新亮劍數(shù)學第9章計數(shù)原理,概率與統(tǒng)計

第九章計數(shù)原理,概率與統(tǒng)計

第1節(jié)計數(shù)原理

磨劍?源前自學

二............r…“o

對應學生書《自學聽講

高考GAOKAODONGTAI

課標要求者向分析

L通過實例，了解分類加法計數(shù)

原建、分步乘法計數(shù)原理及期

義.

L分類加法計數(shù)原理,分步乘法計數(shù)原理,兩個原理的綜合應用以及排列組合的綜合應用是高考的重要

2.通過實例，理解排列、組合的

考點;二項式定醐正用和逆用、二項式系數(shù)的性質(zhì)與各項的和，尤其是二項展開式的通項公式是高考考

概念，能利用計數(shù)原理推導排列

查的熱點.

數(shù)公式、組合數(shù)公式.

2.里點考查學生的數(shù)學建模、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)

3.能用多項式運算法則和計數(shù)原

顆明式旗會用二項式

定理解決與二項展開式有關(guān)的簡

單問題

知識ZHISHIQINGDAN

一、兩個計數(shù)原理

兩個計

目

策略過程方法總數(shù)

標

數(shù)原理

分類加有兩類

在第1類方案中有陽

種不同的方法，在第2七.+

法計數(shù)不同的忙種不同的方法

完類方案中有〃種不同

成方案的方法

分步乘件

需要兩做第I步有那種不同

事

法計數(shù)的方法,做第2步有〃1=.種不同的方法

個步驟種不同的方法

原理

二、排列、組合的定義

排列的定義從〃個不同元素按照一定的順序排成一列

中取出Mswm

組合的定義個元素合成一組

三、排列數(shù)和組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)

H例數(shù)組合數(shù)

從n個不同元素中取出

定義加腔。）個元素的所有從〃個不同元素中取出而感:亦個元素的所素不同到一的個數(shù)

口的個數(shù)

像衰）

H冽數(shù)組合數(shù)

jm

Cm^lL二

nA

用=刈?1)(刀?m

公式2)……(。力，1)磊n(n-l)(n-2)...(n-m+l)

-in!―

頤年，_，0!」——信嗎嗎借甯i=Ca

四、二項式定理

1.定理

（a煙—七a（〃￡N）.

2.通項

第k+1項為—￡.

3.二項式系數(shù)

二項展開式中各項的二項式系數(shù)為_瑞_?刈1,2廣》）.

拓展

TUOZHANZHI$HI

】，兩個計數(shù)原理的區(qū)別

分類加法計數(shù)原理與分類有關(guān)，各種方法相互獨立，用其中的任一種方法都可以完成這件事;分步乘法計數(shù)原理與分步有關(guān)，各

個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成.

2.正確辨析“排列”與“組合”

排列與組合最根本的區(qū)別在于“有序”和“無序”.取出元素后交換順序，若與順序有關(guān)，則是排列;若與順序無關(guān)，則是組合.

3.記牢兩個常用公式

⑴喘嗎&8周=2".

⑵記心?川?咻沁?母。

4.掌握二項展開式("外的三個重要特征

⑴字母〃的指數(shù)按降層排列由〃到0.

⑵字母b的指數(shù)按升零排列由0到n.

⑶每一項字母，，的指數(shù)與字母〃的指數(shù)的和等于n.

5.關(guān)注三個易錯點

⑴二項式定理中，通項公式僚《卜f是展開式的第加或不是第4項

(2)二項式系數(shù)與展開式中項的系數(shù)是兩個穴同的概念，在MV，HW中，味是該項的二項式系靚該項的系數(shù)還與之〃有關(guān).

(3)二項式系數(shù)的最值與指數(shù)〃的奇偶性有關(guān),當n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大;當"為奇數(shù)時，中間兩項的二項式

系數(shù)相等,且同時取得最大值.

【概念辨析】

判斷下列結(jié)論的正誤,(正確的打“,錯誤的打“X”)

(1)在分類加法計數(shù)原理中,每類方案中的方法都能直接完成這件事.()

⑶在分步乘法計數(shù)原理中,事件是分兩步完成的，其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事.()

⑶一個組合中取出的元素講究元素的先后順序，()

⑴兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同.()

答案⑴丁⑵X(3)X(4)V

【基礎自測】

二項式(.「2)展開式中x的系數(shù)為().

A.5B.16C.80D.40

2C解1由二項式定理知其展開式中含%的項為「4:乂如',故其系數(shù)為C?(-2)W0.

用數(shù)字123,4,5組成無重復數(shù)字的四位數(shù)其中偶數(shù)的個數(shù)為（）,

A.8B,24C,48D.120

C末位數(shù)字排法有&種，其他位置排法有A；種,共有8A；刁8種排法所以偶數(shù)的個數(shù)為48.故選C.

