中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題17 有理數(shù)混合運(yùn)算的八種技巧（舉一反三）（人教版）（解析版）

專題1.7有理數(shù)混合運(yùn)算的八種技巧

【人教版】

?題型梳理

【技巧1巧用湊整法計(jì)算】.......................................................................1

【技巧2運(yùn)用拆項(xiàng)法計(jì)算】.......................................................................2

【技巧3巧妙組合法計(jì)算】.......................................................................4

【技巧4相互轉(zhuǎn)化法計(jì)算】.......................................................................6

【技巧5裂項(xiàng)相消法計(jì)算】.......................................................................8

【技巧6巧用分配律計(jì)算】......................................................................11

【技巧7巧用倒數(shù)法計(jì)算】......................................................................13

【技巧8變形相加法計(jì)算】......................................................................16

?舉一反三

【技巧1巧用湊整法計(jì)算】

【例1】（重慶市2023-2024學(xué)年七年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）計(jì)算：

一87.21+53卷-12.78+43高；

【答案】-3

【分析】原式交換再結(jié)合后，相加即可得到結(jié)果；

【詳解】解：-87.21+53*-12.78+43/

=（-87.21-12.78）+（53五+43—J

=-100+97

=-3；

【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的運(yùn)算.熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

【變式1?1】（2023秋?黑龍江齊齊哈爾?七年級(jí)校聯(lián)考期中）計(jì)算：

132/1\

3--1--4--+1-

655\6/

【答案】-4

【分析】先去括號(hào)，計(jì)算同分母加減法，再計(jì)算；

【詳解】解：3；-1。-4：-（+1；）

655\6/

=2—6

=-4；

【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的加減計(jì)算，正確掌握有理數(shù)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵.

【變式1-2](2023秋?七年級(jí)單元測(cè)試)計(jì)算：

(-2^)+(+5)+(-31)+(+1,125)+(+40；

【答案】5

【分析】先根據(jù)去括號(hào)法則去括號(hào)，再根據(jù)加法交換律和結(jié)合律簡(jiǎn)便計(jì)算即可;

【詳解】解：(-2^)+(+5)+(-31)+(+1.125)+(+40

11

+5-3-+1.125+4-

-4乙乙

111

=+1+5-3--4-

[(-4)i22]

=-1+5+1

=5；

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的加法運(yùn)算，掌握各運(yùn)算法則是解題關(guān)健.

【變式1-31(2023秋?廣西崇左?七年級(jí)?？茧A段練習(xí))計(jì)算：

0.125+3：+(-3+(-0.25)；

【答案】0

【分析】根據(jù)有理數(shù)加法的簡(jiǎn)便計(jì)算法則求解即可；

【詳解】解：原式=(0.125-3錄+(3；-0.25)

=-3+3

=0;

【點(diǎn)睛】有理數(shù)的加法計(jì)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵.

【技巧2運(yùn)用拆項(xiàng)法計(jì)算】

[M2](2023秋?全國?七年級(jí)期末)閱讀下面的計(jì)算過程，體會(huì)“拆項(xiàng)法”

計(jì)算：T+(O+173+(T[)

解：原式=(-5-9+17-3)+=0+f-l-|=-17

k6342/\4>4

啟發(fā)應(yīng)用，用上面的方法完成下列計(jì)算：(一3V)+(-吟)+2>(23

【答案】-4.

【分析】將原式利用“拆項(xiàng)法''得出原式二(一3-1+2-2)+(+),再根據(jù)有理數(shù)的加減運(yùn)算

法則計(jì)算可得.

【詳解】解：(-32)+(-好)+2；(23

=,(-3-14-2-2)74-k(--102527

7

=-4+(--)

=-4—.

io

【點(diǎn)睛】題目主要考查有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，理解題干中的“拆項(xiàng)法”是解題關(guān)鍵.

【變式2-1](2023秋?山東德州?七年級(jí)?？茧A段練習(xí))計(jì)算：(-59+(-9§+(179+(-35

【答案】原式=[(-5)+(-，)+卜9)+(-：)]+[(17)+修)]+卜3)+(-0]

=K-5)+(-9)+(17)+(-3)]+[(-|)+(-|)+(^)+(-§]

=0+

=—1—

4

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握題忖給出的“拆項(xiàng)法”是解答本題的關(guān)鍵.

