2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)三輪熱點(diǎn)圓中的最值問(wèn)題題型沖刺復(fù)習(xí)

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)三輪熱點(diǎn)圓中的最值問(wèn)題題型沖刺復(fù)習(xí)1．如圖，在中，，，以點(diǎn)O為圓心、2為半徑畫(huà)圓，點(diǎn)C是上任意一點(diǎn)，連接．將繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，交于點(diǎn)D，連接．(1)當(dāng)與相切時(shí)，求證：是的切線；求點(diǎn)C到的距離．(2)直接寫(xiě)出的最大值與最小值的差．2．問(wèn)題提出（1）如圖1，的面積為，弦，C是．上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值；問(wèn)題解決（2）如圖2，的半徑為，圓內(nèi)中有一個(gè)四邊形區(qū)域，連接，為等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)D在的什么位置上時(shí)，陰影部分面積最??？并求出最小值．3．如圖，為等邊的外接圓，半徑為6，點(diǎn)在劣弧上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)，重合），連接，，．(1)求證：是的平分線；(2)四邊形的面積是線段的長(zhǎng)的函數(shù)嗎？如果是，求出函數(shù)解析式；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若點(diǎn)，分別在線段，上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到每一個(gè)確定的位置，的周長(zhǎng)有最小值，隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，的值會(huì)發(fā)生變化，求所有值中的最大值；4．如圖1所示，等邊三角形內(nèi)接于圓，點(diǎn)是劣弧上任意一點(diǎn)（不與重合），連接、、，求證：．【初步探索】小明同學(xué)思考如下：將與點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，可得、、三點(diǎn)在同一直線上，進(jìn)而可以證明為等邊三角形，根據(jù)提示，解答下列問(wèn)題：（1）根據(jù)小明的思路，請(qǐng)你完成證明．（2）若圓的半徑為8，則的最大值為_(kāi)_______．【類(lèi)比遷移】如圖2所示，等腰內(nèi)接于圓，，點(diǎn)是弧上任一點(diǎn)（不與、重合），連接、、，若圓的半徑為8，試求周長(zhǎng)的最大值．【拓展延伸】如圖3所示，等腰，點(diǎn)、在圓上，，圓的半徑為8，連接，則的最小值為_(kāi)________（直接寫(xiě)答案）．5．如圖1所示，等邊三角形內(nèi)接于圓，點(diǎn)是劣弧上任意一點(diǎn)（不與重合），連接、、，求證：．【初步探索】小明同學(xué)思考如下：將與點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，可得、、三點(diǎn)在同一直線上，進(jìn)而可以證明為等邊三角形，根據(jù)提示，解答下列問(wèn)題：（1）根據(jù)小明的思路，請(qǐng)你完成證明．（2）若圓的半徑為8，則的最大值為_(kāi)_______．【類(lèi)比遷移】如圖2所示，等腰內(nèi)接于圓，，點(diǎn)是弧上任一點(diǎn)（不與、重合），連接、、，若圓的半徑為8，試求周長(zhǎng)的最大值．【拓展延伸】如圖3所示，等腰，點(diǎn)、在圓上，，圓的半徑為8，連接，則的最小值為_(kāi)________（直接寫(xiě)答案）．6．如圖，為等邊三角形的外接圓，半徑為4，點(diǎn)D在劣弧上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A、B重合），連接．(1)求的長(zhǎng)；(2)求證：是的平分線；(3)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；(4)若點(diǎn)M、N分別在線段上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到每一個(gè)確定的位置，的周長(zhǎng)有最小值t，隨著點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)，t的值會(huì)發(fā)生變化，則所有t值中的最大值為_(kāi)_____．7．如圖1，在四邊形中，，，以為直徑所作的經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與相切于點(diǎn)，連接．(1)求證：是的切線．(2)是的外接圓，不與、重合的點(diǎn)在的劣弧上運(yùn)動(dòng)（如圖2所示）．若點(diǎn)、分別為線段、上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到每一個(gè)確定的位置時(shí)，的周長(zhǎng)有最小值，隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，的值也隨之變化，求的最大值．8．如圖，在中，，，以點(diǎn)O為圓心，2為半徑畫(huà)圓，過(guò)點(diǎn)A作的一條切線，切點(diǎn)為P，連接．將繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到時(shí)，連接，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為（）．(1)如圖，當(dāng)時(shí)，①求證：是的切線；②點(diǎn)H到的距離；(2)已知，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)與相切時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；(3)直接寫(xiě)出的最大值與最小值的差．9．如圖，在中，，，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心為半徑作，與交于點(diǎn)，連接，作的平分線交于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)與的另一個(gè)交點(diǎn)為，連接，設(shè)的半徑為，四邊形的面積為．