高考數(shù)學試題細節(jié)解析與答案

高考數(shù)學試題細節(jié)解析與答案姓名：____________________

一、多項選擇題（每題2分，共10題）

1.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$時取得極小值，則下列結論正確的是：

A.$a>0$

B.$b<0$

C.$c>0$

D.$b^2-4ac>0$

2.已知復數(shù)$z=a+bi(a,b\in\mathbb{R})$，且$|z-1|=|z+1|$，則$a$的取值范圍是：

A.$[0,+\infty)$

B.$[-2,2]$

C.$(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$

D.$[-1,1]$

3.在平面直角坐標系中，點$A(2,3)$關于直線$y=x$的對稱點坐標為：

A.$(-3,2)$

B.$(-2,3)$

C.$(3,-2)$

D.$(3,2)$

4.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項$a_1=1$，公差$d=2$，則$S_6$的值為：

A.21

B.42

C.63

D.84

5.若$ab=2$，則關于$x$的不等式$ax^2+2(a+1)x+2b<0$的解集為：

A.$(-\infty,-2)\cup(-1,0)$

B.$(-\infty,-2)\cup(-1,2)$

C.$(-\infty,-1)\cup(0,2)$

D.$(-\infty,-1)\cup(-2,0)$

6.設函數(shù)$f(x)=\sqrt{2x+3}$，若$f'(x)=k$，則$k$的取值為：

A.$\frac{1}{2}$

B.$\frac{3}{2}$

C.$\sqrt{2}$

D.$-\sqrt{2}$

7.在等差數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1+a_4=a_2+a_5$，則$\frac{a_1}{a_5}+\frac{a_5}{a_1}$的值為：

A.1

B.2

C.$\frac{1}{2}$

D.0

8.設$a>0$，函數(shù)$g(x)=ax^2+2ax+b$在$x=-1$處取得極大值，則下列結論正確的是：

A.$a>0$

B.$b<0$

C.$b>0$

D.$a+b<0$

9.若$A=\begin{bmatrix}1&-1\\2&-2\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}2&3\\4&6\end{bmatrix}$，則$AB$的值為：

A.$\begin{bmatrix}0&-3\\-8&-12\end{bmatrix}$

B.$\begin{bmatrix}4&-6\\-8&-12\end{bmatrix}$

C.$\begin{bmatrix}8&-12\\-16&-24\end{bmatrix}$

D.$\begin{bmatrix}2&3\\4&6\end{bmatrix}$

10.在等比數(shù)列$\{a_n\}$中，若$a_1=2$，$a_4=32$，則公比$q$的值為：

A.$2$

B.$4$

C.$\frac{1}{2}$

D.$\frac{1}{4}$

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x$在$x=1$處有極值，則該極值為極大值。（）

2.在直角坐標系中，若點$A(1,2)$關于直線$x+y=1$的對稱點為$B$，則$AB$的長度為$\sqrt{2}$。（）

3.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項$a_1=1$，公差$d=2$，則$S_5$是$S_3$的兩倍。（）

4.對于任意實數(shù)$x$，不等式$x^2-4x+3<0$的解集為$x\in(1,3)$。（）

5.若函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$在$x=1$處可導，則$f'(1)=0$。（）

6.在等比數(shù)列$\{a_n\}$中，若$a_1=3$，$a_4=81$，則公比$q=3$。（）

7.若復數(shù)$z=a+bi(a,b\in\mathbb{R})$滿足$|z|=1$，則$z$的實部和虛部互為相反數(shù)。（）

8.二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$的圖像開口向上當且僅當$a>0$。（）

9.在平面直角坐標系中，若點$A(1,1)$到直線$x+y=2$的距離為$\sqrt{2}$。（）

10.若矩陣$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，則$A^2=\begin{bmatrix}7&10\\15&22\end{bmatrix}$。（）

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.簡述復數(shù)的基本概念，并說明復數(shù)乘法運算的法則。

2.設數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，且$a_1=2$，$a_2=5$，$a_n=3a_{n-1}-4a_{n-2}$，求$S_6$。

3.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x$，求$f(x)$的導數(shù)$f'(x)$，并找出函數(shù)的極值點。

4.設矩陣$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，求矩陣$A$的逆矩陣$A^{-1}$。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述如何利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，并舉例說明。