【變式2-2](2023秋?山東濟(jì)寧?七年級(jí)統(tǒng)考期中)計(jì)算：

2\2

一2021步-2020-1+4042-+

。/tj

【答案】■

【分析】將—202。、一2020；、4042,、一1斯分，然后再運(yùn)用簡(jiǎn)便方法進(jìn)行計(jì)算即可.

6332

【詳解】解：原式=[(-2021)+(—§]+[(—2020)+(-|)]+(4042+§+卜1+(-9]

,、/5221、

=(-2021-2020+4042-1)+一Z一三+彳一力

\6332/

=0+(-^

【答案】D

【分析】根據(jù)加法的結(jié)合律四個(gè)四個(gè)?組結(jié)合起來，每?組的和都等于-4,共505組，計(jì)算即可.

【詳解】解：1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+……+2017+2018-2019-2020

=(1+2-3-4)+C5+6-7-8)+(9+10-11-12)+.......+(2017+2018-2019-2020)

=(-4)+(-4)+(-4)+(-4)+……+(-4)

=(-4)x505

=-2020.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考杳了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，觀察出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【變式3?1】(2023秋?河南洛陽?七年級(jí)統(tǒng)考期末)計(jì)算1+2-3-4+5+6-7-8+…+2017+2018-

2019-2020+2021的值為()

A.1B.0C.2021D.-2021

【答案】A

【分析】從第二項(xiàng)開始，利用加法的結(jié)合律每相鄰兩項(xiàng)結(jié)合相加，結(jié)果依次為一1和1循環(huán)，而其和為0,

且共有1010個(gè)0,最后可求得和的值.

【詳解】1+2-3-4+5+6-7-8+…+2017+2018-2019-2020+2021

=1+(2-3)+(-4+5)+(6-7)4-(-8+9)+…+(2018-2019)+(-2020+2021)

=1-1+1-1+14---1+1

=1+(-1+1)+(-1+1)+…+(-1+1)

*W-

1010個(gè)<-1+1)

=1

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加減運(yùn)算及加法的結(jié)合律，關(guān)鍵是運(yùn)用加法的結(jié)合律，抓住相鄰兩項(xiàng)的和為1

或一1的特點(diǎn)，從而問題得以解決.

【變式3-2](2023?全國?七年級(jí)專題練習(xí))1一3-5+7+9-11-13+15+…+2009-2011-2013+

2015=.

【答案】0

【分析】通過觀察，每四項(xiàng)結(jié)合在一起，每一項(xiàng)結(jié)果為0,然后將原式利用加法結(jié)合律進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】原式=(1-3-5+7)+(9-11-13+15)+…+(20C9-2011-2013+2015)

=0,

故填：0.

【點(diǎn)睛】本題考查了加法中的巧算問題，熟練應(yīng)用加法結(jié)合律是關(guān)鍵.

【變式3-3](2023?全國?七年級(jí)專題練習(xí))計(jì)算：1一2-3+4+5-6-7+8+―+2020+2021結(jié)果

為.

【答案】2021

【分析】根據(jù)運(yùn)算式子歸納類推出一般規(guī)律，由此即可得.

【詳解】觀察式子可知，1-2-3+4=0,

5-6-74-8=0,

歸納類推得：從第1個(gè)數(shù)開始，每4個(gè)數(shù)的運(yùn)算結(jié)果都等于0,

???505x4+1=2021,

?*-1—2—3+4+5—6—7十8十.…十2020十2021,

=(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+....+(2017-2018-2019+2020)+2021,

=505x0+2021,

=2021,

故答案為:2021.

【點(diǎn)睛】本題考杳了有理數(shù)加減混合運(yùn)算的規(guī)律性問題，正確歸綱出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵.

【技巧4相互轉(zhuǎn)化法計(jì)算】

【例4】(2023春?上海?七年級(jí)上海市進(jìn)才實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥?(-0.375)x1；

JO

【答案】一2

64

【分析】先統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)，再算乘除即可.