①求與之間的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)時(shí)，求四邊形面積的最大值與最小值．10．如圖1，內(nèi)接于，點(diǎn)E為的內(nèi)心，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)F，連接．(1)若，求的度數(shù)．(2)如圖2，連接，若，求的長(zhǎng)．(3)如圖3，連接，若的半徑為4，弦，設(shè)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及y的最大值．11．如圖1~圖3，半圓O的直徑，弦在半圓O上滑動(dòng)（點(diǎn)C，D可以分別與A，B兩點(diǎn)重合），且．(1)如圖1，求劣弧的長(zhǎng)；(2)連接，，，，當(dāng)時(shí)，如圖2，求證：；(3)點(diǎn)E是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F，如圖3．①當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；②在弦滑動(dòng)的過(guò)程中，直接寫(xiě)出線段長(zhǎng)度的最大值．12．如圖，是的外接圓，連接，，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，同時(shí)過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)．(1)設(shè)度，直接寫(xiě)出____________度，____________度（用含的代數(shù)式表示）；(2)如圖，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，其中，；試問(wèn)的值是否是定值，若是，請(qǐng)求出此定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；求出的最大值．13．如圖1，我們把一個(gè)半圓和拋物線的一部分圍成的封閉圖形稱(chēng)為“果圓”，已知，，，分別為“果圓”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，

與“果圓”中的拋物線交于，兩點(diǎn)．(1)求“果圓”中的拋物線的解析式．(2)“果圓”上是否存在點(diǎn)使？如果存在請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖2，為直線下方“果圓”上一點(diǎn)，連接，，，設(shè)與交于點(diǎn)，的面積記為，的面積記為，求的最小值．14．正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在上，E是上一動(dòng)點(diǎn)．(1)若點(diǎn)E不與點(diǎn)A、D重合，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)；(2)如圖2，若點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B、C重合），連接，，，試探究線段，，的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；(3)如圖3，若點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)，分別取、的中點(diǎn)M、N，連接，，交于點(diǎn)F，四邊形與四邊形關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，連接，，當(dāng)正方形的邊長(zhǎng)為2時(shí)，求面積的最小值．15．正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在上，是上一動(dòng)點(diǎn)．(1)若點(diǎn)不與點(diǎn)、重合，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)；(2)如圖2，若點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），連接，試探究線段的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；(3)如圖3，若點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，分別取的中點(diǎn)、，連接交于點(diǎn)，四邊形與四邊形關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，連接，，當(dāng)正方形的邊長(zhǎng)為2時(shí)，求面積的最小值．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)三輪熱點(diǎn)圓中的最值問(wèn)題題型沖刺復(fù)習(xí)》參考答案1．(1)詳見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）由切線的性質(zhì)得，再證，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，可得，即可證明是的切線；過(guò)點(diǎn)C作，垂足為E，則即為點(diǎn)C到的距離，根據(jù)即可求解；（2）作直線于點(diǎn)H，交于和，當(dāng)點(diǎn)C位于處時(shí)，取最小值，當(dāng)C位于處時(shí)，取最大值，則最大值與最小值的差為．【詳解】（1）證明：∵與相切，∴，∵，∴，即，又∵，∴．∴．又∵是的半徑，∴是的切線；如圖，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為E，則即為點(diǎn)C到的距離，在中，∵，∴，∵，∴，即點(diǎn)C到的距離為．（2）解：中，，，∴．如圖，作直線于點(diǎn)H，交于和，由題意知，當(dāng)點(diǎn)C位于處時(shí)，取最小值，當(dāng)C位于處時(shí)，取最大值，∴的最大值與最小值的差．【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓到直線的距離，解題的關(guān)鍵是掌握切線的判定方法，找出取最值時(shí)點(diǎn)C的位置．2．