探索與發(fā)現(xiàn)三角形邊的關系（學霸課堂筆記）-數(shù)學四年級下冊培優(yōu)講義（北師大版）

2.4探索與發(fā)現(xiàn)：三角形邊的關系第一部分第一部分知識清單1.判斷三條線段是否能圍成三角形，只要把較短的兩條線段的長度相加的和與第三條線段比較即可。若較短兩邊的長度和大于第三條線段，就一定能圍成三角形；否則，就不能圍成三角形。2.三角形任意兩邊之和大于第三邊。3.利用三角形邊的關系，可以判斷三條長度已知的線段能否圍成三角形。第二部分第二部分典型例題例1：淘氣家、笑笑家和學校的位置在地圖上可構成一個三角形，其中淘氣家距離學校3千米，笑笑家距離學校15千米，那么淘氣家和笑笑家的距離（

）。A．可能是13千米 B．可能小于12千米C．一定大于15千米 D．可能大于18千米答案：A分析：由于淘氣家、笑笑家和學校的位置在地圖上可構成一個三角形，已知淘氣家距離學校3千米，笑笑家距離學校15千米，根據(jù)在三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，先求出淘氣家和笑笑家的距離的取值范圍，再解答即可。詳解：15＋3＝18（千米）15－3＝12（千米）所以淘氣家和笑笑家的距離大于12千米小于18千米；A．18＜13＜12；此選項符合題意；B．淘氣家和笑笑家的距離大于12千米小于18千米，因此此選項不符合題意；C．淘氣家和笑笑家的距離大于12千米小于18千米，因此可能大于15千米，也可能小于15千米；此選項不符合題意；D．淘氣家和笑笑家的距離大于12千米小于18千米，因此此選項不符合題意；故答案為：A例2：一個三角形的兩條邊分別是15厘米和6厘米，第三條邊一定比()厘米長，比()厘米短。答案：131分析：任意三角形的兩邊之和必須大于第三邊，任意兩邊的差必須小于第三邊。這個三角形的第三條邊小于（15＋16）厘米，大于（16－15）厘米。詳解：15＋16＝31（厘米）16－15＝1（厘米）一個三角形的兩條邊分別是15厘米和6厘米，第三條邊一定比1厘米長，比31厘米短。例3：一個三角形的三條邊分別長4厘米，3厘米，7厘米。()答案：×分析：根據(jù)三角形的三邊關系，第三條邊小于兩條邊的和，大于兩條邊的差，據(jù)此判斷即可。詳解：4＋3＝7（厘米）兩邊之和等于第三邊，不能形成三角形。題干說法錯誤。故答案為：×例4：用3根分別長10厘米、20厘米、30厘米的小棒能擺成一個三角形嗎？答案：不能分析：先求出兩條較短邊的長度之和，再與第三條邊的長度比較，發(fā)現(xiàn)兩邊之和等于第三邊，不能擺成三角形。詳解：10＋20＝30（厘米）30＝30答：不能擺成三角形。點睛：三角形的任意兩邊之和大于第三邊。：基礎過關練一、選擇題1．下面（

）組線段可以組成三角形。A．3cm，8cm，9cm B．5cm，5cm，10cm C．2cm，4cm，8cm2．等腰三角形的兩條邊長分別為3cm和2cm，則這個三角形的周長是（

