五年級奧數(shù)應(yīng)用題工程問題（三）（C級）學(xué)生版

馨劭假版熙

工程問題是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中的重點(diǎn)，是分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的引申與補(bǔ)充，是培養(yǎng)學(xué)生抽象邏輯思維能

力的重要工具。工程問題是把工作總量看成單位“1”的應(yīng)用題，它具有抽象性，學(xué)生認(rèn)知起來比較困難。

在教學(xué)中，讓學(xué)生建立正確概念是解決工程應(yīng)用題的關(guān)鍵。

一.工程問題的基本概念

定義：工程問題是指用分?jǐn)?shù)來解答有關(guān)工作總量、工作時(shí)間和工作效率之間相互關(guān)系的問題。

工作總量：般抽象成單位“1”

工作效率：單位時(shí)間內(nèi)完成的工作量

三個(gè)基本公式：工作總量=工作效率X工作時(shí)間，

工作效率=工作總量彳工作時(shí)間，

工作時(shí)間;工作總量?工作效率；

二、為了學(xué)好分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，必須做到以下幾方面：

①具備整數(shù)應(yīng)用題的解題能力，解決整數(shù)應(yīng)用題的基本知識，如概念、性質(zhì)、法則、公式等廣泛應(yīng)

用于分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題；

②在理解、掌握分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)的前提下靈活運(yùn)用；

③學(xué)會畫線段示意圖.線段示意圖能直觀地揭示“量”與“百分率”之間的對應(yīng)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)量與百

分率之間的隱蔽條件，可以幫助我們在復(fù)雜的條件與問題中理清思路，正確地進(jìn)行分析、綜合、判斷和推

理；

④學(xué)會多角度、多側(cè)面思考問題的方法.分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的條件與問題之間的關(guān)系變化多

端，單靠統(tǒng)一的思路模式有時(shí)很難找到正確解題方法.因此，在解題過程中，要善于掌握對應(yīng)、假設(shè)、轉(zhuǎn)

化等多種解題方法，不斷地開拓解題思路.

三、利用常見的數(shù)學(xué)思想方法：

如代換法、比例法、列表法、方程法等

拋開“工作總量”和“時(shí)間”，抓住題目給出的工作效率之間的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化出與所求相關(guān)的工作

效率，最后再利用先前的假設(shè)“把整個(gè)工程看成一個(gè)單位”，求得問題答案.一般情況下，工程問題求的

是時(shí)間.

-S3冊標(biāo)

JUr

（1）熟練掌握工程問題的基本數(shù)量關(guān)系與--般解法；

（2）工程問題中常出現(xiàn)單獨(dú)做，幾人合作或輪流做，分析時(shí)一定要學(xué)會分段處理；

（3）根據(jù)題目中的實(shí)際情況能夠正確進(jìn)行單位“1”的統(tǒng)一和轉(zhuǎn)換；

工程問題中的常見解題方法以及工程問題算術(shù)方法在其他類型題目中的應(yīng)用.

廄初題溺窗

一、工程問題

【例1]一些工人做一項(xiàng)工程，如果能調(diào)來16人，那么10天可以完成；如果只調(diào)來4人，就要20天才

能完成，那么調(diào)走2人后，完成這項(xiàng)工程需要天.

【鞏固】工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，原計(jì)劃15天完成，實(shí)際生產(chǎn)時(shí)改進(jìn)了生產(chǎn)工藝，每天生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量比原

計(jì)劃每天生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量的多10件，結(jié)果提前4天完成了生產(chǎn)任務(wù)，則這批產(chǎn)品有件。

【例2】有一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要36天完成，乙單獨(dú)做需要30天完成，丙單獨(dú)做需要48天完成.現(xiàn)

在由甲、乙、丙三人同時(shí)做，在工作期間，丙休息了整數(shù)天，而甲和乙一直工作至完成，最后

完成這項(xiàng)工程也用了整數(shù)天.那么丙休息了天.

【鞏固】一件工作，甲獨(dú)做要12天，乙獨(dú)做要18天，丙獨(dú)做要24天.這件工作由甲先做了若干天，然后

由乙接著做，乙做的天數(shù)是甲做的天數(shù)的3倍，再由丙接著做，丙做的天數(shù)是乙做的天數(shù)的2

倍，終于做完了這件工作.問總共用了多少天？

【例3】甲、乙合作一件工程，由于配合得好，甲的工作效率比單獨(dú)做時(shí)提高工，乙的工作效率比單獨(dú)