（1）；（2）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，陰影部分面積最小，最小值為．【分析】（1）連接，設(shè)為優(yōu)弧的中點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，則，此時(shí)點(diǎn)到的距離最大，故點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，由此進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；（2）連接，設(shè)相交于點(diǎn)，由題意得，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，四邊形區(qū)域的面積最大，則陰影部分面積最小，由等邊三角形的性質(zhì)可得，，由圓周角定理可得，結(jié)合為的中點(diǎn)，得出從而得到四邊形是菱形，求出，，，，最后根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：（1）如圖1，連接，設(shè)為優(yōu)弧的中點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，則，此時(shí)點(diǎn)到的距離最大，故點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，面積最大，，∵的面積為，∴的半徑為，∵，，，，，∴面積的最大值為；（2）如圖2，連接，設(shè)相交于點(diǎn)，由題意得，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，四邊形區(qū)域的面積最大，則陰影部分面積最小，是等邊三角形，，，由題意可知，是的直徑，，，為的中點(diǎn)，，，四邊形是菱形，在中，，，，，∴陰影部分面積最小值為故當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，陰影部分面積最小，最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合運(yùn)用，菱形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．3．(1)見(jiàn)解析(2)是，(3)【分析】本題考查了圓的有關(guān)知識(shí)，等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得，圓周角定理可得，可得結(jié)論；（2）將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，可證是等邊三角形，可得四邊形的面積，即可求解；（3）作點(diǎn)D關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，作點(diǎn)D關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得，，可得的周長(zhǎng)，則當(dāng)點(diǎn)E，點(diǎn)M，點(diǎn)N，點(diǎn)F四點(diǎn)共線時(shí)，的周長(zhǎng)有最小值，即最小值為，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可求，，由等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求，則當(dāng)為直徑時(shí)，t有最大值為．【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∴是的平分線；．（2）解：四邊形的面積S是線段的長(zhǎng)x的函數(shù)；理由如下：如圖1，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，∴，∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，∴，∴點(diǎn)D，點(diǎn)B，點(diǎn)H三點(diǎn)共線，∵，∴是等邊三角形，∵四邊形的面積，∴；（3）解：如圖2，作點(diǎn)D關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，作點(diǎn)D關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，∵點(diǎn)D，點(diǎn)E關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，∴，同理，∵的周長(zhǎng)，∴當(dāng)E，M，N，F(xiàn)四點(diǎn)共線時(shí)，的周長(zhǎng)有最小值，則連接，交于M，交于N，連接，作于P，∴的周長(zhǎng)最小值為，∵點(diǎn)D，點(diǎn)E關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，∴，∵點(diǎn)D，點(diǎn)F關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴當(dāng)有最大值時(shí)，有最大值，即t有最大值，∵為的弦，∴為直徑時(shí)，有最大值12，∴t的最大值為．4．初步探索：（1）證明見(jiàn)解析；（2）16；類(lèi)比遷移：；拓展延伸：【分析】初步探索：（1）由旋轉(zhuǎn)得，，，則，所以、、三點(diǎn)在同一條直線上，再證明是等邊三角形，則；（2）當(dāng)是的直徑時(shí)，，此時(shí)的值最大，所以的最大值是16；類(lèi)比遷移：先由證明是的直徑，且圓心在上，則，，再證明、、三點(diǎn)在同一條直線上，則，當(dāng)是的直徑時(shí)，，此時(shí)的值最大，則，即可求得周長(zhǎng)的最大值是；拓展延伸：連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接，先求得，再連接、，證明≌，得，所以，則，所以的最小值為．【詳解】解：初步探索：（1）證明：由旋轉(zhuǎn)得，，，，，，、、三點(diǎn)在同一條直線上，，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，；（2）是的弦，且的半徑為8，當(dāng)經(jīng)過(guò)圓心，即是的直徑時(shí)，此時(shí)的值最大，最大值為16，的最大值是16，故答案為：16；類(lèi)比遷移：如圖，，，