書架的第I層放有1本不同的語文書，第2層放有5本不同的數(shù)學書，第3層放有6本不同的體育書.從書架上任取1本書，不

同的取法種數(shù)為，從第1,2,3層分別各取1本書，不同的取法種數(shù)為.

15120解析由分類加法計數(shù)原理知，從書架上任取1本書，共1與%=15種取法.由分步乘法計數(shù)原理知，從第

.23層分別各取1本書，共1X5X6=120種取法.

【易錯檢測】

景區(qū)中有一座山，山的南面有2條道路，山的北面有3條道路，均可用于游客上山或下山，假設沒有其他道路，某游客計劃從山的

一面走到山頂后，接著從另一面下山，則不同走法的種數(shù)是（）.

A.6B.10C.12D.20

ECM先確定從哪一面上，有兩種蟒，再選擇上山與下山道路,得不同走法的種數(shù)是2X2X3-12.故選C.

從6臺原裝計算機和5臺組裝計算機中任意選取5臺，其中至少有原裝計算機和組裝計算機各2臺，則不同的取法有

350分兩類:第一類，取2臺原裝計算機與3臺組裝計算機，有備心種方法;第二類，取3臺原裝計算機與2臺組

裝計算機有出原種方法.所以滿足條件的不同取法有程盤內(nèi)之戲考50種.

課時1計數(shù)原理與排列、組合

悟劍?儡堂精講

對應學生書《自學聽講》P197

KAODIANTANJIU

為不兩個原理

考向1：分類加法計數(shù)原理

【例屯⑴已知△力比‘三邊的長都是整數(shù)且，S3S6如果6K5,那么符合條件的三角形共有

⑵在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)為

⑴325⑵36彳析⑴根據(jù)三邊構(gòu)成三角形的條件可知

第一類，當a=l/=25時,c可取25,共1個；

第二類，當一力反5時,「可取25,26洪2個；

■■?

當a哪為哪時,?？扇?5,26,…,49洪25個.

所以三角形的個數(shù)為I+2-夕25之25.

⑵根據(jù)題意，將十位上的數(shù)字按1,2,3,4,5,6,7,8的情況分成8類,在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別是

8個7個6個5個4個3個2個J個.

由分類加法計數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有8+7拓玲M埒+2H=36（個）.

考向2:分步乘法計數(shù)原理

;例?⑴（2020屆江西新余二模）7人站成兩排隊列，前排3人后排1人，現(xiàn)將甲、乙、丙三人加入隊列，前排加一人，后排加

兩人其他人保持相對位置不變則不同的加入方法種數(shù)為（）.

A.120B.240C.360D.480

（2）從10,1,2這四個數(shù)中選三個不同的數(shù)作為函數(shù)/（?=afMx*的系數(shù)，則可組成個不同的二次函數(shù)其中偶函數(shù)

<個,（用數(shù)字作答）

（1）C（2）186解析⑴第從甲、乙,丙三人選一個加到醐匕有3種;第二步前排3人形成了1個空，任選一

個空加一人有1種;第三步，后排1人形成了5個空任選一個空力L人有5種，此時形成6個空任選一個空加一人，有6種.根據(jù)

分步乘法計數(shù)原理有3X4X5X6刃60種方法.

⑵T二次函數(shù)對應若乩#0）力《的一組取值，〃的取法有2種，〃的取法有3種的取法有2種，由分步乘法計數(shù)原理知共

^3X3X2-18個二次函數(shù).若二次函數(shù)為偶函數(shù)則0R,同上可知共有3X2」個偶函數(shù).

方法總結(jié)

1.分類加法計數(shù)原理:（I）根據(jù)問題的特點確定一卜適合它的分類標準.然后在這個標準卜進行分類.（2）完成這件事的任何一種方法必須用

于某一類,并且分別屬于不同類的兩種方法是不同的方法,只有滿足這些條件，才可以用分類加法計數(shù)原理.

2,分步乘法計數(shù)原理;（1）要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的,（2）分步要做到“步舞完整”，只有完成了所有步驟,才充

成任務,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,把完成每一步的方法數(shù)和乘,得到總方法數(shù).

【針對訓練D

L桶圓5號=1（蘇0/刈的焦點在.1軸上且砥（123,4,5},旌{1,2,3/,5,6,7},則這樣的橢圓的個數(shù)加）.

A.10B,12C,20D.35

A因為焦點在*軸上，所以即可以加的值為標準分類由分類加法計數(shù)原理，可分為四類.第一類，當?shù)V5時，使

出/有1種選擇;第二類當所1時，使蘇的有3種選擇;第三類，當/時使卬加〃有2種選擇;第四類當"時使就初有1種

選擇.故符合條件的橢圓共有10個.故選A.