2.論述矩陣乘法的幾何意義，并說明如何利用矩陣乘法解決實際問題。

五、單項選擇題（每題2分，共10題）

1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的是：

A.$f(x)=x^2$

B.$f(x)=|x|$

C.$f(x)=\frac{1}{x}$

D.$f(x)=\sqrt{x}$

2.若復數(shù)$z$的實部等于它的虛部的相反數(shù)，則$z$的幅角為：

A.$\frac{\pi}{2}$

B.$\pi$

C.$-\frac{\pi}{2}$

D.$0$

3.在直角坐標系中，點$(3,4)$到直線$x+y=7$的距離為：

A.$\sqrt{2}$

B.$2$

C.$3$

D.$\frac{3}{\sqrt{2}}$

4.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的第四項$a_4=10$，公差$d=3$，則首項$a_1$為：

A.2

B.5

C.8

D.11

5.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的圖像開口向下，且頂點坐標為$(h,k)$，則下列選項中正確的是：

A.$a>0$

B.$a<0$

C.$b=0$

D.$c>0$

6.設函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x$，則$f'(2)$的值為：

A.-2

B.-3

C.0

D.3

7.若等比數(shù)列$\{a_n\}$的首項$a_1=1$，公比$q=2$，則$a_5$的值為：

A.16

B.8

C.4

D.2

8.已知復數(shù)$z=2+3i$，則$|z|$的值為：

A.$5$

B.$\sqrt{13}$

C.$\frac{5}{\sqrt{13}}$

D.$\frac{13}{5}$

9.若二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$的圖像與$x$軸相交于點$(1,0)$和$(3,0)$，則$a$的值為：

A.$\frac{1}{4}$

B.$\frac{1}{2}$

C.$\frac{1}{3}$

D.$\frac{1}{5}$

10.在直角坐標系中，點$P(1,2)$關于直線$y=x$的對稱點$Q$的坐標為：

A.$(1,2)$

B.$(2,1)$

C.$(-1,-2)$

D.$(-2,-1)$

試卷答案如下：

一、多項選擇題答案及解析思路：

1.A.$a>0$，因為極小值對應的導數(shù)為0，二次導數(shù)大于0。

2.B.$[-2,2]$，因為$|z-1|=|z+1|$表示$z$到點$1$和$-1$的距離相等，即$z$在實軸上。

3.A.$(-3,2)$，關于$y=x$的對稱點坐標交換$x$和$y$的值并取相反數(shù)。

4.B.42，$S_6=\frac{6}{2}(2a_1+(6-1)d)=3(2+2\cdot2)=42$。

5.B.$(-\infty,-2)\cup(-1,2)$，$ax^2+2(a+1)x+2b<0$的解集由判別式$b^2-4ac$決定。

6.A.$\frac{1}{2}$，導數(shù)$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{2x+3}}$，當$x=-\frac{3}{2}$時，$f'(x)=\frac{1}{2}$。

7.B.2，根據(jù)等差數(shù)列的性質，$a_5=a_1+4d$，$a_4=a_1+3d$，代入求解。

8.B.$b<0$，極大值對應的導數(shù)為0，二次導數(shù)小于0，$b^2-4ac<0$。

9.A.$\begin{bmatrix}0&-3\\-8&-12\end{bmatrix}$，矩陣乘法計算結果。

10.B.4，根據(jù)等比數(shù)列的性質，$a_5=a_1q^4$，代入求解。

二、判斷題答案及解析思路：

1.×，$f(x)=x^3-3x$在$x=1$處有極小值。

2.√，對稱點坐標為$(2,3)$。

3.√，$S_5=5a_1+10d$，$S_3=3a_1+6d$，代入求解。

4.√，解不等式得到$x^2-4x+3=(x-1)(x-3)<0$。

5.×，$f'(x)=\frac{1}{x^2}$，在$x=1$處導數(shù)不存在。

6.√，$a_4=a_1q^3$，代入求解。

7.×，復數(shù)$z$的實部和虛部不一定互為相反數(shù)。

8.√，二次函數(shù)開口向上當且僅當$a>0$。

9.√，點到直線的距離公式計算。

10.√，矩陣乘法計算結果。

三、簡答題答案及解析思路：

1.復數(shù)的基本概念包括實部和虛部，以及幅角和模長。復數(shù)乘法運算法則包括分配律、結合律和交換律。

2.$S_6=a_1+a_2+\ldots+a_6=6a_1+15d=6\cdot2+15\cdot2=42$。

3.$f'(x)=3x^2-6x+4$，極值點為$f'(x)=0$的解，即$x=1$和$x=\frac{2}{3}$。

4.$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}=\frac{1}{4}\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&-\fr