：找到2條直角邊上的點。生24：都是繞著點O順時針旋轉(zhuǎn)90°。作品2：找到內(nèi)部的點。生25：也都是繞著點O順時針旋轉(zhuǎn)90°。師：可以怎么驗證？生26：用三角尺的直角進行驗證。生27：還可以用量角器驗證。作品3：斜邊上的一點。生28：好像是繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°。師：一下子分不清，我們用幾何畫板進行演示。生29：都是繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°。小結(jié)：圖形繞著點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，就是圖形上所有的點也都繞著點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，所以旋轉(zhuǎn)后圖形的形狀、大小不變。設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)教師引導學生從關(guān)注面到關(guān)注線再到關(guān)注點，借助幾何畫板從邊上的點到內(nèi)部的點延伸，感受圖形旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)是點的旋轉(zhuǎn)。3.鞏固提升：自由創(chuàng)作，用“旋轉(zhuǎn)三要素”師：敢不敢挑戰(zhàn)下自己？剛才三角形AOB是繞著點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，你們還想它繞著哪個點轉(zhuǎn)？還想往哪個方向轉(zhuǎn)？準備旋轉(zhuǎn)多少度？把這段話補充完整之后，開始畫一畫。展示任務要求：三角形AOB繞（""）按（""）時針旋轉(zhuǎn)（""）。課件展示學生作品，如圖6所示，由學生逐一匯報。生30：繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°。生31：繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°。生32：繞點A順時針旋轉(zhuǎn)180°。生33：繞點B順時針旋轉(zhuǎn)270°。設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)教師讓學生自行選擇“旋轉(zhuǎn)三要素”，感受“旋轉(zhuǎn)三要素”對于旋轉(zhuǎn)的重要性。在學生各種作品的介紹與展示中，將匯報變成展示過程，讓學生在潛移默化中學會學習。4.縱橫對比：前后銜接，理解“旋轉(zhuǎn)三要素”（1）圖形運動橫向?qū)Ρ葞煟宏P(guān)于圖形的運動，以前學習了軸對稱、平移，它們有什么不同之處？生34：都是運動，但是運動方式不同，分別是翻動、移動、轉(zhuǎn)動。師：正是因為這些運動才讓我們的世界變得更豐富、更美麗。如圖7所示，請欣賞平面上的圖形運動。如圖8所示，請學生欣賞立體的圖形運動。生35：立著旋轉(zhuǎn)就形成了體。小結(jié)：圖形在平面上運動，就會形成各種各樣的美麗圖形，在立體空間上旋轉(zhuǎn)就會形成以后要認識的體。（2）圖形運動縱向?qū)Ρ葞煟憾昙壓臀迥昙壎紝W習了旋轉(zhuǎn)，那以后還會學習嗎？生（齊聲答）：會。課件展示二年級、五年級、九年級關(guān)于旋轉(zhuǎn)的教材內(nèi)容。小結(jié)：今后，在九年級還會進一步學習旋轉(zhuǎn)。相信你能用旋轉(zhuǎn)的知識解決更多問題。設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)教師讓學生去對比感受運動的不同點，明晰正是由于這些運動才會產(chǎn)生各種美麗的圖案；同時，將旋轉(zhuǎn)從二維拓展到三維，讓學生感受面的旋轉(zhuǎn)會形成體，逐步深化對旋轉(zhuǎn)學習的認知。四、教學反思1.聚焦學情，內(nèi)容適度整合單元整體教學要基于真實學情，筆者在教學前開展前測，聚焦學生學習“旋轉(zhuǎn)三要素”后對于畫旋轉(zhuǎn)后圖形的影響。通過兩次數(shù)據(jù)的對比，發(fā)現(xiàn)學生在學習“旋轉(zhuǎn)三要素”后再去畫旋轉(zhuǎn)后的線段并無太大難度，因此，教師改變“先線段旋轉(zhuǎn)，后圖形旋轉(zhuǎn)”的教學路徑，直接將線段與圖形的旋轉(zhuǎn)教學進行整合。教師先從生活情境入手，引導學生不斷觀察與反思，得到“旋轉(zhuǎn)三要素”；然后，讓學生不斷嘗試與完善，用“旋轉(zhuǎn)三要素”精確描述圖形的旋轉(zhuǎn)；最后，將畫線段旋轉(zhuǎn)變成想象線段旋轉(zhuǎn)，讓學生較好地感受“線的旋轉(zhuǎn)”。實踐發(fā)現(xiàn)，教師直接教學圖形旋轉(zhuǎn)，大部分學生能準確畫出圖形。因此，教師要根據(jù)學情，進行教學內(nèi)容的適度整合，為旋轉(zhuǎn)教學拓寬新的思路。2.聚焦差異，支架靈活運用教師要尊重學生差異，將三角尺適當優(yōu)化，為學生提供透明三角形紙片作為學習支架。透明紙片的好處在于學生能直接畫出內(nèi)部及線上的點，通過旋轉(zhuǎn)操作清晰地認識到點的旋轉(zhuǎn)軌跡。課堂中，教師將透明三角形紙片裝于信封中，告知學生有困難時使用。教師讓有困難的學生先旋轉(zhuǎn)三角形再畫圖，利用學習支架，提升課堂學習參與感；能力強的學生先畫圖再旋轉(zhuǎn)，利用三角形進行驗證。實物旋轉(zhuǎn)與空間想象一并進行，讓學生在旋轉(zhuǎn)三角形與畫法的對比中逐步感受圖形運動中的變與不變。教師對同一素材采用不同的使用方法，關(guān)注學生的差異性成長，讓每