湖南長沙2024~2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期入學(xué)考試試題含答案

/湖南長沙2024~2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期入學(xué)考試試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共6頁．時(shí)量120分鐘．滿分150分．第Ⅰ卷一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.命題“任意，”的否定為（）A.任意， B.存在，C.任意， D.存在，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題否定的方法求解：改變量詞，否定結(jié)論.【詳解】命題“任意，”的否定為“存在，”，故選：B.2.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性解得，進(jìn)而求交集.【詳解】令，則，解得，即，所以.故選：D.3.已知，則（）A.2 B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，求得復(fù)數(shù)，然后利用復(fù)數(shù)模長公式求出復(fù)數(shù)的模長即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，故選：B.4.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)；且在上單調(diào)遞增，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間單調(diào)性相反，和偶函數(shù)的性質(zhì)可解【詳解】是定義在上的偶函數(shù).且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.且對(duì)稱軸只需要即可，解得.故選：C.5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由結(jié)合兩角差的正切公式求得.【詳解】由得，故選：A.6.若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將題目轉(zhuǎn)化為與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，再作出函數(shù)圖象即可得到范圍.【詳解】函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，令，作出與的大致圖象如圖所示，由圖可知，則，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.7.如圖，圓錐底面半徑為3，母線，，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿圓錐側(cè)面繞行一周，到達(dá)B點(diǎn)，最短路線長度為（）A. B.16 C. D.12【答案】C【解析】【分析】把圓錐側(cè)面沿母線剪開，展在同一平面內(nèi)，再利用兩點(diǎn)間距離最短求出結(jié)果.【詳解】把圓錐側(cè)面沿母線剪開，展在同一平面內(nèi)得扇形，連接，如圖，令扇形圓心角大小為，則，解得，在中，，則，所以一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿圓錐側(cè)面繞行一周，到達(dá)B點(diǎn)，最短路線長度為.故選：C8.在中，，是的外心，為的中點(diǎn)，，是直線上異于、的任意一點(diǎn)，則（）A.3 B.6 C.7 D.9【答案】B【解析】【分析】根據(jù)外心的性質(zhì)得到，設(shè)，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到，再由數(shù)量積的定義及幾何意義求出，從而得解.【詳解】因?yàn)槭堑耐庑?，為的中點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，所以，，設(shè)，則，又是的外心，所以，所以.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是根據(jù)外接圓的性質(zhì)將轉(zhuǎn)化為，再一個(gè)就是利用數(shù)量積的幾何意義求出.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知事件A，B發(fā)生的概率分別為，，則（）A.若，則事件與B相互獨(dú)立B.若A與B相互獨(dú)立，則C.若A與B互斥，則D.若B發(fā)生時(shí)A一定發(fā)生，則【答案】AB【解析】【分析】利用獨(dú)立事件的定義判斷A；利用并事件的概率公式判斷B；利用互斥事件的概率公式判斷C；分析可知判斷出D.【詳解】對(duì)于A，由，，得，顯然，因此事件與相互獨(dú)立，A正確；對(duì)于B，若與相互獨(dú)立，則，因此，B正確；對(duì)于C，若與互斥，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若發(fā)生時(shí)一定發(fā)生，則，，D錯(cuò)誤.故選：AB【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷兩個(gè)事件相互獨(dú)立的關(guān)鍵是利用相互獨(dú)立的定義，即事件相互獨(dú)立，則，反之亦然.10.，若在上的投影向量為，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】由投影向量的定義計(jì)算可判斷A，根據(jù)共線向量的線性表示判斷B，根據(jù)垂直的坐標(biāo)表示判斷C，根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示判斷D.【詳解】因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛椋?，解得，故A正確；由，可知，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故D正確.故選：AD11.已知，且，則（）A. B.C.的最大值為 D.【答案】ABC【解析】【分析】將用表示，并求出的范圍，根據(jù)雙勾函數(shù)的性質(zhì)即可判斷A；根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷B，令，則，即，從而可得，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷C；易得，再結(jié)合雙勾函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，?duì)于A，，令，由雙勾函數(shù)性質(zhì)可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，所以，即，故A正確；對(duì)于B，，由，得，所以，即，故B正確；對(duì)于C，令，則，即，即，則，由，得，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以的最大值為，即的最大值為，故C正確.