10

做時(shí)提高1甲、乙兩人合作6小時(shí)，完成全部工作的（2，第二天乙又單獨(dú)做了6小時(shí)，還留下

這件工作的?尚未完成，如果這件工作始終由甲一人單獨(dú)來做，需要多少小時(shí)？

30

【鞏因】一項(xiàng)工程，甲獨(dú)做需10天，乙獨(dú)做需15天.如果兩人合做，甲的工作效率就要降低，只能完成

原來的士,乙只能完成原來的2.現(xiàn)在要8天完成這項(xiàng)工程，兩人合做天數(shù)盡可能少，那么兩

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人要合做多少天？

【例4】甲、乙兩人合作清理400米環(huán)形跑道上的枳雪，兩人同時(shí)從同一地點(diǎn)背向而行各自進(jìn)行工作，

最初，甲清理的速度比乙快;，中途乙曾用10分鐘去換工具，而后工作效率比原來提高了一倍，

結(jié)果從開始算起，經(jīng)過1小時(shí)，就完成了清理積雪的工作，并且兩人清理的跑道一樣長，問乙

換了工具后又工作了多少分鐘？

【鞏固】甲、乙兩人同時(shí)加工同樣多的零件，甲每小時(shí)加工40個(gè)，當(dāng)甲完成任務(wù)的,時(shí)，乙完成了任務(wù)

2

的?!?還差40個(gè).這時(shí)乙開始提高工作效率，又用了7.5小時(shí)完成了全部加工任務(wù).這時(shí)甲還剩

2

下20個(gè)零件沒完成.求乙提高工效后每小時(shí)加工零件多少個(gè)？

［例5］甲、乙、丙三隊(duì)要完成4,8兩項(xiàng)工程，8工程的工作量是4工程工作量再增加1,如果讓甲、

4

乙、丙三隊(duì)單獨(dú)做，完成月工程所需要的時(shí)間分別是20天，24天，30天.現(xiàn)在讓甲隊(duì)做力工

程，乙隊(duì)做6工程，為了同時(shí)完成這兩項(xiàng)工程，丙隊(duì)先與乙隊(duì)合做6工程若干又，然后再與甲

隊(duì)合做/工程若干天.問丙隊(duì)與乙隊(duì)合做了多少天？

【鞏固】甲、乙、丙三人同時(shí)分別在3個(gè)條件和工作量相同的倉庫工作，搬完貨物甲用10小時(shí)，乙用12

小時(shí)，丙用15小時(shí).第二天三人又到兩個(gè)大倉庫工作，這兩個(gè)倉庫的工作量相同.甲在力倉庫，

乙在B倉庫，丙先幫甲后幫乙，用了16個(gè)小時(shí)將兩個(gè)倉庫同時(shí)搬完.丙在A倉庫搬了多長時(shí)間？

【例6】打印一份書稿，甲按規(guī)定時(shí)間可提前2天完成，乙則要超過規(guī)定時(shí)間3天才能完成.如果甲、

乙合做2天，剩下的由乙獨(dú)做，那么剛好在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成.甲、乙兩人合做需要幾天完成？

【鞏固】一項(xiàng)工程，如果甲先做5天，那么乙接著做20天可以完成；如果甲先做20天，那么乙接著做8

天可以完成.如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？

【例7］一項(xiàng)工程，甲、乙合作12之小時(shí)可以完成，若第1小時(shí)甲做，第2小時(shí)乙做，這樣交替輪流做，

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恰好整數(shù)小時(shí)做完；若第1小時(shí)乙做，第2小時(shí)甲做，這樣交替輪流做，比上次輪流做要多g小

時(shí)，那么這項(xiàng)工作由甲單獨(dú)做，要用多少小時(shí)才能完成？

【鞏固】甲、乙、丙三人做一件工作，原計(jì)劃按甲、乙、丙的順序每人一天輪流去做，恰好整數(shù)天做完，

若按乙、丙、甲的順序輪流去做，則比計(jì)劃多用半天；若按丙、甲、乙的順序輪流去做，則也比

原計(jì)劃多用半天.己知甲單獨(dú)做完這件工作要10天，且三個(gè)人的工作效率各不相同，那么這項(xiàng)

工作由甲、乙、丙三人一起做，要用多少天才能完成？

【例8】一個(gè)水箱，用甲、乙、丙三個(gè)水管往里注水.若只開甲、丙兩管，甲管注入18噸水時(shí)，水箱已

滿；若只開乙、丙兩管，乙管注入27噸水時(shí)，水箱才滿.又知，乙管每分鐘注水量是甲管每分

鐘注水量的2倍.則該水箱最多可容納多少噸水？

【鞏固】一個(gè)水箱內(nèi)甲、乙、丙二根進(jìn)水管，如果只打開甲、丙兩管，甲管注入30噸水時(shí)，水箱已滿；

如果只打開乙、丙兩管，乙管注入4()噸水時(shí)，水箱才滿.已知乙管每分鐘注水量是甲管的1.5倍，

則該水箱注滿時(shí)可容納噸水.

【例9］有甲、乙兩個(gè)相同的空立方體水箱，高均為60厘米，在側(cè)面上分別有排水孔力和6.力孔和4

孔距底面50厘米和30厘米，且兩孔排水速度相同.現(xiàn)在以相同速度一起給兩水箱注水，并通

過管道使力孔排出的水直接流入乙箱.70分鐘后兩水箱同時(shí)注滿.如果關(guān)閉兩孔，直接將空水

箱注滿需要分鐘.