[詳解]原式===

\8/3583864

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【變式4-1](2023?全國?七年級(jí)假期作業(yè))計(jì)算：

(1)(-3)+(-1|)x0.75+㈢x(-6)；

(2)(-1)x(-0.1)^^x(-10)；

【答案】(1)18

(2)-5

【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算法則及運(yùn)算順序計(jì)算即可得到答案.

【詳解】(1)解：(-3)+l^xO.75+x(—6)

437

3XXX-X6

3

7-4-

=18；

(2)解：(-0x(-O.l)4-^x(-lO)

=_GX^X25XI°)

=-5；

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)加減乘除的運(yùn)算法則及運(yùn)算順序是解決問題的關(guān)鍵.

【變式4-2](2023秋?貴州銅仁?七年級(jí)校考階段練習(xí))乘除計(jì)算：

1

1.25(-0.5)4-(-2-)x1

【答案】1

【詳解】1.25+(-0.5)+(-2》x1

=2-2)x(.)XI

=1：

【點(diǎn)睛】本題考查的是有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算，按照從左至右的運(yùn)算順序進(jìn)行計(jì)算與乘法分配律的應(yīng)用是解

本題的關(guān)鍵.

【變式4-3](2023秋?全國?七年級(jí)期末)計(jì)算：

8-(-l1)x(-12.5)x(-i)：

【答案】-60

【分析】根據(jù)有理數(shù)乘除混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】原式=8x㈢x(-12.5)x㈢

34

=-8x12.5x-x-

45

=-60.

【點(diǎn)暗】本題考查r有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

【技巧5裂項(xiàng)相消法計(jì)算】

【例5】（2023秋?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）閱讀下列材料:

計(jì)算：點(diǎn)+*+2+…+202'2022

11.12021

解：原式十???十--------------=]----------=

N23342021202220222022

這種求和方法稱為“裂項(xiàng)相消法”，請(qǐng)你參照此法計(jì)算:-4------+------+,??H----------

22-132T丁42-1丁丁1002-1

【公案】14949

?口呆」10100

【分析】先計(jì)算分母，再根據(jù)“裂項(xiàng)相消法”計(jì)算可得答案.

2222

【詳解】解:++------F???H---------

22-132-142-1丁丁1002-1

:2-,+2―,+-2+,…+,--2--

38159999

―+―+—+-+—

1x32x43x599x101

「1111.11..11

-1——十一一十一—十???十

3243S99101

14949

10100

故答案為：

【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)混合運(yùn)算，正確理解題意掌握解題的方法是解此題的關(guān)鍵.

【變式5-1］（2023秋?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?七年級(jí)校考期中）計(jì)算:

⑴卷+戰(zhàn)+￡+白

（2）計(jì)算點(diǎn)+*+￡+短+…+2。2。：2。2】

【答案】（1）之

⑵翳

【分析】（1）根據(jù)題中所給式子進(jìn)行變形求解即可:

（2）結(jié)合（1）中的計(jì)算方法求解即可.

【詳解】（1）解：根據(jù)題意得:

1111

Ix2+2x3+3x4+4x5

11111111

=一一一十———+———+----

12233445

4

一一?,

故答案為：I

⑵貴+*+長(zhǎng)+*+…+2。2。：2021

1111111111

=----+-----+-----+-----+-------------

1223344520202021

1

=1-----

2021

_2020

―2021,

【點(diǎn)睛】題目主要考查有理數(shù)的加減混合運(yùn)算及乘法運(yùn)算，找出相應(yīng)規(guī)律進(jìn)行計(jì)算求解是解題關(guān)鍵.

【變式5-2］（2023秋?山東淄博?七年級(jí)統(tǒng)考期中）計(jì)算：2+3+3+...+Q：

1x22x33x459x60

⑶」一4-」一+—i—+-J—-I--k----i---

'<1x3-3x5-5x7-7x9-2021x2023,

【答案】⑴言

（2）--

''2023

【分析】（1），把每一個(gè)分?jǐn)?shù)進(jìn)行裂項(xiàng)，由有理數(shù)的加減法則即可完成計(jì)算;

（2）先變形，再把每個(gè)分?jǐn)?shù)進(jìn)行裂項(xiàng)，最后進(jìn)行加減乘運(yùn)算即匕.

