聯(lián)結遷移建模：通向整數(shù)乘法一致性

［摘"要］研究者以“三位數(shù)乘兩位數(shù)”單元的起始課為例，通過“教材研讀，明晰內容結構；學情分析，探尋學習起點；單元整合，重構教學路徑；課堂實踐，推進一致性的縱深理解”等策略開展教學實踐。在單元視域下，通過聯(lián)結、遷移和建模，進一步加深學生對整數(shù)乘法整體性和一致性的理解。［關鍵詞］三位數(shù)乘兩位數(shù)；數(shù)的運算；運算策略；一致性《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》在“數(shù)與運算”中有這樣的描述：感悟數(shù)的運算以及運算之間的關系，體會數(shù)運算本質上的一致性，形成運算能力和推理能力。如何體現(xiàn)運算的一致性？如何將學段之間的內容相互關聯(lián)，讓學生形成相對系統(tǒng)的、結構化的知識？筆者以“三位數(shù)乘兩位數(shù)”單元為例進行單元整體教學研究，以“理解乘法算法算理的一致性”為主線，“理解乘法運算策略多樣性”為暗線，明晰單元知識脈絡。一、教材研讀，明晰內容結構1.教材體系中的地位“三位數(shù)乘兩位數(shù)”屬于“數(shù)與代數(shù)”板塊中“數(shù)的運算”的主題內容，人教版教材分四個階段學習整數(shù)乘法：第一階段表內乘法作為基本事實，是整數(shù)乘法的基礎；第二階段“多位數(shù)乘一位數(shù)的筆算”是乘法豎式教學的起始課和種子課，教師要借助多種分合方法，讓學生體會按計數(shù)單位分的重要性，感悟位值原理；第三階段“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算”是學生第一次接觸分兩層記錄的乘法，是乘法豎式的生長點，需要優(yōu)化分與合的記錄方式；第四階段“三位數(shù)乘兩位數(shù)”是整數(shù)筆算乘法學習的終結課，教師引導學生既要側重算理和算法的遷移，還要構建筆算乘法全景結構，體會整數(shù)乘法的一致性。2.整個單元的知識序列如表1所示，本單元的知識序列為引導學生理解三位數(shù)乘兩位數(shù)筆算、掌握算法，探索積的變化規(guī)律；合理運用運算策略使乘法運算簡便，歸納乘法中的數(shù)量關系；利用數(shù)量關系解決實際問題，發(fā)展學生的運算能力、推理意識和模型意識。教學時教師可以依據(jù)曹培英提出的“四面體模型”，融合口算、估算和筆算，靈活運用運算策略。豎式160×30計算安排在學生學習積的變化規(guī)律之前，不利于學生對積的末尾加2個0的理解。教師可以先教學積的變化規(guī)律，直接列豎式算出16×3，因為16后面添了個0，擴大了10倍，所以積也要擴大10倍，積后面要添個0；因為3后面添了個0，擴大了10倍，所以積也擴大10倍，積后面再添個0。3.不同版本的橫向比較基于滬教版小學數(shù)學教材的視角，在“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的下一章是“三位數(shù)乘兩位數(shù)”，滬教版教材更強調知識的連貫性和整體性，人教版小學數(shù)學教材是將其分布在不同的年級?；诒睅煷蟀嫘W數(shù)學教材的視角，在探索“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的計算方法時，從橫式、表格、豎式這三種角度呈現(xiàn)了四種計算方法，體現(xiàn)了算法的多樣性，而人教版教材在這一環(huán)節(jié)直接給出不完整的筆算過程，更具有遷移之意。因此，教師要思考：如何建立整數(shù)筆算乘法算理算法的聯(lián)結，使學生從遷移的角度學習三位數(shù)乘兩位數(shù)，感受整數(shù)乘法的一致性？學生怎樣的表現(xiàn)代表其已經(jīng)能用遷移的眼光學習整數(shù)乘法了？二、學情分析，探尋學習起點依據(jù)以上分析，筆者設計了考查學生豎式遷移能力的前測題。