是的直徑，且圓心在上，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，則，，，，，、、三點(diǎn)在同一條直線上，，，當(dāng)經(jīng)過(guò)圓心，即是的直徑時(shí)，此時(shí)的值最大，最大值為16，的最大值為，的最大值為，周長(zhǎng)的最大值是．拓展延伸：如圖，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接，

∴，，，連接、，，，，，，，，，的最小值為．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理、垂線段最短等知識(shí)，此題綜合性強(qiáng)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．5．初步探索：（1）證明見(jiàn)解析；（2）16；類(lèi)比遷移：；拓展延伸：【分析】初步探索：（1）由旋轉(zhuǎn)得，，，則，所以、、三點(diǎn)在同一條直線上，再證明是等邊三角形，則；（2）當(dāng)是的直徑時(shí)，，此時(shí)的值最大，所以的最大值是16；類(lèi)比遷移：先由證明是的直徑，且圓心在上，則，，再證明、、三點(diǎn)在同一條直線上，則，當(dāng)是的直徑時(shí)，，此時(shí)的值最大，則，即可求得周長(zhǎng)的最大值是；拓展延伸：連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接，先求得，再連接、，證明≌，得，所以，則，所以的最小值為．【詳解】解：初步探索：（1）證明：由旋轉(zhuǎn)得，，，，，，、、三點(diǎn)在同一條直線上，，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，；（2）是的弦，且的半徑為8，當(dāng)經(jīng)過(guò)圓心，即是的直徑時(shí)，此時(shí)的值最大，最大值為16，的最大值是16，故答案為：16．類(lèi)比遷移：如圖，，，

是的直徑，且圓心在上，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，則，，，，，、、三點(diǎn)在同一條直線上，，，當(dāng)經(jīng)過(guò)圓心，即是的直徑時(shí)，此時(shí)的值最大，最大值為16，的最大值為，的最大值為，周長(zhǎng)的最大值是．拓展延伸：如圖，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接，

∴，，，連接、，，，，，，，，，的最小值為．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理、垂線段最短等知識(shí)，此題綜合性強(qiáng)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．6．(1)(2)見(jiàn)解析(3)(4)【分析】（1）連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，易得，設(shè)，三線合一求出的長(zhǎng)，進(jìn)而表示出的長(zhǎng)，再在中，利用勾股定理進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理，得到，即可得證；（3）過(guò)點(diǎn)作，解非直角三角形，求出得長(zhǎng)即可；（4）作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，易得，得到的周長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作，得到，進(jìn)而得到當(dāng)最大時(shí)，的長(zhǎng)最大，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，∵為等邊三角形的外接圓，半徑為4，∴，∴，設(shè)，則：，，∴，在中，由勾股定理，得：，解得：或（舍去）；∴；（2）∵等邊三角形，∴，∵，∴，∴是的平分線；（3）過(guò)點(diǎn)作，由（1）可知：，∵，∴為等腰直角三角形，∴，由（2）知：，∴，∴，∴；（4）作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，則：，，∴，即：，∵的周長(zhǎng)，∴當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，的周長(zhǎng)最小，，∴當(dāng)最大時(shí)，最大，過(guò)點(diǎn)作，∵，，∴，，∴，∴，∴當(dāng)最大時(shí)，最大，∵是的一條弦，∴當(dāng)為直徑時(shí)，最大，為，∴的最大值為，即：的最大值為；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理，三角形的外接圓，解直角三角形，等腰三角形的判定和性質(zhì)，利用軸對(duì)稱(chēng)解決線段最短問(wèn)題，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，添加輔助線，構(gòu)造特殊圖形，是解題的關(guān)鍵．7．(1)詳見(jiàn)解析(2)【分析】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關(guān)知識(shí)，等邊三角形的性質(zhì)等，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．（1）先求出，進(jìn)而得到是等邊三角形，得到，即可得出結(jié)論．（2）由（1）知，為等邊三角形，由其三線合一，可求出的半徑為，分別作點(diǎn)關(guān)于、的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)、，連接分別交、于、兩點(diǎn)，連接、，則、，由對(duì)稱(chēng)知，是的垂直平分線，是的垂直平分線，可得出是頂角為的等腰三角形，進(jìn)而求出值．【詳解】（1）證明：連接是的直徑，是上的點(diǎn)，，，，是的切線，，則．，是等邊三角形，，，，，即，是的切線．（2）解：由（1）知，為等邊三角形，由其三線合一可得其四心【內(nèi)心（內(nèi)切圓圓心）、外心（外接圓圓心）、垂心、重心】合一，如圖2，點(diǎn)是的外接圓的圓心，連接、、，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則，，，，，，解得，，即的半徑為，分別作點(diǎn)關(guān)于、的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)、，連接分別交、于、兩點(diǎn)，連接、，則、，的周長(zhǎng)，連接、、，由對(duì)稱(chēng)知，是的垂直平分線，是的垂直平分線，，，，，則是頂角為的等腰三角形，可得，則，即，當(dāng)是的直徑時(shí)，取得最大值，的直徑為，的最大值為．