專題3切線問題（學(xué)生版）

專題3：切線問題<<<專題綜述>>><<<專題綜述>>>應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義探究函數(shù)的切線問題高考考查的熱點，常見題型有求切線方程、探究切線的條數(shù)、由切線方程或切線方程的條數(shù)求參變量的值或范圍、公切線問題，公切線問題是2022年高考的新題型之一.<<<專題探究>>><<<專題探究>>>1.切線的定義：在曲線的某點A附近取點B，并使B沿曲線不斷接近A,這樣直線AB的極限位置就是曲線在點A處的切線.2.函數(shù)f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點(x0，f(x0))處的切線的斜率(瞬時速度就是位移函數(shù)s(t)對時間t的導(dǎo)數(shù))．相應(yīng)地，切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3.求曲線切線方程的一般步驟：（1）求出y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)，即y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線斜率（當曲線y=f(x)在P4.對于兩個（或兩個以上）函數(shù)的兩條切線重合時，稱該切線為兩個（或兩個以上）函數(shù)的公切線即：對于函數(shù)y=fx和y=gx，若直線l既與曲線y=fx相切，也與曲線y=gx相切.則稱直線l為函數(shù)函數(shù)公切線問題，一般最后轉(zhuǎn)化為方程的解的個數(shù)問題，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點個數(shù)問題，因此解決函數(shù)公切線問題，充分應(yīng)用“轉(zhuǎn)化與化歸”的思想和“函數(shù)與方程”的思想；公切線問題的實質(zhì)是導(dǎo)數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用，將曲線間的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、極（最）值、零點等，然后通過運算求解或推理論證而解決問題；解決公切線問題至少有三種思維切入方式：①利用兩切線重合；②構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值；③凹凸反轉(zhuǎn)，利用切不等式放縮.題型一：題型一：公切線問題題設(shè)情境是兩常系數(shù)函數(shù)公式條數(shù)的探究及求公切線方程，因此分別設(shè)函數(shù)的切點坐標，求得相應(yīng)的切線方程，利用公式的幾何特征即兩函數(shù)的切線為同一直線，因此聯(lián)列方程組消元后得到關(guān)于其中一個切點模坐標的方程，然后應(yīng)用導(dǎo)數(shù)和零點定理討論方程解的個數(shù)，求方程特殊根相應(yīng)的切線方程.例1已知函數(shù)f(x)=x?2?2，g(x)=4lnx?2(a>0)．則函數(shù)f(x)與g(x)的圖象是存在公切線，【思路點撥】由函數(shù)f(x)與g(x)的圖象存在公切線，設(shè)公切線與函數(shù)f(x)=x2?2、g(x)=4ln?x?2上的切點分別為x1,x21?2，x2,4lnx2?2，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求得切線的方程，由公切線的意義及兩直線重合的條件列方程組，消元后將問題轉(zhuǎn)化為x21?4練1(2024·河北省·模擬題)已知直線l：y=x+b為曲線f(x)=ex的切線，若直線l與曲線g(x)=?12x2+mx?練2(2024·湖南省·模擬題)已知函數(shù)f?(x)=ax3+3x2?6ax?11，g(x)=3x(1)求a的值；(2)是否存在k，使直線m既是曲線y=f

(x)的切線，又是曲線y=g(x)的切線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由．題型二：題型二：含參變量的切線問題題設(shè)情境是討論三次多項式型函數(shù)單調(diào)性和極值，已知函數(shù)切線條數(shù)求參變量的取值范國.第（1）問應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和極值的基本方法，通過分類與整合思想求解；第（2）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得過點P的切線方程,應(yīng)用參變分離方法和數(shù)形結(jié)合思想,探究存在三條切線的充分條件,從而求得實數(shù)m的取值范圍.例2已知函數(shù)fx（1）求函數(shù)fx（2）若函數(shù)fx滿足fx+f?x=4，且過點m≠4【思路點撥】第（1）問由題設(shè)求得f'x=x2?ax+a?1=x?1x?a+1，由f'(x)=0可知得x=1或x=a?1兩個根，然后a?1與1的大小關(guān)系分類討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性，便可得到函數(shù)f(x)的極值；第（2）問首先由fx+f?x=4求出參數(shù)a的值，從而可求得過點P的切線方程y?13x03?x0+2=x02?1x?x練3(2024·福建省三明市·月考試卷)已知函數(shù)f(x)=?x3+2x2?x，若過點P1,t可作曲線A.(0,130) B.(0,129)練4(2025·湖北省·模擬題)若過點P(1,m)可以作三條直線與曲線C:y=xex相切，則m的取值范圍是(