（1）算式124×13可以解決下面哪個數(shù)學問題？（""）A.一個布娃娃124元，小明買了13個，一共需要多少錢？B.一個布娃娃124元，一個鉛筆盒13元，一共需要多少錢？（2）請列豎式計算，并嘗試通過畫圖或者口算寫出豎式每一步的含義。（如果不會列豎式計算，請用自己喜歡的方式計算出結果）（3）口試：請將你的豎式和下面的面積圖（如圖1所示）一一對應。（第2題完成的學生進行口試）（4）四位數(shù)乘三位數(shù)，你會計算嗎？請寫出你的想法。（第3題完成的學生做）基于SOLO分層理論，結合學生的答題情況，筆者將學生對算理算法的理解分為5個水平層次（如表2）。從上述結果可以看出，大多數(shù)學生能把兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算法遷移到三位數(shù)乘兩位數(shù)中，并能正確算出答案，但對豎式與乘法的意義、口算、面積圖的勾連較為欠缺，更多的是對算法的模仿，對整數(shù)乘法缺乏整體性認識。因此，在教學時教師要注重引導學生理解豎式每一步的含義，將對算法的模仿上升到對算理的理解；同時聯(lián)系“一位數(shù)乘一位數(shù)”與“多位數(shù)乘一位數(shù)”“兩位數(shù)乘一位數(shù)”與“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”以及“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”與“多位數(shù)乘多位數(shù)”，讓學生感受整數(shù)乘法的一致性。三、單元整合，重構教學路徑1.確定單元核心目標結合以上分析，依據(jù)課標要求將單元內容和核心素養(yǎng)對應，筆者確定了單元目標：（1）讓學生通過自主探究、對比交流等多種表征活動，理解三位數(shù)乘兩位數(shù)的算理，掌握并運用積的變化規(guī)律優(yōu)化豎式計算的方法，運用不同的運算策略解題，發(fā)展運算能力；（2）能通過獨立思考、對比概括、合作交流等活動，經(jīng)歷猜想、驗證的過程，探索積的變化規(guī)律，發(fā)展推理意識；（3）通過識別、表征、對比、抽象概括等活動，認識兩種常見的數(shù)量關系：總價=單價×數(shù)量、路程=速度×時間，能運用數(shù)量關系解決生活中同類問題，發(fā)展模型意識。2.重構單元內容序列整合后的教學課時安排（如表3）保證了教學的板塊和結構不變，凸顯了算理算法的遷移和運算策略的靈活選擇。第一階段：在具體情境中，教師引導學生感悟豎式通法和結構聯(lián)系；第二階段：借助“鋪地錦”讓學生認識傳統(tǒng)整數(shù)乘法的算理算法，溝通不同算法間的關系，提升文化自豪感；第三階段：讓學生經(jīng)歷“積的變化規(guī)律”的發(fā)現(xiàn)、表達和應用的過程，應用積的變化規(guī)律，掌握末尾有0的乘法豎式簡便計算，在變式練習中加深對積的變化規(guī)律的理解，提升運算能力；第四階段：讓學生在自主編題的過程中體悟乘積最大的秘密，促使思維水平從“關聯(lián)結構”躍至“抽象拓展結構”，同時培養(yǎng)學生靈活選擇運算策略的能力；第五階段：讓學生在具體情境中理解單價、數(shù)量、總價的意義，感受數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系，以“編故事”為支架促進關系構建，提升表達能力，發(fā)展模型意識；第六階段：借助比快慢的情境讓學生感受“速度”產(chǎn)生的要素，通過不同場景應用，豐富速度呈現(xiàn)的方式；第七階段：讓學生進行拓展研究，理解數(shù)量關系，并將數(shù)量關系進行一一呼應、相互聯(lián)結，借助線段圖編題體會數(shù)量關系的一致性，發(fā)展推理意識和應用意識。在整體的學程設計中，構建算理算法、運算策略、實際應用的自主遷移高通路，從一致性走向普適性，賦予學生自然生長的力量。