【詳解】*+￡+-+嬴

=（嗎）++（汨）+…+（聯(lián)喻〉

100’

=-----;

100

——+——+——4-——+…+-------

-1X3-3X5-5X7-7X9-2021X2023

12022

=—X---，

22023

1011

--2023，

【變式5-3】(2023秋?廣東佛山?七年級(jí)?？茧A段練習(xí))閱讀第①小題計(jì)算方法，再類比計(jì)算第②小題.

⑴?-51+(-91)+171+(-3^)

解：原式=[(-5)+(-|)]+[(-9)+(-|)]+(17+J+[(-3)+(-1)]

=K-5)+(-9)+17+(-3)]+[(-|)+(-|)+|+(~|)]

=0+(-4)

=-*,

上面這種方法叫做拆項(xiàng)法.

②計(jì)算：(-2022+(-2022++4045.

(2)①1一9=：x:，1—A=x1—xp...?_L面這種方法叫做裂項(xiàng)法.

Z,N23"334“44

②計(jì)算：(1-套)X(1-^)X-X(1-薪)X(1-志).

【答案】⑴②一2⑵②黑

【分析】(1)②仿照前面解法求解即可.

(2)②仿照前面解法求解即可.

【詳解】(1)②(一2022g+(-2022§+(-好)+4045

=[(-2022)+(一｝]+[(-2022)+(-|)]+[(-1)+(-1)]+4045

eo1

=[(-2022)+(-2022)+(-1)+4045]+[(-1)+(-1)+(-1)]

=0+(-2)

=-2.

⑵②因?yàn)?■■翥=gx|,1■■*=gx$1_2="京…,

J-乙%J%J*TT*T

所以原式弓xN|xN"/x2020x2022x2021x2023

2021202120222022

120232023

=一X----=-----

220224044

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的特殊運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算方法是解題的關(guān)鍵.

【技巧6巧用分配律計(jì)算】

【例6】（2023秋?廣東惠州?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：一2，一24X0/+*

【答案】-22

【分析】先根據(jù)有理數(shù)乘方運(yùn)算和乘法分配律的乘法運(yùn)算，再加減運(yùn)算即可求解.

【詳解】解：—24-24x（3—3+》

/153\

=-16-24x--24x-+24X-）

\364/

=-16-（8-20+18）

=-16—6

=-22.

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算順序是解答的關(guān)鍵，靈活運(yùn)用運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)

便計(jì)算.

【變式6-1］（2023春?浙江衢州?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算題，要求寫出具體計(jì)算過程：

（治）（-9）+vx（T8）+M

⑵（-6）2X6一|）—23；

【答案】⑴-14

⑵-14

【分析】（1）利用乘法分配律合并計(jì)算；

（2）先算乘方和括號(hào)內(nèi)的，再算乘法，最后算減法;

【詳解】（1）5x（—9）+5x（-18）+5

=（x（-9T8+l）

7

=記乂（-26）

=-14：

(2)(-6)2xQ-1)-23

=36x(91)-8

c12

=36x——36x--8

=18-24-8

=-14；

【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，有理數(shù)的混合運(yùn)算首先弄清運(yùn)算順序，先乘方，再乘除，最后算加

減，有括號(hào)先算括號(hào)里邊的，同級(jí)運(yùn)算從左到右依次進(jìn)行計(jì)算，然后利用各自運(yùn)算法則計(jì)算，有時(shí)可以利

用運(yùn)算律來簡(jiǎn)化運(yùn)算.

【變式6-2](2023秋?內(nèi)蒙古巴彥淖爾?七年級(jí)統(tǒng)考期末)⑴-99^x198

【答案】-19798

【分析】利用乘法分配律計(jì)算即可；

【詳解】原式=(-100+^)x198

1

=-100X198+—X198

99

=-19800+2

=-19798：

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，注意利用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)穿是解題的關(guān)鍵，也需要注意有理數(shù)混合

運(yùn)算的運(yùn)算順序.