已知集合修-3「2,T,0J2}小鳥則&田￡河表示平面上的點廁，表示坐標平面上第二象限的點的個數(shù)為（）.

A.6B.12C.24D.36

A確定第二象限的點，可分兩步完成：

第一步確定用由于日e所以有3種方法；

第二步確定”由于"）,所以有2種方法.

由分步乘法計數(shù)原理彳導到第二象限的點的個數(shù)是3X2W.

%松兩個原理的綜合應用

考向1：幾何圖形的涂色問題

〔例舊⑴（2020屆濟南質(zhì)檢）

2:4:5

如圖，用4種不同的顏色對圖中5個區(qū)域涂色（4種顏色全部使用），要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂

相同的顏色，則不同的涂色方法種數(shù)為.

⑵如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色,并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可

供使用，那么共有種不同的染色方法.

⑴96（2）420⑴按區(qū)域1與3是否同色分類.

&區(qū)域1與3同色先涂區(qū)域1與3有4種方法，再涂區(qū)域2,4,5（還有3種顏色）有M種方法.

所以區(qū)域1與3同色時，共有4XA科4種方法.

②區(qū)域1與3不同色:第一步涂區(qū)域.與3有照種方法,第二步涂區(qū)域2有2種方法，第三步涂區(qū)域4只有

1種方法，第四步涂區(qū)域5有3種方法.

所以區(qū)域I與3不同色時，共有A：X2X1X3守2種方法.

故由分類加法計數(shù)原理可知，不同的涂色方法種數(shù)為24+72R6.

⑵由題設泗棱錐S⑦的頂點眼酒所染的顏色互不相同它們共有5X4X3W0種染色方法.設5種顏

色分別為1234,5.當SM染好時，不妨設其顏邑分別為1,23若C染2,則〃可染3或4或5有3種染法;若C

染4,則〃可染3或5,有2種染法若逸5廁〃可染3或4,有2種染法.由此可見，當S9已染好時Q還有7

種染法，故不同的染色方法有60X7M20種.

考向2:幾何圖形中的元素量的問題

〔例日⑴如果一條直線與一個平面垂直那么稱此直線與該平面構(gòu)成一個“正交線面對”?在一個正方體中，由兩個頂點確

定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是（）.

A.48B.18C.24D.36

⑵在連接正/電形的三個頂點而形成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有（用數(shù)字作答）個.

⑴D（2）40⑴分類討論:第】類，對于每一條棱都可以與兩個側(cè)面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“XE交線面對”

^2X12-24個;第2類,對于每一條面對角線，都可以與一個對角面構(gòu)成“正交線面對“，這樣的‘正交線面對”有12個;第3類，

對于每一條體對角線，沒有符合題意的平面與之構(gòu)成“正交線面對”.所以正方體中“正交線面對”共有24?12方6個.

⑵把與正/kW形有公共邊的三角形分為兩箕

第一類有T公共邊的三角形共有8X4=32個.

第二類，有兩條公共邊的三角形共有8個.

由分類加法計數(shù)原理知，共有32用工0個.

考向？：排數(shù)與排隊問題（計數(shù)問題）

1例$（1）（2020屆湖北荊州模擬）若f三位正整數(shù)滿足分⑵且a1則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)（如120,343,275）,

那么所有凸數(shù)的個數(shù)為（）.

A.240B.204C.729D.920

（2）名ac,de共54人,從中選1名組長I名副組長，但“不能當副組長，不同選法的種數(shù)是（）.

A.20B.16C.10D.6

（1）A（2）B解析⑴當壯為2時，有1X2母個當認為3時，有2X34個;當a,為4時，有3刈=12個;當,%為5時，有

4X5=20個;當2為6時，有5X6=30個;當a為7時，有6XI口2個;當&為8時，有7X8=56個;當員為9時，有8X9=72個.故共有

2用力2+20+30M2修6行2=240個凸數(shù).

⑵當a當組長時，共有1M刁種選法;當a不當組長時，因為〃不能當副組長，所以共有1X3,2種選法.因此共有4丹2=16種

選法.

方法牯結(jié)

利用兩個計數(shù)廨理解決應用問翻的?殷思路

（D弄清完成一件事是做什么.（2）確定是先分類后分步，還是先分步后分類.（3）弄清分步、分類的標準是什么.（4）利用兩個計數(shù)原理求解.

【針對訓練2】

L

現(xiàn)有四種不同顏色對如圖所示的四個部分進行涂色,要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的涂色方法共有（）.

A24種B.30種

C.36種D.48種

：D（法一）分兩種情況:第一種匐兄是用三種顏色，有C汕。=24種涂色方法；

第二種情況是用四種顏色，有￡21種涂色方法.故不同的涂色方法共有24^24-18種.故選D.