對(duì)于D，，令，則，則，令，由雙勾函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，即，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：令，結(jié)合換底公式得出，是解決C選項(xiàng)的關(guān)鍵.第Ⅱ卷三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知函數(shù)，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式結(jié)合自變量范圍求解即可.【詳解】，，，故答案為：13.一組數(shù)據(jù)42，38，45，43，41，47，44，46的第75百分位數(shù)是________．【答案】45.5【解析】【分析】由百分位數(shù)的概念求解即可.【詳解】這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：38，41，42，43，44，45，46，47，由于，所以第75百分位數(shù)是：.故答案為：14.直三棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若，則此球的表面積等于__________.【答案】##【解析】【分析】由余弦定理求得，根據(jù)正弦定理求出的外接圓半徑，結(jié)合勾股定理和球的表面積公式計(jì)算即可求解.【詳解】在中，由余弦定理得，由，得，設(shè)的外接圓半徑為r，由正弦定理得，則，設(shè)三棱柱的外接球半徑為R，則，所以球O的表面積.故答案為：四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.記內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．（1）求的面積；（2）若，求b．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先表示出，再由求得，結(jié)合余弦定理及平方關(guān)系求得，再由面積公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.小問1詳解】由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；【小問2詳解】由正弦定理得：，則，則，.16.已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用和角的正弦、二倍角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)解不等式即得.（2）令，結(jié)合分離參數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】依題意，，由，得，則，解得，所以不等式的解集為.【小問2詳解】由，得，由，得，即有，令，，原不等式化為，即，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，因此，所以取值范圍.17.如圖，已知四棱錐的底面是菱形，平面平面，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，.（1）證明：平面；（2）若，且與平面所成的角為，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)的交點(diǎn)為，連接，可證得，再由線面平行的判定定理即可證明；（2）取的中點(diǎn)為，連接，由面面垂直的性質(zhì)定理可證得則平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，再由二面角的向量公式即可得出答案.【小問1詳解】設(shè)的交點(diǎn)為，連接，已知為的重心，所以，，所以在中，，所以，所以平面，平面，則平面.【小問2詳解】因?yàn)樗运詾榈冗吶切危?，又因?yàn)?，所以，所以，取的中點(diǎn)為，連接，則，平面平面，平面平面，則平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)榕c平面所成的角為，所以，設(shè)菱形的邊長為，所以，所以，因?yàn)?，所以，，設(shè)平面，，令，所以，設(shè)平面，，令，所以，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.已知函數(shù)滿足：，，且當(dāng)時(shí)，，函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)m的值；（2）若，且，求x的取值范圍；（3）已知，其中，是否存在實(shí)數(shù)λ，使得恒成立？若存在，求出實(shí)數(shù)λ的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在；.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，由計(jì)算即得.（2）構(gòu)造函數(shù)，并探討單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式.（3）由的意義，探討及的范圍，再由恒成立列出不等式求解即得.【小問1詳解】依題意，，即，解得．【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，即，令，定義域?yàn)?，顯然，又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得，所以不等式的解集為.【小問3詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，要使恒成立，首先滿足在上恒成立，由于開口向下，只需，解得，此時(shí)，則當(dāng)時(shí)，對(duì)任意時(shí)恒成立，令，則恒成立，即恒成立，由（2）可知，的解集為，則只需，解得，所以存在滿足條件.19.設(shè)整數(shù)集合,其中，且對(duì)于任意，若，則（1）請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件的集合;（2）證明:任意;（3）若,求滿足條件的集合的個(gè)數(shù).【答案】（1）（2）證明見解析（3）16個(gè)【解析】【分析】（1）根據(jù)題目條件，令，即可寫出一個(gè)集合；（2）由反證法即可證明；（3）因?yàn)槿我獾?，所以集合中至?個(gè)元素.設(shè)，先通過判斷集合中前個(gè)元素的最大值可以推出，故集合的個(gè)數(shù)與集合的子集個(gè)數(shù)相同，即可求出．【詳解】（1）答案不唯一．如；（2）假設(shè)存在一個(gè)使得，令，其中且，由題意，得，由為正整數(shù)，得，這與為集合中的最大元素矛盾，所以任意，．（3）設(shè)集合中有個(gè)元素，，由題意，得，，由（2）知，．假設(shè)