）。A．7cm B．8cm C．7cm或8cm D．無法確定3．把一根鐵絲在箭頭處剪斷，然后首尾相連組成一個三角形。一定能圍成三角形的是（

）。A．

B．

C．

4．一個三角形的周長是20cm，其中一條邊長5cm，另外兩條邊的長度可能是（

）。A．5cm和10cm B．6cm和9cm C．4cm和11cm5．能擺成三角形的3根小木棒長度（單位：厘米）是（

）。A．3、5、8 B．4、4、9 C．5、6、12 D．5、7、116．一個等腰三角形的兩條邊長分別是6厘米和15厘米，那么這個等腰三角形的周長是（

）。A．27cm B．30cm C．36cm D．27cm或36cm二、填空題7．用三根長度是整厘米的小棒圍成一個三角形，其中兩根小棒的長度分別是6厘米和9厘米，第三根小棒的長度最短是()厘米，最長是()厘米。8．如果三角形的兩條邊的長分別是6厘米，10厘米，那么第三條邊的長比()厘米長，比()厘米短。9．一個三角形的邊長都是整厘米數(shù)，其中兩條邊分別是4厘米和9厘米，第三條邊最短是()厘米，最長是()厘米。10．一個三角形的一條邊長9厘米，一條邊長3厘米，第三條邊的長度最長是()厚米，最短是()厘米。（邊長都是整厘米數(shù)）11．在一個三角形中，第一條邊是5厘米，第二條邊是7厘米，則第三條邊最長是()厘米（填整厘米數(shù)）。12．一個等腰三角形的兩條邊長分別是2厘米和4厘米，那么第三條邊的長度()（填“一定”、“可能”或“不可能”）是2厘米。13．有兩根長度分別是3厘米和6厘米的小棒，能和它們圍成三角形的第3根小棒最長是()厘米，最短是()厘米。（填入整數(shù)）三、判斷題14．三角形的兩邊之和有時可以等于第三邊。()15．有長度為3厘米、4厘米、5厘米和7厘米的小棒各一根，任意取其中三根小棒都可以圍成一個三角形。()16．三角形兩條邊的和一定大于或等于第三條邊。()17．長度分別是2cm、2cm、4cm的三根小棒可以圍成1個三角形。()18．一個三角形的三邊長都是整厘米，其中兩邊長分別為10cm和7cm，第三邊最長是17cm。()19．麗麗用3根長度分別是5厘米，7厘米和10厘米的小棒可以圍成一個三角形。()：培優(yōu)提升練四、解答題20．淘氣的姐姐身高1.72米，體重52千克，腿長約95厘米。淘氣說他姐姐走一步能邁2米，對于這種說法，你相信嗎？請從數(shù)學角度解釋理由。21．做風箏。（1）做一個等腰三角形風箏。它的一個頂角是80°，它的一個底角是多少度？（2）做一個等腰三角形風箏，它的一腰長是6分米，它的底邊長的取值范圍應在多少厘米之間？你的根據(jù)是什么？（取整厘米數(shù)，只考慮能否做成的因素，不考慮其它因素）22．一個等腰三角形的兩條邊分別是5厘米、8厘米，那么它的周長是多少厘米長？23．淘氣打算從兩根8厘米、兩根4厘米和兩根3厘米的小棒中，任意選取其中的三根，擺一個等腰三角形，一共可以擺出幾種？請你用自己喜歡的方式列舉出來。24．兩根小棒的長度分別是5厘米和9厘米，要用它們擺成一個三角形，第三根小棒的長度可能是多少厘米？請列出來。（至少列出6種可能長度，取整厘米數(shù)。）25．一根鐵絲可以圍成一個邊長9厘米的正方形，如果用它圍一個三角形，其中一條邊長12厘米。這個三角形的另外兩條邊長可能是多少厘米？請寫出所有結果。（邊長取整厘米）26．人民體育場廣場即將舉辦放風箏比賽，爸爸準備給笑笑做一個等腰三角形的風箏參賽，他把一根長竹條截了三根竹條，分別是65厘米、65厘米和130厘米。（1）爸爸把這三根竹條首尾相接做風箏框架，能做成嗎？為什么？（2）如果你準備的竹條總長和笑笑爸爸的相同，做成一個腰長80厘米的風箏，那么底長應是多少厘米？

