2025屆江西省鷹潭市高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題 含解析

鷹潭市2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷命題人：黃鶴飛鷹潭市第一中學(xué)審題人：李麟貴溪市第一中學(xué)本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共4頁.時間120分鐘.滿分150分.第I卷選擇題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案的序號填涂在答題卡上.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由對數(shù)函數(shù)的定義域，建立不等式，求得集合，利用交集，可得答案.【詳解】由，則.故選：C.2.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，那么的虛部是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法法則計算出，得到虛部.【詳解】，故的虛部是.故選：A3.已知向量，，若且，則實數(shù)（）A. B.3 C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量線性運算與數(shù)量積的坐標表示，根據(jù)向量垂直，建立方程，解根并驗根，可得答案.【詳解】由題意可得，，由，則，可得，解得，當時，，；當時，，.故選：B.4.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由條件求得，進而得到，再由余弦二倍角公式即可求解.【詳解】由，可得：，又，所以，所以，所以，故選：A5.已知直線：和：相交于點，則點的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可得兩直線位置關(guān)系以及其所過定點，根據(jù)圓的方程，可得答案.【詳解】由，則，由，則直線過定點，由，則直線過定點，易知動點的軌跡為為直徑的圓，圓心，半徑，由題意易知直線的斜率存在，則交點不能是，則動點的軌跡方程為.故選：C.6.已知，隨機變量，若，則的值為（）A.81 B.242 C.243 D.80【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布求出、的值，并求出、的表達式，根據(jù)題中條件求出的值，利用賦值法可得出結(jié)果.【詳解】因為隨機變量，則，，因為，則，，所以，，解得，令，所以，，故.故選：B.7.過橢圓上的點作圓的兩條切線，切點分別為，.若直線在軸，軸上的截距分別為，，若，則橢圓離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)出相關(guān)點的坐標，借助向量垂直關(guān)系的坐標表示求出直線方程，進而求出，再代入，得到，即可求出離心率.【詳解】設(shè)，則，即，又，令坐標原點為，，因為切圓于，所以，則，所以，同理可得，因此直線的方程為，則，因此，即，所以橢圓離心率.故選：C.8.數(shù)列滿足，，給出下列四個結(jié)論：①存正整數(shù)，且，使得；②存在，使得，，成等比數(shù)列；③存在常數(shù)，使得對任意，都有，，成等差數(shù)列；④其中所有證確結(jié)論的是（）A.②③ B.③④ C.①②④ D.①③④【答案】D【解析】【分析】對于①，求得，判斷；對于②，利用反證法，推出矛盾，判斷；對于③，利用遞推公式得到，求出存在常數(shù)，使得對任意，都有，，成等差數(shù)列，判斷；對于④，因為，則，算出，判斷.【詳解】對于①，由題意知數(shù)列中的項：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，…，可得，故①正確；對于②，若存在，使得，，成等比數(shù)列，則，又，即，解得，由，，得，且為整數(shù)，所以，這與相鄰兩項為整數(shù)矛盾，故②錯誤；對于③，因為，，，所以，所以，則，，成等差數(shù)列，故存在常數(shù)，使得對任意，都有，，成等差數(shù)列，故③正確；對于④，因為，則，則，故④正確；故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知變量和變量的一組成對樣本數(shù)據(jù)的散點落在一條直線附近，，，相關(guān)系數(shù)為，線性回歸方程為，則（）參考公式：，A.當時，成對樣本數(shù)據(jù)成線性正相關(guān)；B.當越大時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強；C.，時，成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)滿足；D.，時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性回歸方程滿足；【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的正負、絕對值大小與變量相關(guān)性之間關(guān)系可知AB正誤；根據(jù)，，代入相關(guān)系數(shù)和最小二乘法公式中，可知CD正誤.【詳解】對于A，當時，成對樣本數(shù)據(jù)成線性正相關(guān)，A正確；對于B，當越大時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強；當，時，對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度更強，B錯誤；對于C，當，時，不變且，，C正確；對于D，當，時，不變且，，D正確.