2025屆河北省張家口市高三全市第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題（二模）含解析

2025屆河北省張家口市高三全市第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題（二模）一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．在某次高三模擬考試后，數(shù)學(xué)老師隨機(jī)抽取了6名同學(xué)第一個(gè)解答題的得分情況如下：7，9，5，8，4，1，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和極差分別為（）A． B． C． D．3．已知，則（）A． B． C． D．4．已知復(fù)數(shù)z滿足，則z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為（）A． B． C． D．6．商品價(jià)格與銷量之間往往存在某種關(guān)系，以下是某商品價(jià)格x（單位：元）與銷量y（單位：萬(wàn)件）的調(diào)研數(shù)據(jù)：商品價(jià)格x/（元）1015202530銷量y/（萬(wàn)件）5446403632則下面四個(gè)回歸方程中最適宜作為銷量y與價(jià)格x的回歸方程的是（）（參考數(shù)據(jù)，，）A． B． C． D．7．已知正三棱柱的表面積為，則當(dāng)其體積取得最大值時(shí)，該三棱柱的高為（）A．3 B． C． D．8．在銳角三角形PMN中，，，垂足為Q，，則點(diǎn)P的軌跡為（

）A．長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2，離心率為的橢圓的一部分B．長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，離心率為的橢圓的一部分C．實(shí)軸長(zhǎng)為2，離心率為的雙曲線的一部分D．實(shí)軸長(zhǎng)為，離心率為的雙曲線的一部分二、多選題（本大題共3小題）9．已知向量，則（

）A．是的充要條件B．是與的夾角為銳角的必要不充分條件C．是的充要條件D．是的充要條件10．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，當(dāng)時(shí)，，且對(duì)于任意的，都有，則（）A． B．為偶函數(shù)C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，11．在直角中，，D為線段上一點(diǎn)，則（）A．若，，D是的內(nèi)切圓在上的切點(diǎn)，則B．若，則存在直角，使得是，的等比中項(xiàng)C．若，則存在直角，使得是，的等比中項(xiàng)D．若，則存在直角，使得是，的等比中項(xiàng)三、填空題（本大題共3小題）12．已知點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，為的焦點(diǎn)，則.13．已知數(shù)列不是遞增數(shù)列，且，則k的取值范圍為.14．已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則正數(shù)a的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù)，圓.(1)若兩條相鄰的對(duì)稱軸與C相切，求；(2)若，是的極值點(diǎn)，且點(diǎn)有且僅有兩個(gè)在C的內(nèi)部，求的取值范圍.16．已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)探究是否為的極大值點(diǎn).17．乒乓球比賽規(guī)則規(guī)定：在雙方打成10平后，領(lǐng)先兩分者獲勝.在某校組織的乒乓球比賽中，甲、乙兩名同學(xué)已經(jīng)打成了10平.已知下一球乙同學(xué)得分的概率為，且對(duì)以后的每一球，若乙同學(xué)在本球中得分，則他在下一球的得分概率為，若乙同學(xué)在本球中未得分，則他在下一球的得分概率為.(1)求在繼續(xù)打了兩個(gè)球后比賽結(jié)束的條件下，乙同學(xué)獲勝的概率；(2)求乙同學(xué)最終獲勝的概率.18．如圖，四棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)均在球O的表面上，且，，平面.

(1)證明：平面平面；(2)求四棱錐體積的最大值；(3)當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值的最小值.19．現(xiàn)定義：對(duì)于實(shí)數(shù)，若，則稱b是a和c的加比中項(xiàng)；若，則稱b是a和c的減比中項(xiàng).已知數(shù)列滿足，，且存在正數(shù)m，使是和的加比中項(xiàng)與減比中項(xiàng).(1)若是與的等比中項(xiàng)，求m；(2)數(shù)列滿足，，且是和的減比中項(xiàng).記數(shù)列的前n項(xiàng)和為.（ⅰ）證明：是和的減比中項(xiàng)；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明.