1．A分析：三角形的兩邊之和大于第三邊，據(jù)此算出結果作比較，即可選出答案。詳解：A．3＋8＝11，11＞9，符合；B．5＋5＝10，10＝10，不符合；C．2＋4＝6，6＜8，不符合。故答案為：A2．C分析：當?shù)妊切蔚难?cm時，3＋2＞3，此時等腰三角形的三邊是3cm、3cm和2cm；當?shù)妊切蔚难?cm時，2＋2＞3，此時等腰三角形的三邊是3cm、2cm和2cm；將三角形的三邊相加，即可求出三角形的周長。詳解：①3＋3＋2＝8（cm）②3＋2＋2＝7（cm）所以，這個三角形的周長是7cm或者8cm。故答案為：C點睛：本題考查了等腰三角形的周長，掌握等腰三角形的特征，周長的計算方法是解題關鍵。3．C分析：根據(jù)三角形的特性：兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊的差一定小于第三邊；進行解答即可。詳解：A．2＋2＜6，所以不能圍成三角形；B．2＋3＝5，所以不能圍成三角形；C．2＋4＞4，所以可以圍成三角形。故答案為：C點睛：解答此題的關鍵是根據(jù)三角形的特性進行分析、解答即可。4．B分析：三角形三條邊的總長度就是該三角形的周長，三角形任意兩邊的長度之和大于第三邊，任意兩邊的長度之差小于第三邊，依此選擇。詳解：A．5cm＋10cm＋5cm＝20cm，但，5cm＋5cm＝10cm，10cm＝10cm，因此另外兩條邊的長度不可能是5cm和10cm。B．6cm＋9cm＋5cm＝20cm，且，5cm＋6cm＞9cm，9cm－5cm＜6cm，因此另外兩條邊的長度可能是6cm和9cm。C．4cm＋11cm＋5cm＝20cm，但，4cm＋5cm＜11cm，因此另外兩條邊的長度不可能是4cm和11cm。故答案為：B點睛：解答此題的關鍵是要熟練掌握三角形周長的計算，以及應掌握三角形三條邊之間的關系。5．D分析：判斷三角形能否構成，關鍵是看三條線段是否滿足：任意兩邊之和是否大于第三邊，但通常不需一一驗證，其簡便方法是將較短兩邊之和與較長邊比較。詳解：A．3＋5＝8（厘米）所以三條線段不能圍成三角形；B．4＋4＝8（厘米）8＜9所以三條線段不能圍成三角形；C．5＋6＝11（厘米）11＜12所以三條線段不能圍成三角形；D．5＋7＝12（厘米）12＞11所以三條線段能圍成三角形。能構成三角形的一組是5厘米、7厘米、11厘米。故答案為：D點睛：本題主要考查了三角形三邊關系定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊。6．C分析：6厘米＋6厘米＜15厘米，6厘米的長的邊不能為腰，所以腰長為15厘米，底長為6厘米，這個等腰三角形的周長等于兩腰的長度加底長，據(jù)此即可解答。詳解：6厘米＋6厘米＜15厘米，6厘米的長的邊不能為腰，所以腰長為15厘米，底長為6厘米。15×2＋6＝30＋6＝36（厘米）故答案為：C點睛：明確等腰三角形的腰長是多少是解答本題的關鍵。7．414分析：根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊解答即可。詳解：根據(jù)分析：9－6＜第三邊＜6＋9所以3＜第三邊＜15用三根長度是整厘米的小棒圍成一個三角形，其中兩根小棒的長度分別是6厘米和9厘米，第三根小棒的長度最短是（4）厘米，最長是（14）厘米。8．416分析：三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，據(jù)此即可解答。詳解：10－6＝4（厘米）10＋6＝16（厘米）所以第三條邊的長比4厘米長，比16厘米短。9．612分析：根據(jù)三角形的三邊關系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，據(jù)此解答。