（法二）用分步乘法計數(shù)原理得不同的涂色方法共有I乂3乂2乂2=18種.故選D.

已知兩條異面直線琲。上分別有5個點和8個點，則這13個點可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為（）.

A.40B.16C.13DJO

?C解七分兩類情況討論:第1類直線a分別與直線〃上的8個點可以確定8個不同的平面;第2類，直線〃分別與

直線〃上的5個點可以確定5個不同的平面.根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，共可以確定8巧=13個不同的平面.

用數(shù)字0,123,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)其中比10000大的偶數(shù)共有（）.

A.144個B.120個C.96個D.72個

B由題意可知，符合條件的五位數(shù)的萬位數(shù)字是1或5.當萬位數(shù)字為4時，個位數(shù)字從0,2中任選一,共有

2MX3X2=18個偶就當萬位數(shù)字為5時，個位數(shù)字從0,2,1中任選T?，共有3MX3X2=72個偶數(shù).故符合條件的偶數(shù)共有

4842=120個.

瑞Q排列及其應用

1例由⑴（2020屆山東煙臺模擬）某國際會議結(jié)束后，中、美、俄等21國領導人合影留念，他們站成兩排，

前排11人，后排10人，中國領導人站在前排正中間位置，美、俄兩國領導人也站前排并與中國領導人相鄰，如果

對其他國家領導人所站位置不作要求，那么不同的站法共有（）種.

A.A珞B,A瑞C,A弘%A珞D,A必珞

（2）（2020屆遼寧錦州模擬）甲、乙兩人要在一排8個空座上就坐，若要求甲、乙兩人每人的兩旁都有空座，

則不同的坐法有（）.

A.10種B.16種C.20種D.24種

(1)D(2)C寸機⑴中國領導人站在前排正中間位置，美、俄兩國領導人站前排并與中國領導人

用鄰,有愿種站法;其他18國領導人可以任意站，因此有A]g種站法.根據(jù)分步計數(shù)原理共有用A器種站法.故選D.

⑵一排共有8個座位，現(xiàn)有兩人就坐，故有6個空座.

因為要求每人左右均有空座，所以在6個空座的中間5個空中插入2個座位讓兩人就坐即有明20種坐法.

方法總結(jié)

求解排列應用問題的6種主要方法

直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計算

優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置

醐法把稅鄰元索看作一個整體與其他元素一起排列,同時注邀捆綁元素的內(nèi)部排列

插空法對不相鄰同8S,先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當中

定序問題

對于定序問題,可先不考慮順序限制，排列后,再除以定序元索的全排列

除制lh理

間接法正難則反、等價轉(zhuǎn)化的方法

【針對訓練3】

用123,4,5,6組成一^重復數(shù)字的六位數(shù)要求三個奇數(shù)1,3,5有且只有兩個相鄰，則不同的徘法種數(shù)為().

A.18B.108C.216D.432

:D解七根據(jù)題意，分三步迸行.第一步，先將135分成兩組，共種排法;第二步唐2兒6排成一排,共膽種排法;第

三步，將兩組奇數(shù)插入三個偶數(shù)形成的四個空位浜A；種排法.綜上共有C§AgA弘￥母乂2X6X12=132種排法，故選D.

有3名男生、1名女生，全體排成一排，女生必須站在一起則有種不同的排法.

576將女生看作一個整體與3名男生一起全排列，有A：種方法，再將女生全排列，有A：種方法，共有A：?A：書76

種方法.

務而組合及其應用

劭41⑴某學校為了迎接市春季運動會，從5名男生和1名女生組成的田徑運動隊中選出4人參加

比賽，要求男、女生都有，則男生甲與女生乙至少有?人入選的方法種數(shù)為().

A.85B.86C91D.90

（2）（2020屆合肥檢測）現(xiàn)有16張不同的卡片其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張.從中任取3張，要

求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為.

（1）B⑵472解析⑴（法一:直接法）由題意，可分三類考慮.

第1類，男生甲入選，女生乙不入選的方法種數(shù)為yC；6存1；

第2類,男生甲不入選，女生乙入選的方法種數(shù)為花;&蝎書4；

第3類，男生甲入選，女生乙入選的方法種數(shù)為《

所以男生甲與女生乙至少有1人入選的方法種數(shù)為31*34*21^6.

（法二;間接法）從5名男生和1名女生中任意選出1人，男、女生都有的選法有文，-中120種;男、女生

都有，且男生甲與女生乙都沒有入選的方法有31種.所以男生甲與女生乙至少有1人入選的方法種數(shù)為

120-34=86.