故選：ACD.10.正方體的棱長為2，，分別為棱，的中點，為正方形邊上的動點（不與重合）.為平面內(nèi)一動點，則下列說法中正確的是（）A.存在點，使得直線與平面垂直B.平面把正方體分割成的兩個幾何體的體積相等C.的取值范圍為；D.若動點滿足，當三棱錐的體積取最大值時，該三棱錐外接球的表面積為.【答案】BD【解析】【分析】由題意建立空間直角坐標系，利用空間向量的運算，根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)，結(jié)合三棱錐的體積公式，可得答案.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，對于A，，，，即與不垂直，而平面，因此直線與平面不垂直，A錯誤；對于B，線段的中點為正方體的中心，平面過該正方體的中心，由對稱性，平面把正方體分割成兩個幾何體的體積相等，B正確；對于C，設(shè)點為體對角線的中點，，最小為1，，C錯誤；對于D，如圖，以點原點建立空間直角坐標系，設(shè)，由可知，，整理為，所以點的軌跡是平面內(nèi)，以為圓心，為半徑的圓，如圖，點到平面的最大值為4，此時點在的延長線上，且，所以三棱錐的外接球的半徑，所以三棱錐外接球的表面積，D正確.故選：BD.11.數(shù)學(xué)中有許多寓意美好的曲線，曲線：被稱為“四葉玫瑰線”（如圖所示），是上在第一象限內(nèi)的一點.給出的下列三個結(jié)論中，正確結(jié)論的選項是（）A.曲線上任意一點到原點的距離都不超過2；B.曲線經(jīng)過5個整點（即橫縱坐標均為整數(shù)的點）；C.存在一個以原點為中心、邊長為正方形，使曲線在此正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）.D.的最大值為【答案】AD【解析】【分析】選項A，利用基本不等式可得，進而可得；選項B，由，，，分別代入驗證整點即可；選項C，由可知該曲線且以原點為圓心的最小圓的半徑為2，進而可判斷；選項D，設(shè)，，，聯(lián)立可得，設(shè)，則，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值即可.【詳解】對于A，不妨設(shè)點為曲線：上的任一點，則，化簡得，當且僅當時取等號，于是，即得，故可得曲線上任意一點到原點的距離都不超過2，故A正確；對于B，由A可知，，當時，代入成立，故經(jīng)過點，當時，不成立，當時，不成立，當時，不成立，當時，不成立，當時，不成立，故曲線經(jīng)過1個整點，故B錯誤；對于C，由A選項可知，包含該曲線且以原點為圓心的最小圓的半徑為2，邊長為正方形是以原點為圓心2為半徑的圓的內(nèi)接正方形，故不存在一個以原點為中心、邊長為的正方形，使曲線在此正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界），故C錯誤.對于D，如圖，點在射線的上方，則可設(shè)，，，代入，得，.令，則，所以，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以是的最大值點，即，故D正確.故選：AD【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題所考察的方程為非常規(guī)方程，主要結(jié)合方程的性質(zhì)去解決問題，方程具有對稱性，選項BCD都是以此性質(zhì)出發(fā)，簡化問題轉(zhuǎn)化.第II卷非選擇題三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，則___________.【答案】9【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式直接求解即可.【詳解】解：根據(jù)題意，故答案為：913.若正實數(shù)，滿足條件：（是自然對數(shù)的底數(shù)），則的最大值是______.【答案】【解析】【分析】確定與圖象相切，從而得到，再由基本不等式即可求解.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，求在處的切線方程，，此時切線斜率為，切線方程為：，即，畫出圖象，所以由可得：，所以，即，當且僅當時取等號，所以的最大值是，故答案為：14.如圖：在中，，，三點分別在邊，，上，則，，的外接圓交于一點，稱點為密克點.運用上述結(jié)論解決如下問題：在梯形中，，，，為邊的中點，動點在邊上，與的外接圓交于點（異于點），則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件確定正三角形，利用外接圓公共點確定點Q的位置，再結(jié)合外心和外接圓半徑等條件，通過余弦定理求出線段BD的長度，最后根據(jù)點與圓的位置關(guān)系求出BQ的最小值.【詳解】延長，交于點，則由題可知為正三角形，為正三角形，由題設(shè)結(jié)論，，的外接圓有唯一公共點，該公共點即為題中的點，故點在的外接圓上，如上圖，又由題可知，即為的外心，且外接圓半徑為2，，在中，由余弦定理，所以的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)），為的導(dǎo)函數(shù).（1）當時，求不等式的解集；（2）若函數(shù)，求函數(shù)在上的極值.【答案】（1）（2）的極大值為，的極小值為.【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則先求，令解出在的解集即可；（2）先求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)即可求得極值.