詳解：（厘米）（厘米）5厘米＜第三邊＜13厘米那么第三邊最長就是12厘米，最短就是6厘米。一個三角形的邊長都是整厘米數(shù)，其中兩條邊分別是4厘米和9厘米，第三條邊最短是6厘米，最長是12厘米。10．117分析：三角形三邊之間的關系：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形兩邊之差小于第三邊；據(jù)此解答。詳解：根據(jù)分析：9－3＝6（厘米），9＋3＝12（厘米），所以第三條邊大于6厘米小于12厘米，那么第三條邊的長度最長是11厘米，最短是7厘米。11．11分析：根據(jù)三角形的特性：兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊的差一定小于第三邊；進行解答即可。詳解：因為7－5＜第三邊＜7＋5，所以2＜第三邊＜12，即第三邊的取值在2～12厘米（不包括2厘米和12厘米），因為三條邊都是整厘米數(shù)，所以第三邊最長為：12—1＝11（厘米）點睛：解答此題的關鍵是根據(jù)三角形的特性進行分析、解答即可。12．不可能分析：三角形的三邊關系：兩邊之和一定大于第三條邊；等腰三角形的兩條腰相等，假如腰是2厘米，則看2厘米、2厘米、4厘米能不能組成三角形；假如腰是4厘米，則看4厘米、4厘米、2厘米能不能組成三角形；再根據(jù)結果進行解答。詳解：假如腰是4厘米；4＋2＞4，則4厘米、4厘米、2厘米能組成三角形。假如腰是2厘米；2＋2＝4，則2厘米、2厘米、4厘米不能組成三角形，所以第三條邊的長度不可能是2厘米。點睛：本題考查的知識點較多，需學生熟練掌握等腰三角形的特征、三角形的三邊關系以及事件的確定性與不確定性。13．84分析：任意三角形的兩邊之和必須大于第三邊，任意兩邊的差必須小于第三邊。詳解：3＋6－1＝9－1＝8（厘米）6﹣3＋1＝3＋1＝4（厘米）圍成三角形的第3根小棒最長是8厘米，最短是4厘米。有兩根長度分別是3厘米和6厘米的小棒，能和它們圍成三角形的第3根小棒最長是（8）厘米，最短是（4）厘米。（填入整數(shù)）點睛：本題考查了三角形的三邊關系的應用。14．×詳解：三角形三邊關系是任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。例如：如果三角形三條邊是2、2、4，2＋2＝4，不符合三角形三邊關系，不能構成三角形。故答案為：×15．×分析：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形兩邊之差小于第三邊。據(jù)此解答。詳解：三角形兩邊之和大于第三邊，如果取3厘米、4厘米和7厘米的小棒，3＋4＝7（厘米），不能圍成一個三角形。故答案為：×點睛：掌握三角形的三邊關系是解題的關鍵。16．×分析：根據(jù)三角形三邊的關系：任意兩邊之差小于第三邊，任意兩邊之和大于第三邊，據(jù)此解答。詳解：根據(jù)分析可知，三角形兩條邊的和一定大于第三邊。原題干說法錯誤。故答案為：×點睛：熟練掌握三角形三邊的關系是解答本題的關鍵。17．×分析：根據(jù)三角形三條邊的關系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；進行解答即可。詳解：2＋2＝4（cm）不能滿足三角形三條邊的關系：兩邊之和大于第三邊。原題說法錯誤。故答案為：×點睛：解答此題的關鍵是根據(jù)三角形的特性進行分析、解答。18．×分析：根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，解答此題即可。詳解：10＋7＝17（cm）10－7＝3（cm）3cm＜第三邊＜17cm第三邊最長是16cm，原題說法錯誤。