⑵（法一）從16張不同的卡片中任取3張，不同取法的種數(shù)為%,其中有2張紅色卡片的不同取法的種數(shù)為

啰XC上,其中3張卡片顏色相同的不同取法的種數(shù)為C：所以3張卡片不能是同一種顏色，目紅色卡片至多

1張的不同取法的種數(shù)為小《木卜（4女尸172.

（法二）若沒有紅色卡片，則需從黃、藍、綠三種顏色的卡片中選3張，若都不同色，則不同取法的種數(shù)為

ClXC；XC：/4,若2張顏色相同，則不同取法的種數(shù)為最XCJXC1XC1-144.若紅色卡片有1張，則剩余2張不同

色時，不同取法的種數(shù)為QXC|XqXC；刁92,剩余2張同色時，不同取法的種數(shù)為C；XQ、Q=72,所以不同的取

法共有64+144+192+72乂72種.

方法總結(jié)

兩類有附加條件的組合問題的解法

（D“含有”或“不含有”某些元素的組合題型:若“含有”，則先將這些元素取山,再由另外元素補足;若“不含有”，則先將這些元素剔

除,再從剌下的元案中去選取.

（2）“至少”或“地多”含有幾個元素的組合趣型:解這類題目必須十分更視“至少”與“最多”這兩個關(guān)鍵訶的含義，語防重復與漏解.用

直接法或間接法都可以求解,通常用直接法求解,分類復雜時,用間接法求解.

【針對訓練1】

L（2020屆河南洛陽一模）1名大學生到三家企業(yè)應聘，每名大學生至多被一家企業(yè)錄用，則每家企業(yè)至少錄用一名大學生的情況

有（）.

A24種B.36種C.48種1).60種

-D解析分兩類:第一類，有3名被錄用，有福物種;第二類,1名都被錄用則有一家錄用兩名有??瑪?A；36.根據(jù)

分類計數(shù)原理知，共有2*36=60種情況.

有9名學生其中2名會下象棋但不會下圍棋,3名會下圍棋但不會下象棋J名既會下圍棋又會下象棋.現(xiàn)在要從這9名學生中

選出2名學生一名參加象根比賽，另一名參加圍琪E匕賽，共有種不同的選派方法.

：38設2名會下象棋但不會下圍棋的同學組成集合,1,3名會下圍棋但不會下象棋的同學組成集合41名既會

下圍棋又會下象棋的同學組成集合C則選派2名參賽同學的方法可以分為以下四類.

第一類/中選1人參加象棋比賽”中選I人參加圍棋比賽，選派方法為C&W種；

第二類Z中選I人參加象棋比賽,/，中選?人參加圖模比賽，選派方法為寸2種；

第三類，中選1人參加圍棋比賽〃中選"、參加象棋比賽,選派方法為中”種；

第四類，中選2人分別參加兩項比賽，選派方法為AR12種.

由分類加法計數(shù)原理知,不同的選派方法共有6刊2用*2=38種.

居於排列組合的綜合應用

考向1：簡單的排列與組合應用問題

:例?(1)(2020屆河北滄州模擬)用數(shù)字123,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為().

A.24B.48C.60D.72

⑵(2020屆湖北武漢模擬)有六人排成一排，其中甲只能在排頭或排尾，乙、丙兩人必須相鄰,則滿足要求的

排法有().

A.34種B.48種C.96種D.144種

(1)D(2)C解析⑴由分步乘法計數(shù)原理得,奇數(shù)的個數(shù)為c達：42.

(2)特殊元素優(yōu)先安徘,先讓甲從頭、尾中選取一個位置，有Q種選法，乙、丙相鄰，有I種情況，乙、丙可以交

換位置，有用種情況，其余3人站剩余的3個位置，有同種情況，由分步乘法計數(shù)原理知，共有4XCM1A1=96種排

法.

考向2：分組、分配問題

:例。⑴國家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國重點師范大學免費培養(yǎng)教育專業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應的地區(qū)任教.

現(xiàn)有6個免費培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學校去任教，有種不同的分派方法.

（2）（2020屆福建福州模擬）福州西湖公園花展期間，安排6位志愿者到四個展區(qū)提供服務,要求甲、乙兩個展區(qū)各安排一個人,

剩下兩個展區(qū)各安排兩個人，不同的安排方案共有（）.

A.90種B.180種C.270種D.360種

-（1）90（2）B⑴先把6個畢業(yè)生平均分成3級有曙=15種方法，再將3組畢業(yè)生分到3所學校，有的寸種

方法故6個畢業(yè)生平均分到3所學稅共有呼-Al3Q種分派方法.

（2）根據(jù)題意，分3步進行分析:色在6位志愿者中任選1個,安排到甲展區(qū)，有種情況;②剩下的5個志愿者中任選1個,

安徘到乙展區(qū)，有?石種情況;瀏憫下的4個志愿者平均分成2組然后安排到剩下的兩個展區(qū)，有等XA：4種情況.所以一共

A2

肓6X5乂6=180種不同的安排方案，故選B.