【小問1詳解】易知，令，解得，，又，所以的解集為【小問2詳解】由題可知，當時，，當時，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極大值為函數(shù)的極小值為.16.如圖，在三棱柱中，，，（1）求證：；（2）側(cè)棱上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在，在靠近的三等分點處.【解析】【分析】（1）根據(jù)這條件證明平面，即可證得結(jié)果；（2），以為原點，直線，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用線面角的向量法求解.【小問1詳解】證明：在三棱柱中，取的中點，連接，，在與中，，由，同理，，由平面；【小問2詳解】在中，，，則，在中，，，，同理，在等腰，，，在中，由余弦定理得：，即，在平面內(nèi)過作，則平面，于是直線，，兩兩垂直，以為原點，直線，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，在平面內(nèi)過作于，則平面，則，，，，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取平面的一個法向量，設(shè)，，則，由與平面所成角的正弦值為，得，整理得，解得或（舍），即在靠近的三等分點處.17.預(yù)防接種是預(yù)防掌握傳染病最經(jīng)濟、最有效的手段，是預(yù)防疾病傳播和保護群眾的重要措施.為了考查一種新疫苗預(yù)防某一疾病的效果，研究人員對一地區(qū)某種動物（數(shù)量較大）進行試驗，從該試驗群中隨機抽查了50只，得到如下的樣本數(shù)據(jù)（單位；只）：發(fā)病沒發(fā)病合計接種疫苗71825沒接種疫苗19625合計262450（1）能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為接種該疫苗與預(yù)防該疾病有關(guān)？（2）從該地區(qū)此動物群中任取一只，記表示此動物發(fā)病，表示此動物沒發(fā)病，表示此動物接種疫苗，定義事件的優(yōu)勢，在事件發(fā)生的條件下的優(yōu)勢，利用抽樣的樣本數(shù)據(jù)，求的估計值.（3）若把表中的頻率視作概率，現(xiàn)從該地區(qū)沒發(fā)病的動物中抽取3只動物，記抽取的3只動物中接種疫苗的只數(shù)為，求隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望.附：，其中.0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）接種該疫苗與預(yù)防該疾病有關(guān).（2）（3）分布列見解析，.【解析】【分析】（1）求得卡方值，比較臨界值即可判斷；（2）由條件概率計算公式即可求解；（3）由題意確定，進而可求解；【小問1詳解】根據(jù)列聯(lián)表可得，所以，在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為接種該疫苗與預(yù)防該疾病有關(guān).【小問2詳解】由于.所以，，,由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得，，所以.【小問3詳解】由題可知，抽取的24只沒發(fā)病的動物中接種疫苗和沒接種疫苗的動物分別為18人和6人，所以從沒發(fā)病的動物中隨機抽取1只，抽取的是接種了疫苗的概率為，則由題意可知，且，，，，，所以隨機變量的分布列為0123所以隨機變量的數(shù)學(xué)期望為.18.已知拋物線的頂點為坐標原點，焦點在軸的正半軸上，過焦點作直線交拋物線于，兩點，且.（1）求拋物線的標準方程；（2）如圖，過拋物線上的三個不同點，，（在，之間），作拋物線的三條切線，分別兩兩相交于點，，.是否存在常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；（3）當點的橫坐標為4時，以為直角頂點，作拋物線的兩個內(nèi)接及（拋物線的內(nèi)接三角形是指三角形的三個頂點都在拋物線上），求線段，的交點坐標.【答案】（1）（2）存在，（3）.【解析】【分析】（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程，由韋達定理結(jié)合向量數(shù)量積的坐標表示即可求解；（2）設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，進而得到交點坐標，再通過向量運算可得答案；（3）法一：根據(jù)已知條件求出點坐標，設(shè)，利用直角三角形條件得到方程，解方程組求出交點坐標.法二：設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程，由，得到，進而可求解；【小問1詳解】設(shè)拋物線的標準方程為，直線的方程為，聯(lián)立，消去，得，設(shè)，，則，，所以，解得或（舍去），所以拋物線的標準方程為【小問2詳解】存在常數(shù)1，使得，理由如下，設(shè)，，，，則在點處的坐切線方程為，即，在點處的坐切線方程為，即，由，解得，所以，同理可得，，，，，，所以，，可得，所以存在，使得【小問3詳解】（解法一）因為、是拋物線兩個內(nèi)接三角形，所以直線，，，的斜率存在且不為0，當點的橫坐標為4時，代入得，所以.設(shè)，，，，由為直角頂點，設(shè)，則，直線的方程為，與聯(lián)立得，則，，，可得，同理可得，所以直線的方程為，整理得，即，設(shè)，則，同理可得，，所以直線的方程