故答案為：×點睛：熟練掌握三角形的三邊關系，是解答此題的關鍵。19．√分析：根據(jù)三角形的特性：兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊的差一定小于第三邊；進行解答即可。詳解：5＋7＝12（厘米）；12厘米＞10厘米；10－7＝3（厘米）；3厘米＜5厘米；麗麗用3根長度分別是5厘米，7厘米和10厘米的小棒可以圍成一個三角形。原題干說法正確。故答案為：√點睛：熟練掌握三角形三邊的關系，是解答本題的關鍵。20．不相信；理由見詳解分析：先求出兩條腿的長度之和，根據(jù)三角形的第三條邊一定小于兩邊之和可知：姐姐走一步的長度一定小于她兩條腿的長度之和；據(jù)此解答。詳解：95＋95＝190（厘米）190厘米＝1.9米1.9米＜2米答：不相信，兩條腿與姐姐走一步的長度看成一個三角形，那么姐姐走一步的長度一定小于1.9米，而2米大于1.9米，所以姐姐走一步不能邁2米。點睛：解答此題的關鍵是明確三角形的兩邊之和大于第三條邊。21．（1）50度；（2）0厘米和12厘米之間分析：（1）等腰三角形的兩個底角相等，180°減去頂角的度數(shù)，再除以2即等于一個底角的度數(shù)。（2）根據(jù)兩邊之差小于第三邊，兩邊之和大于第三邊進行解答。詳解：（1）（180－80）÷2＝100÷2＝50（度）答：它的一個底角是50度。（2）6－6＝0（厘米）6＋6＝12（厘米）0厘米＜底邊＜12厘米答：它的底邊長的取值范圍應在0厘米和12厘米之間。點睛：本題主要考查學生對三角形的內(nèi)角和、三角形的分類和三角形三邊間的關系的掌握。22．18厘米或者21厘米分析：等腰三角形兩個腰相等，當腰是5厘米時，三條邊是5厘米、5厘米和8厘米，5＋5＞8，符合三角形的三邊關系；當腰是8厘米時，三條邊是8厘米、8厘米和5厘米，5＋8＞8，符合三角形的三邊關系；據(jù)此把三條邊相加即是周長。詳解：（1）當腰是5厘米時：5＋5＋8＝10＋8＝18（厘米）（2）當腰是8厘米時：8＋8＋5＝16＋5＝21（厘米）答：它的周長是18厘米或者21厘米。點睛：此題主要考查學生對等腰三角形性質(zhì)的理解與三角形的三邊關系的應用。23．4種；各種情況見詳解分析：只要符合兩腰長度之和大于底邊長度即可。詳解：（1）8厘米、8厘米、4厘米（2）8厘米、8厘米、3厘米（3）4厘米、4厘米、3厘米（4）3厘米、3厘米、4厘米所以一共可以擺出4種。點睛：本題主要考查學生對三角形三邊關系的掌握和靈活運用。24．13厘米、12厘米、11厘米、10厘米、9厘米、8厘米、7厘米、6厘米、5厘米分析：三角形的三邊關系為三角形的兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之差一定小于第三邊；據(jù)此解答即可。詳解：5＋9＝14（厘米），9－5＝4（厘米）則第三根小棒的長度比14厘米小，比4厘米大。答：第三根小棒的長度可能是13厘米、12厘米、11厘米、10厘米、9厘米、8厘米、7厘米、6厘米、5厘米。點睛：熟練掌握三角形的三邊關系，靈活運用三角形的三邊關系解決問題。25．見詳解分析：正方形的周長為：9×4＝36（厘米），三角形的周長等于正方形的周長；用36減去12，求出另外兩條邊長的長度之和；三角形的三邊關系：兩邊之和大于第三條邊，兩邊之差小于第三條邊；據(jù)此求出這個三角形的另外兩條邊長可能是多少厘米。詳解：9×4＝36（厘米）36－12＝24（厘米）當另外兩條邊長為1厘米、23厘米時，1＋12＜23，不符合三邊關系；當另外兩條邊長為2厘米、22厘米時，2＋12＜22，不符合三邊關系；當另外兩條邊長為3厘米、21厘米時，3＋12＜21，不符合三邊關系；當另外兩條邊長為4厘米、20