【鞏固】如圖，有一個(gè)正方體水箱，在某一個(gè)側(cè)面相同高度的地方有三個(gè)大小相同的出水孔.用一個(gè)進(jìn)水

管給空水箱灌水，若三個(gè)出水孔全關(guān)閉，則需要用1個(gè)小時(shí)將水箱灌滿；若打開一個(gè)出水孔，則

需要用1小時(shí)5分鐘將水箱灌滿：若打開兩個(gè)出水孔，則需要用72分鐘將水箱灌滿.那么，若三

個(gè)出水孔全打開，則需要用多少分鐘才能將水箱灌滿？

【例10】有一個(gè)敞口的立方體水箱，在其側(cè)面一條高線的三等分處開兩個(gè)排水孔力和8,已知兩孔的排

水速度相同且保持不變，現(xiàn)在從水箱上面勻速注水，如果打開力孔，關(guān)閉8孔，那么經(jīng)過20分

鐘可將水箱注滿，如果關(guān)閉力孔，打開4孔，則需要22分鐘才能將水箱注滿，那么兩孔都打開,

經(jīng)過分鐘才能將水箱注滿.

【鞏固】一個(gè)沒有蓋的水箱，在其側(cè)面［高和2高的位置各有一個(gè)排水孔，它們排水時(shí)的速度相同且保持

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不變.現(xiàn)在以一定的速度從上面給水箱注水.如果打開力關(guān)閉8,那么35分鐘可將水箱注滿；

如果關(guān)閉力打開那么40分鐘可將水箱注滿.如果兩個(gè)孔都打開，那么需要多少分鐘才能將

水箱注滿？

夕愣菖腌蒯

【隨練1】甲、乙兩項(xiàng)工程分別由一、二隊(duì)來完成.在晴天，一隊(duì)完成甲工作要12天，二隊(duì)完成乙工

程要15天；在雨天，一隊(duì)的工作效率要下降40%,二隊(duì)的工作效率要下降10%.結(jié)果兩隊(duì)同時(shí)

完成工作，問工作時(shí)間內(nèi)下了多少天雨？

【隨練2】一份文件，如果甲抄10小時(shí)，乙抄10小時(shí)可以抄完；如果甲抄8小時(shí)，乙抄13小時(shí)也可

以抄完.現(xiàn)在甲先抄2小時(shí)，剩下的甲、乙合作，還需要幾小時(shí)才能完成？

【隨練3】甲、乙、丙三人完成一件工作，原計(jì)劃按甲、乙、丙順序每人輪流工作一天，正好整數(shù)天完

成，若按乙、丙、甲的順序每人輪流工作一天，則比原計(jì)劃多用1天；若按丙、甲、乙的順序

2

每人輪流工作一天，則比原計(jì)劃多用;天.已知甲單獨(dú)完成這件工作需10.75天.問：甲、乙、

丙一起做這件工作，完成工作要用多少天？

I

【作業(yè)1】一項(xiàng)挖土萬工程，如果甲隊(duì)單獨(dú)做，16天可以完成，乙隊(duì)單獨(dú)做要20天能完成.現(xiàn)在兩隊(duì)

同時(shí)施工，工作效率提高20%.當(dāng)工程完成,時(shí)，突然遇到了地下水，影響了施工進(jìn)度，使得

4

每天少挖了方土，結(jié)果共用了10天完成工程.問整工程要挖多少方土？

【作業(yè)2】一件工程甲單獨(dú)做5()小時(shí)完成，乙單獨(dú)做30小時(shí)完成.現(xiàn)在甲先做1小時(shí)，然后乙做2小時(shí)，

再由甲做3小時(shí)，接著乙做4小時(shí)……兩人如此交替工作，完成任務(wù)共需多少小時(shí)？

【作業(yè)3】一項(xiàng)工程，甲先做若干天后由乙繼續(xù)做，丙在工程完成,時(shí)前米幫忙，待工程完成2時(shí)離去，

結(jié)果恰按計(jì)劃完成任務(wù)，其中乙做了工程總量的一半.如果沒有丙的參與，僅由乙接替甲后一

直做下去，將比計(jì)劃推遲3』天完成；如果全由甲單獨(dú)做，則可比計(jì)劃提前6天完成.還知道乙

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的工作效率是丙的3倍，問：計(jì)劃規(guī)定的工期是多少天？

【作業(yè)4】甲、乙、丙三人做一件工作，原計(jì)劃按甲、乙、丙的順序每人一天輪流去做，恰好整數(shù)天做

完，若按乙、丙、甲的順序輪流去做，則比計(jì)劃多用半天；若按丙、甲、乙的順序輪流去做，