四、課堂實踐，推進一致性的縱深理解基于上述分析，筆者圍繞單元重構后的關鍵課例“三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算”進行例證。1.溯源舊知，尋找關聯(lián)師：我們學過哪些乘法？生1：學過乘法口訣，多位數(shù)乘一位數(shù)。生2：兩位數(shù)乘兩位數(shù)。師：如圖1所示，請計算。師：多位數(shù)乘一位數(shù)和兩位數(shù)乘兩位數(shù)之間有什么聯(lián)系？生3：三位數(shù)乘一位數(shù)相比兩位數(shù)乘一位數(shù)，其第一個因數(shù)多了一位，多算了一次。生4：兩位數(shù)乘兩位數(shù)相比兩位數(shù)乘一位數(shù)，其第二個因數(shù)多了一位，多算了一層。師：真會觀察，今天我們就接著來學習三位數(shù)乘兩位數(shù)。設計意圖：教師引導學生回顧已學的乘法運算，初步感受多位數(shù)乘一位數(shù)和兩位數(shù)乘兩位數(shù)之間的聯(lián)系，為算理算法的再加工、再認識積累經(jīng)驗。2.遷移探索，融通算理算法師：請同學們嘗試用豎式計算134×12，并用自己喜歡的方式解釋豎式每一步的含義。如圖2所示，教師展示學生的作品。師：靜靜觀察，你們有什么想說的？生（齊聲答）：134位置對錯了，4應該和十位對齊。師：4為什么寫在十位？生5：134乘2等于268是對的，這里的134是乘上10，表示1340。生6：這里的4表示4個十。師：豎式每一步的含義是什么呢？請兩位同學解釋一下。如圖3，教師展示學生作品。師：這兩位同學的作品有什么相同的地方？生（齊聲答）：都是把134×12看成12個134，先算2個134，再算10個134之后合起來。師：如圖4所示，在面積圖中找到豎式每一步的含義，將自己的想法和同桌說一說。師：這就是豎式計算方法，老師沒有教你們就會了？生7：都是先乘個位，再乘十位。生8：除了第一個因數(shù)多了一位，其他都沒變。生9：這個和以前乘法豎式的計算方法是一樣的。小結：雖然第一個因數(shù)不一樣，但都把12拆成2個一和1個十。先用個位的2去乘第一個因數(shù)，得到（""）個一，和個位對齊。再用十位的1去乘，得到（"nbsp;）個十，和十位對齊?？此撇灰粯?，其實道理是一樣的。設計意圖：教師引導學生用豎式計算三位數(shù)乘兩位數(shù)，使學生主動勾連兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式，達成形的遷移。結合口算、乘法的意義和面積圖對豎式每一步含義進行解釋，以達成算理的遷移。3.對比聯(lián)結，建構模型師：同學們已經(jīng)會算三位數(shù)乘兩位數(shù)了，接下來你們還會算什么呢？生10：四位數(shù)乘兩位數(shù)、三位數(shù)乘三位數(shù)……師：那就挑戰(zhàn)一下吧！請計算1134×12、134×112。師生活動：教師批改部分學生作品，讓批改完成的學生去幫助有困難的學生。師：第一題挑戰(zhàn)成功的請舉手。師：老師還沒有教你們四位數(shù)乘兩位數(shù)，怎么又都會了？小結：如圖5所示，不管是幾位數(shù)乘兩位數(shù)，都是把第二個因數(shù)拆開，先用個位乘第一個因數(shù)得到幾個一，再用十位乘第二個因數(shù)得到幾個十，最后加起來。4.延伸提升，拓寬模型師：第二題挑戰(zhàn)成功的請舉手。如圖6所示，對比三位數(shù)乘兩位數(shù)和三位數(shù)乘三位數(shù)，你們有什么新的認識？師：如圖7所示，第三層的4為什么和百位對齊？生：這里是134乘100，表示134個百。師：那千位上再加一個數(shù)，接下來怎么乘？生11：再乘下去，還會多一層。生12：繼續(xù)乘下去，會得到幾個千。師：看來道理是一樣的。師：同學們，學習三位數(shù)乘兩位數(shù)后，數(shù)學書中就沒有安排更多位數(shù)的乘法了，那不教你們會嗎？