【變式6-3】(2023春?上海寶山?七年級(jí)?？茧A段練習(xí))計(jì)算下列各題：

(l)(-24)x(-^+1-^)；

(2)(-51)x(-2)+(-5.6)x7-4x(-51)；

【答案】(1)13

⑵-5|

【分析】(1)根據(jù)有理數(shù)乘法分配律求解即可；

(2)根據(jù)有理數(shù)四則混合計(jì)算法則求解即可；

【詳解】⑴解：原式=(-24)x(—g+(—24)x'(—24)x(—白)

=20-9+2

=13

（2）解：原式二（一5|）乂（-2+7-4）

-5|）X1

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的混合計(jì)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵.

【技巧7巧用倒數(shù)法計(jì)算】

【例7】（2023春?黑龍江哈爾濱?七年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀下面材料，然后回答問題.

計(jì)算（弋

解法一：

原式=（一卷）耳一（一專）+<+（-'）+?（一白3

1111

-----+-----+---

203512

—~—1

-6

解法二：

原式=（-

=（一擊）+弓-蓋

1

=------x5

30

1

6

解法三：原式的倒數(shù)為仔"+?（焉）

/2112\

（3"T0+6"5）X（"30）

2112

=/（-3。）-叱（-3。）+尸-3。）-^（-3。）

=-20+3-5+12

=-10

故原式=一看

（1）上述得出的結(jié)果各不同，肯定有錯(cuò)誤的解法，但是三種解法中有一種解法是正確的，請(qǐng)問：正確的解法

是解法;

⑵根據(jù)材料所給的正確方法，計(jì)算：（—5）+（3—裔+1-

【答案】⑴三

【分析】（I）根據(jù)除法運(yùn)算法則，正負(fù)號(hào)變化規(guī)則，倒數(shù)的定義和乘法運(yùn)算法則判斷即可；

（2）根據(jù)解法三，先求倒數(shù)，將除法化為乘法，再求倒數(shù)即可；

【詳解】⑴解：解法一中原式=（-5）號(hào)-（-卷）7+（-5）+:（-卷）號(hào)

將除數(shù)（I-2+3-1）分開計(jì)算是錯(cuò)誤的；

解法二中原式=（一總）+［（|-J+忌一|）］是錯(cuò)誤的，將除數(shù)結(jié)合后應(yīng)為原式=（一或）+［（1+3）一

住+外

解法三中先化為倒數(shù)，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，利用乘法分配律計(jì)算后再求倒數(shù)是正確的；

故正確解法是三；

（2）解：解：原式的倒數(shù)為（?,+＞：）+（_.）

=（/6I^i34+23-27\）X（-42）

1322

=-（-42）--X（-42）+5X（-42）--X（-42）

=-7+9-28+12

=-14

故原式二一3

14

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘除運(yùn)算法則，利用一個(gè)非零數(shù)的倒數(shù)的倒數(shù)是自身是解題關(guān)鍵.

【變式7-1］（2023?江蘇?七年級(jí)假期作業(yè)）計(jì)算：（一或"5一|）

【答案】士

【分析】根據(jù)題意的算法進(jìn)行運(yùn)算，即可求得結(jié)果.

【詳解】解：原式的倒數(shù)是（_?:+._1_（一烹）

=5+8-18+30

=25

故原式=表.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，理解題意，正確運(yùn)算是解決本題的關(guān)鍵.

【變式7-2](2023秋?重慶墊江?七年級(jí)統(tǒng)考期末)計(jì)算：(一：)-(W+3)-

84812

【答案】V

【分析】可以先求出所求式子的倒數(shù)的結(jié)果，然后再寫出所求式子的結(jié)果即可.

【詳解】原式的倒數(shù)為：(1;—3+5)+(―3)

787878

4'7，8'7，12'7，

2

=-2+1+(--)

5

=-?

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.

【變式7-3](2023秋?河南南陽?七年級(jí)統(tǒng)考期中)數(shù)學(xué)老師布置了一道思考題“計(jì)算”：

小華的解法：(一$+(?力七十(一()3=_抬=/

大白的解法：原式的倒數(shù)為(卜3+(-3...............第一步

=G-3)x(—12)............第二步

=-4+10.....................第三步

=6........................第四步

所以(-沙(，)

反以兩位同學(xué)的解法，請(qǐng)你回答卜.列問題：

⑴兩位問學(xué)的解法中，同學(xué)的解答正確：

(2)大白解法中，第二步到