方法怠結(jié)

1.解排列、組合問題要遵循的兩個原則

（1）按元素（位置）的性質(zhì)進行分類.

（2）按事情發(fā)生的過程進行分步.

具體地說，解排列、加合問題常以元素（位置）為主體，即先瞞是特殊元素（位置），再考慮其他元素（位置）.

2.分配、分組的注意事項

⑴對于整體均分，解現(xiàn)時要注意分組后，不管它的的順序如何，都是種情況，所以分組后?定要除以AK。為均分的組數(shù)），避免重復計機

（2）對于部分均分，解題時注意重復的次數(shù)花均勻分組的階乘數(shù),即若有杷組元素個數(shù)相等,則分組時應除以就.分組過程中有幾個這樣的均

為分組,就要除以幾個這樣的全排列數(shù).

（3里于不等分組,只需先分組,后排列，注意分殂時任何組中元案的個數(shù)都不相等,所以不需要除以全"列數(shù).

【針對訓練5】

“住房,，”醫(yī)療,，“教育”“養(yǎng)老”“就業(yè)”成為現(xiàn)今社會關(guān)注的五個熱點小趙想利用國慶節(jié)假期調(diào)查一下社會對這些熱

點的關(guān)注度.若小趙準備按照順序分別遍道其中的四個熱點，則“住房”作為其中的一個調(diào)查熱點，但不作為第一個調(diào)直熱點的種

數(shù)為（）.

A.13B.24C.18D.72

D解析分三步進行.第一步，先從“醫(yī)療”“教育”“養(yǎng)老”“就業(yè)”這四個熱點中選出三個，有《種不同的選法;

第二步，在調(diào)直時，“住房”安排的I頤序有A：種可髓況第三步，其余三個熱點調(diào)直的順序有屬種徘法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可

得不同調(diào)底順序的種數(shù)為GA抓;=72.

將標號為123,4的四個籃球公給三位小朋友每位小朋友至少分到一個籃球,且標號1,2的兩個籃球不能分給同一個小朋友，則

不同的分法種數(shù)為（）.

A.15B.20C.30D.42

?CT四個籃球中兩個分到一組有瑪種分法，三個籃球進彳亍全排列有Ag種分法，標號1,2的兩個籃球分給同一個小

朋友有用種分法,所以有GAg-A1-36-6^0種分法.

有1名優(yōu)秀學生44c〃全部被保送到甲、乙.丙3所學校，每所學校至少去一名，則不同的保送方案共有種.

答案36:先把4名學生分為2,1,1共3級有瑪七種分法，再將3組對應3個學校，有用與種情況則共有6X636種

不同的保送方案.

|素養(yǎng)

SUYANGDACHENG

數(shù)學建模一排列組合在生活中的應用

數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學知識與方法構(gòu)建橫型解決問題的過程.下面例題通過廣

告牌的涂色問題，體現(xiàn)在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、構(gòu)建模型、求解結(jié)論、驗證結(jié)果并改進模

型，最終解決實際問題的解題思想.

【例0某市準備舉辦一場學習交流會，為了更加有效地讓人們關(guān)注、了解和參與這次交流會，市政管理委員會欲在某步行街

的一側(cè)如圖所示的6塊有關(guān)交流會的宣傳廣告慳配色，每塊廣告牌的底色可選用盤、紅兩種顏色中的一種.若要求相鄰的兩塊廣

告牌的底色不能同為紅色，則不同配色方案的種數(shù)為（）.

A.20B.21C.30D.31

答案B解書當廣告牌沒有紅色時，有1種排法；

當廣告牌有1塊紅色時,可以從6個位置中任選1個，有6種排法；

當廣告牌有2塊紅色時，先排4塊藍色，形成5個位置，插入2塊紅色，有此=10種排法；

當廣告牌有3塊紅色時，先排3塊藍色，形成4個位置，插入3塊紅色，有4=1種排法.

;相鄰的兩塊廣告牌的底色不能同為紅色，

?:不可能有1塊紅色廣告牌，

由分類加法計數(shù)原理可知共有1母，10+T1種配色方案.

【突破訓練1】

1.（2020屆河南鄭州一模）《中國詩詞大會》（第三季）亮點頗多，在“人生自有詩意”的主題下，十場比賽每場都有一首特別設計

的開場詩詞在聲光舞美的配合下，百人團齊聲朗麗別有韻味.若《沁園春?長沙》《蜀道難》《敕勒歌》《游子吟》《關(guān)山月》

《清平樂?六盤山》排在后六場，目《同道港》排在《游子吟》的前面，《沁園春?長沙》與《清平樂?六盤山》不相鄰且均不

排在最后，則六場的排法有種.（用數(shù)字作答）

:144解檸將《沁園春?長沙》《蜀道難》《敕勒歌》《游子吟》《關(guān)山月》《清平樂?六盤山》分別記為

〃班由已知有3排在〃的前面/與打不相鄰且均不排在最后.