小結：因為它們運算的算理都是一樣的，所以關鍵是學好三位數(shù)乘兩位數(shù)。設計意圖：在模型建立方面，教師引導學生通過列豎式與四位數(shù)乘兩位數(shù)和三位數(shù)乘三位數(shù)對比，讓學生理解多位數(shù)乘多位數(shù)運算的一致性；在學習方式方面，通過學生互相批改和幫助，激發(fā)學生學習的積極性。5.多維應用，提升素養(yǎng)（1）基礎練習，初悟運算策略師：老師帶來了6張數(shù)字卡片0，1，2，4，5，6，請任選5個數(shù)編一道三位數(shù)乘兩位數(shù)的題目，并列式計算。作品搜集：搜集6幅學生作品，保證積有四位數(shù)或五位數(shù)。師：老師搜集了6位同學的作品，在計算三位數(shù)乘兩位數(shù)的過程中，有什么要注意的？生13：要注意進位。生14：乘法的第一層和第二層是加起來，而不是乘。師：有的積是四位數(shù)，有的積是五位數(shù)，那積有沒有可能是三位數(shù)或者六位數(shù)呢？生15：不可能是三位數(shù)，因為最小的100×10=1000都是四位數(shù)；也不可能是六位數(shù)，因為最大的999×99=98901也是五位數(shù)。生16：我可以用估算1000×100=100000，都變大了也才是六位數(shù)，所以不可能是六位數(shù)。小結：還能用估算解決問題，同學們實在是太有想法了，看來三位數(shù)乘兩位數(shù)的積只可能是四位數(shù)或者五位數(shù)。設計意圖：在運算能力方面，教師引導學生通過計算三位數(shù)乘兩位數(shù)提升計算能力，通過判斷積可能是幾位數(shù)鍛煉學生估算的能力；在學習方式方面，讓學生通過自由編題和同桌互相批改，既激發(fā)學生學習的興趣，又訓練學生三位數(shù)乘兩位數(shù)的計算能力。師：如圖8所示，老師給同學們帶來了一個數(shù)字謎，你們能看懂嗎？生17：因為兩層都在算□□□×A，所以結果就是1287+12870。設計意圖：教師引導學生通過解決數(shù)字謎的問題，既加深了學生對乘法算理的理解，又向學生滲透了運算策略。師：真會思考。現(xiàn)在難度升級，如圖9所示，請快速選一選。生18：第一題選C，第二題選B，因為一個是三層，一個是兩層。生19：不同意，第二題應選C，因為第二層是和百位對齊，說明和十位對齊的那一層是0，所以應該有三層，第二個因數(shù)還是三位數(shù)。（2）文化鏈接，初感豎式魅力師：今天我們學習的整數(shù)乘法豎式是我國現(xiàn)在盛行的算法，在古代還有算籌法、珠算法、格子法等。國外也有許多方法，如視窗法、畫線法等。同學們可以利用課后查閱相關資料，下節(jié)課我們來學習文化課“不同的乘法豎式”。設計意圖：通過文化鏈接為下節(jié)課的學習埋下伏筆，激發(fā)學生查閱文獻的興趣，增強學生的文化自豪感。6.板書設計，體現(xiàn)結構（如圖10）五、課后反思，總結教學經(jīng)驗1.從點狀知識到互聯(lián)視域，體現(xiàn)內容的結構性本節(jié)課基于整體互聯(lián)的教學視野，形成“關聯(lián)—識模、遷移—建模、類比—拓模、應用—用?！钡慕Y構。教師引導學生先回顧“多位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)”知識，經(jīng)歷三位數(shù)乘兩位數(shù)的探究過程；然后，讓學生經(jīng)歷“四位數(shù)乘兩位數(shù)、三位數(shù)乘三位數(shù)”的擴充過程，聯(lián)結三者之間的關系；最后，讓學生掌握“多位數(shù)乘多位數(shù)”的算法與算理，通過構建筆算乘法的全景結構，發(fā)展學生的結構化思維。2.從“以理促算”到豎式模型，體驗運算的一致性“三位數(shù)乘兩位數(shù)”是整數(shù)乘法運算學習的最后一個內容，較之以前學習的整數(shù)乘法，雖然數(shù)的位數(shù)增加了，但算理、算法具有一致性。教師引導學生通過