)A.?5e2,0 B.?5e練5(2024·四川省雅安市·模擬題)已知函數(shù)fx=ax+1e(1)當a<0時，求fx(2)當a=1時，過點?1,m可以作3條直線與曲線y=fx相切，求m的取值范圍．(1)由fx=ax+1題型三：題型三：利用切線放縮證明不等式題設(shè)情境是討論含參變量函數(shù)的單調(diào)性,證明常系數(shù)不等式和與函數(shù)零點相關(guān)的不等式.第(1)問應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的基本方法，通過分類與整合思想求解；第(2)問等價變形不等式,應(yīng)用數(shù)學(xué)抽象構(gòu)造函數(shù),應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值的基本方法求函數(shù)最值而證明不等式;第(3)小問借助研究問題的整體性意識,由第(2)問求解啟示,應(yīng)用切線放縮技巧證明,即利用函數(shù)在某點處的切線位于函數(shù)下方,從而直線y=m與函數(shù)的交點之間的距離小于直線y=m與兩切線的交點之間的距離.例3已知函數(shù)f(x)=xlnx?a(x?1)，其中（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）當a=0時，①證明：fx②方程fx1=fx2=m有兩個實根【思路點撥】第（1）問由函數(shù)f(x)=xlnx?a(x?1)，求得f'(x)=1+lnx?a，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)正負取值與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可求解函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；第（2）問①證明不等式恒成立，通過構(gòu)造函數(shù)g(x)=xlnx+x+1e2，求得g'(x)=lnx+2應(yīng)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值的關(guān)系，求得函數(shù)g(x)的最小值即可證明；②根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及極值點，數(shù)形結(jié)合判斷方程有兩個根的情況m的取值范圍及兩根的取值范圍，聯(lián)立直線y=?x?1e2與y=m練6(2024·安徽省合肥市模擬)已知函數(shù)fx=ex?2，函數(shù)g(1)求a的值；(2)求證：(=1\?GB3①)f練7（2024·四川省成都市模擬）已知函數(shù)fx=ex?2x?(1)試討論函數(shù)fx(2)當a>1時，設(shè)函數(shù)的兩個極值點為x1、x2且，求證：ex<<<專題訓(xùn)練>>><<<專題訓(xùn)練>>>1.(2024·江蘇省南通市模擬)已知函數(shù)fx=x2+2x和gx=?x2+a，如果直線l同時是fx和gx的切線，稱l是fx2.（2024·安徽省合肥市模擬）已知曲線C1：y=ex+m，C2：y=x2，若恰好存在兩條直線直線l1、lA．2ln2?2,+∞ B．2ln2,+∞3.（2024·天津市月考）若函數(shù)fx=lnx與函數(shù)A．ln12e,+∞C．1,+∞ D．ln2,+∞4.（2024·黑龍江省模擬）設(shè)直線l1，l2分別是函數(shù)fx=lnx,0<x<1?lnx,x>1，圖象上點P1，P2處的切線，且l1與l2A． B．0,3?ln224 C．5.(2024·廣東省·聯(lián)考題)已知函數(shù)f(x)=a1x(1)證明：當3a1=a2=3(2)若P為曲線C1，C2的公共點，且C1，C2在P處存在共同的切線，則稱該切線為C1，C2的公切線.若曲線y=g(x)與曲線y=?6.(2024·湖北省襄陽市·模擬題)已知函數(shù)f(x)=(x2(1)若f(x)≥2e?x，求(2)當a=?12時，記函數(shù)f(x)的兩個零點為x1，x27.（2024湖北省荊州市