第』，在耳C〃/：.中選一個排在最后，共GF種選法；

第二步，將剩余五個節(jié)目按力與弁不相鄰^序，共8-A!?A*2種排法；

第三步，在前兩步中占排在〃的前面與后面機會相等，則A排在〃的前面，只需除以此=2.

即六場的排法有4乂7242=114種.

下表所示的是高考第一批錄取的一份志愿表.如果有I所重點院校，每所院校有3個專業(yè)是你較為滿意的選擇，若表格填滿且

規(guī)定學校沒有重復，同一學校的專業(yè)也沒有重復的話，你將有多少種不同的填表方法？

志愿交專業(yè)

第一志愿1第1專業(yè)第2專業(yè)

第二志愿2第］專業(yè)第2專業(yè)

第三志愿3第1專業(yè)第2專業(yè)

填表過程可分兩步.第一步，確定填報學校及其順序，則在I所學校中選出3所并排列,共有.Aj種不同的排法;第二

步從每所院校的3個專業(yè)中選出2個專業(yè)并確定其順序，其中又包含三小步，因此總的排列數(shù)有信A弘彳種,綜合以上兩步,由分步

乘法計數(shù)原理得，不同的填表方法有A：-?A,?A孑書184種，

數(shù)學抽象一一計數(shù)原理中的新定義問題

⑴組數(shù)、組點、組練組隊問題:TS按特殊位置分類,每類中再分步計數(shù)當分類較多時,也可用間接法求解.

⑵有限制條件的抽取問題:一般根據(jù)抽取的順序分步或根據(jù)選取的元素特點分類.當數(shù)目不大時，可用枚舉法;當數(shù)目較大時，

可用間接法求解.

〔例自定義“規(guī)范01數(shù)列”同如下：5.洪有2”項其中川項為0,m項為1,且對任意收2弧為出…山中0的個數(shù)不少于1

的個數(shù)若則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有（）.

A.18個B.16個C.14個D.12個

fC解析由題軟“規(guī)范01數(shù)列”有偶數(shù)項，即為項,且所含0與1的個數(shù)相等,首項為0,末項為1,若所1,說明數(shù)列

耳S項則必有在巾，,口則具體的排法有

00001111,00010111,00011011,00011101,0010011：,00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,

01010101,共14個.

【突破訓練2】

（2020屆湖南十二校聯(lián)考）若陽〃均為非負整數(shù)，在做間的加法時各位均不進位（例如：134尚02=3936）,則稱（禺〃）為“簡單的“

有序?qū)Γ蛹臃Q為有序?qū)λΦ闹的敲粗禐?942的“簡單的”有序?qū)Φ膫€數(shù)是_______.

300第1步1=1電14局,共2種組合頻

第2步,9R用,9=1煙9之+7,9/電…,93電共10種組合方式;

第3步,4巾41=1電4=2+2,4=3%4=4電共5種組合方式:

第4步,2R22=1”,23地共3種組合方式.

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，值為1942的“簡單的”有序?qū)Φ膫€數(shù)為2X10X5X3吆00.

真題GAOKAOZHENTI

（2018年全國/卷）從2位女生,1位男生中選3人參加科技比賽啟至少有1位女生入選則不同的選法共有種.（用數(shù)

字填寫答案）

16若有1位女生入選則不同的選法有&戲=12種;若有2位女生入選，則不同的選法有戲屐國種.故滿足條

件的不同選法共有16種.

（2018年浙江卷）從1,3,5,7,9中任取2個數(shù)字“大0,246中任取2個數(shù)字，一共可以組成個沒有重復數(shù)字的四位數(shù).（用

數(shù)字作答）

答案1260解析不含有。的四位數(shù)有CX0XA；=72O個.

含有0的四位數(shù)有髭XC；X&XA,=540個.

綜上符合題意的四位數(shù)的個數(shù)為720乃40二1260.

（2017年全國〃卷）安排3名志愿者完成1項工作，每人至少完成一吼每項工作由一人完成，則不同的安丹昉式共有（）.

A.12種B.18種C.24種【）.36種

:D解I由題意可得其中一人必須完成2項工作，其他2人各完成一項工作，可得安排方式有心?瑪?A孑毛6種,故

選D.

（2017年天津卷）用數(shù)字123,4,5,6,7,8,9組成沒有重算數(shù)字,且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)這樣的四位數(shù)一共有

個.（用數(shù)字作答）

.1080解析％當組成四位數(shù)的數(shù)字中有f禺數(shù)時，四位數(shù)的個數(shù)為Cg?q?Ai460.