答案1．【正確答案】D【詳解】因?yàn)?，?故選D.2．【正確答案】A【詳解】根據(jù)題意，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，極差為.故選A.3．【正確答案】D【詳解】由題意可得，則.故選D.4．【正確答案】A【詳解】設(shè)，其中，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義可知．將，代入可得：根據(jù)平方差公式，可得，則上式可化為：因?yàn)榈仁絻蛇叺膹?fù)數(shù)相等，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件，可得方程組．由，解得．將代入，可得，解得，由，，可得，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以該點(diǎn)位于第一象限．故選A．5．【正確答案】C【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為，令，得，所以展開式中項(xiàng)的系數(shù)為.故選C.6．【正確答案】C【詳解】對(duì)于A，分別代入，可得，與實(shí)際值相差較大，不合題意，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，分別代入，可得，第五組數(shù)據(jù)與實(shí)際值相差較大，不合題意，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，分別代入，求得的估計(jì)值與實(shí)際值完全相同，應(yīng)采用，故C正確；對(duì)于D，分別代入，可得，，得，數(shù)據(jù)與實(shí)際值相差較大，不合題意，故D錯(cuò)誤.故選C.7．【正確答案】B【詳解】設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為，則其表面積，得，又，所以，故正三棱柱的體積，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，該正三棱柱體積取得最大值，此時(shí)三棱柱的高為.故選B.8．【正確答案】D【詳解】以MN所在直線為x軸，MN的垂直平分線為y軸，MN的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，不妨令，，設(shè)，則，因?yàn)槭卿J角三角形，所以，則|，，，由，得，整理得，其為雙曲線的一部分，且雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，離心率為，故點(diǎn)P的軌跡為實(shí)軸長(zhǎng)為，離心率為的雙曲線的一部分．故選D.9．【正確答案】AC【詳解】對(duì)于A，由，故A正確；對(duì)于B，由為銳角且不共線且，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由或，故C正確；對(duì)于D，時(shí)，可得：，，此時(shí)，仍滿足，故D錯(cuò)誤，故選AC.10．【正確答案】ACD【詳解】對(duì)于A，令，得，解得，故A正確；對(duì)于B，令，則，所以是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，是奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，所以，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，令，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因此，即在上單調(diào)遞增，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故，故D正確.故選ACD.11．【正確答案】AB【詳解】對(duì)于A，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，解得，由幾何關(guān)系可得，，，則，故A正確；對(duì)于B，取，，則，所以，則，即存在直角，使得是的等比中項(xiàng)，故B正確；對(duì)于C，若，由面積，有，若是的等比中項(xiàng)，則，故有，顯然不成立，故不存在，使得是的等比中項(xiàng)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，由正弦定理可得，，即，，可得，若成立，則，，即，即，顯然不成立，故不存在，使得是的等比中項(xiàng)，故D錯(cuò)誤.故選AB.12．【正確答案】【詳解】將代入拋物線中，得到，解得，則拋物線方程為，，故.13．【正確答案】【詳解】因?yàn)椴皇沁f增數(shù)列，所以或，解得.所以的取值范圍為.14．【正確答案】【詳解】由，可得，即，等價(jià)于，變形得，令函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以若方程有兩個(gè)實(shí)根，由，只需滿足或，所以正數(shù)的取值范圍為.15．【正確答案】(1)，(2)【詳解】（1）由題，相鄰對(duì)稱軸間的距離為，又圓的直徑為3，則，得，又圓心，所以其中一條對(duì)稱軸為，，得，，又，.（2）若，則的極值點(diǎn)滿足，，得，，又圓與軸交點(diǎn)分別為，所以原題設(shè)等價(jià)于有且僅有2個(gè)的值滿足，整理得，故能且僅能取兩個(gè)值，所以，解得.16．【正確答案】(1)(2)不是極大值點(diǎn)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，則，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）易得，假設(shè)是的極大值點(diǎn)，則，即，化簡(jiǎn)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，只有當(dāng)時(shí)，上式成立，故，當(dāng)時(shí)，，則，但由假設(shè)知是的極大值點(diǎn)，于是由極大值的定義知存在，使得時(shí)，，與假設(shè)矛盾.所以不是的極大值點(diǎn).17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）在打了兩個(gè)球后結(jié)束，則甲連勝兩球或乙連勝兩球，設(shè)事件為“再打兩球后結(jié)束”，事件為“乙贏得比賽”，則，，故.（2）設(shè)事件為“乙贏了本局”，事件為“乙贏了上一局”，設(shè)事件為“當(dāng)前乙同學(xué)分?jǐn)?shù)與甲同學(xué)分?jǐn)?shù)之差為時(shí)，最終乙同學(xué)獲勝”，當(dāng)時(shí)，乙肯定贏了上一局，此時(shí)，若贏球則乙直接贏得比賽，若輸球則乙獲勝的概率為，所以，同理，當(dāng)時(shí)，乙肯定輸了上一局，此時(shí)，若輸球則輸?shù)舯荣?，若贏球則獲勝的概率為，所以，當(dāng)時(shí)，若乙贏了上一局，此時(shí)，若贏球則獲勝的概率為，若輸球則獲勝的概率為，所以，若乙輸了上一局，，同理可得，又初始，故乙同學(xué)最終獲勝的概率等價(jià)于，所以，解得.所以乙同學(xué)最終獲勝的概率為.18．【正確答案】(1)證明見詳解(2)(3)【詳解】（1）由題，四邊形在球的一個(gè)圓面的圓周上，故，又，故，故，由平面，平面，得，又，平面，平面，故平面，又平面，故平面平面.（2）作，由平面平面，平面平面，平面，可得平面，記四棱錐的體積為，則，而，由平面，則，故，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，由，得，，由，得，故，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，于是，故.故四棱錐體積的最大值為.

（3）取的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，為軸，過點(diǎn)且平行于的直線為軸，過點(diǎn)且平行于的直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，故，解得，故,記與軸交于點(diǎn)，易知，而，故可設(shè)點(diǎn)，其中，于是，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，由輔助角公式得，所以，當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，故直線與平面所