區(qū)當組成四位數(shù)的數(shù)字中不含偶數(shù)時，四位數(shù)的個數(shù)為優(yōu)=120.

故符合題意的四位數(shù)一共有960*20=1080個.

（2017年浙江卷）從6男2女共8名學生中選出隊長1人,副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務隊要求服務隊中至少有1名

女生共有種不同的選法.（用數(shù)字作答）

'660"（法一）只有1名女生時，先選1名女生，有?種方法:再選3名男生有喘種方法;然后排隊長、副隊長位置

耳A］種方法.由分步乘法計數(shù)原理，知共有QCg照=180種選法.

有2名女生時，再選2名男生有瑪種方法;然后排隊長、副隊長位置，有照種方法.由分步乘法計數(shù)原理,知共有C"K180種

選法.

所以依據(jù)分類加法計數(shù)原理知共有480,180460種不同的選法.

（法二）不考慮限制條件，共有A1看種不同的說法,而沒有女生的選法有A看此種.

故至少有1名女生的選法有用戲-A看出31（180*60種.

亮劍,高效訓練金*0（修描

?3…一一一yyy…y一修…y—.—y=一二…y…yY

V基礎打磨

從集合｛0兒2,3兒5悶中任取兩個互不相等的數(shù)國力組成髏〃動L其中虛數(shù)的個數(shù)是（）.

A.30B.42C.36D.35

c因為a班i為虛數(shù)，所以6工0,即人有6種取法，”有6種取法，由分步乘法計數(shù)原理知可以組成6乂636個虛

數(shù).

已知集合內(nèi)為1},月4,2},其中孫，BL23…，”且PZQ.把滿足上述條件的一對有序整數(shù)對（w）作為T?點的坐標，則這樣的

點的個數(shù)是（）.

A.9B.14C.15D.21

答案B解析因為內(nèi)％1},。4油2）,且片Q

所以.vG{j;2）.

所以當x=2時，產(chǎn)3,4,5,6,7區(qū)9,共7種情況；

當檸時內(nèi)4,5,6,7,89共7種情況.

故共有7行=14種情況即這樣的點的葉數(shù)為14.

1.（2020屆衡水調(diào)研）用0,1,…,9+個數(shù)字，可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為（）.

A.243B.252C.261D.279

-B解機9共能組成9X10X1。為0。個三位數(shù)其中無重復數(shù)字的三位數(shù)有9口乂84弗個,則有重復數(shù)字

的三位數(shù)有900618252個.

-（2020屆陜西西安調(diào)研）6把椅子擺成一排,3人隨機就坐任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為（）.

A.144B.120C.72D.24

1）解￡采用“插空法”，先排3個空位形成1個空隙供3人選擇就座因此任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為

A：刁X3X2W4.

高中學生4諄計劃在2019年高考結(jié)束后，和其他小伙伴一塊去旅游，有三個自然風光景點月，卑:和三個人文歷史景點a,b,c可

供蝌.由于時間和距離原因，只能從中任取四個景點進行參觀，其中第一個參觀的景點一定不是兒最后卷觀的一定是人文歷史景

點則不同的旅游順序有（）.

A,51種B.72種CJ20種DJM種

0當四個景點不含景點力時旅游J財有4A產(chǎn)72種;當四個景點含景點”時，旅游JI褥有弓QAj=72種.所以

不同的旅游順序有144種.

（本題為多項選擇題）下列人員的坐法種數(shù)為21的是（）.

A.4把椅子排成一排,4人隨機就座

B.6把椅子擺成一排,3人隨機就座，任何兩人不相鄰

C.，1人均不坐在寫著自己名字的座位上

D,4把椅子排成一排，甲、乙、丙'丁四人中甲,乙必須相鄰

AB孕斤A項中,I把椅子排成一排,I人隨機就座的坐法種數(shù)為屑-24.

B項中，利用“插空法”，先排3個空位形成1個空隙供3人選擇就座,因此任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為然引X3X2次

C項中，第一個人有3種選擇，然后第一個人坐的座位名字對應的人也有3種選擇，剩余兩人只有1種選擇，所以共有9種坐法;

D項中,1把椅子排成一排同、乙、丙、丁四人中甲、乙必須相鄰的坐法種數(shù)為C；A，A>12.

.（2020屆惠州第二次調(diào)研）旅游體臉師〃浮受某網(wǎng)站邀請，決定對甲,乙、丙,丁這四個景區(qū)送行體臉式旅游，若不能最先去甲

景區(qū)旅游，不能最后去乙景區(qū)和丁景區(qū)旅游，則小李可選的旅游路線數(shù)為（），

A.24B.18C.16D.10

D解I；分兩種情況,第一種，最后體驗甲景區(qū)廁有屬