8．(1)①見(jiàn)解析；②點(diǎn)H到的距離為(2)或(3)【分析】（1）①解：由是的切線，可得，證明，則，即，進(jìn)而結(jié)論得證；②如圖1，過(guò)點(diǎn)H作于點(diǎn)Q，由勾股定理得，，根據(jù)，計(jì)算求解即可；（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，與相切；如圖2，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)與相切，根據(jù)，計(jì)算求解即可；（3）由勾股定理得，，如圖3，過(guò)作，交圓于，根據(jù)的最大值與最小值的差為，計(jì)算求解即可．【詳解】（1）①解：∵是的切線，∴，∵，，∴，即，∵，，，∴，∴，即，∵是半徑，∴是的切線；②解：如圖1，過(guò)點(diǎn)H作于點(diǎn)Q，∵，，由勾股定理得，，∵，∴，∴解得，，∴點(diǎn)H到的距離為；（2）解：由（1）可知，當(dāng)時(shí)，與相切；如圖2，當(dāng)時(shí)，∵，，，∴，∴，即，此時(shí)與相切，；綜上所述，當(dāng)與相切時(shí)，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為或．（3）解：由勾股定理得，，如圖3，過(guò)作，交圓于，∴的最大值與最小值的差為，∴的最大值與最小值的差為．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，切線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等知識(shí)．熟練掌握切線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．(1)見(jiàn)解析(2)①；②當(dāng)時(shí)，四邊形面積的最大值為15，最小值為7【分析】（1）由題意可知，根據(jù)，可得，則，由平分，可知，進(jìn)而可得，就可證明結(jié)論；（2）①由題意可證，是等腰直角三角形，可知，進(jìn)而可得；②由函數(shù)關(guān)系式可知，當(dāng)時(shí)，隨增大而增大，可求得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，有最小值，，當(dāng)時(shí)，有最大值，，即可求解．【詳解】（1）解：∵在中，，，∴，又∵，∴，則，∵平分，∴，∴，∴；（2）①∵，，，∴，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，則∵，∴；②，當(dāng)時(shí)，隨增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，有最小值，，當(dāng)時(shí)，有最大值，，即：當(dāng)時(shí)，四邊形面積的最大值為15，最小值為7．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的相關(guān)概念，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，二次函數(shù)與幾何圖形，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．10．(1)(2)(3)，y的最大值【分析】本題考查三角形的內(nèi)心，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理；（1）由點(diǎn)E為的內(nèi)心，可得和是的角平分線，則，，再根據(jù)圓周角定理得到，即可得到，最后根據(jù)求解；（2）由，，可得，得到，則，，再證明，得到，代入解方程即可；（3）連接交于，連接，過(guò)作于，先利用垂徑定理求出，則，再根據(jù)，得到，，代入后整理得到，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值即可．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)E為的內(nèi)心，∴和是的角平分線，∴，，∵，，∴，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∴，∵，∴，，∵，，∴，∴，∴，解得；（3）解：連接交于，連接，過(guò)作于，∵，∴，∴垂直平分，∴，∵，∴，∴，∴，由（2）得，∵，∴，∵，∴，，∴，，∵，∴，整理得，∵，∴當(dāng)即與重合時(shí)，最大．11．(1)(2)見(jiàn)解析(3)；②3【分析】（1）求劣弧長(zhǎng)，需先確定其所對(duì)圓心角及圓半徑，再用弧長(zhǎng)公式計(jì)算．（2）利用圓中弧與角的關(guān)系找全等條件，用全等判定定理證明．（3）①通過(guò)角度關(guān)系求，在直角三角形中用三角函數(shù)求，進(jìn)而得②構(gòu)造輔助線，利用三角形相關(guān)性質(zhì)確定EF與其他線段關(guān)系，根據(jù)三邊關(guān)系求最大值．【詳解】（1）連接，，為等邊三角形，，；（2）證明：，，又，，(AAS)；（3）①連接由（1）得，當(dāng)時(shí)，，在中，，；②取中點(diǎn)，連接，是中點(diǎn)，，在中，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，因?yàn)?，是中點(diǎn)，在中，，在中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以最大值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的相關(guān)性質(zhì)，包括弧長(zhǎng)計(jì)算、圓周角與弧的關(guān)系，以及三角形的知識(shí)，如等邊三角形判定、全等三角形判定、直角三角形邊角關(guān)系、三角形中位線定理和三邊關(guān)系等，掌握以上知識(shí)，數(shù)形結(jié)合分析是解題的關(guān)鍵．12．(1)，；(2)是定值，理由見(jiàn)解析；最大值為．【分析】（）作圓周角，可求得，進(jìn)而得出，根據(jù)得出；（）作于，可證得，從而，從而求得的值，可證得，從而得出結(jié)果；可得出，從而，從而得出，從而當(dāng)點(diǎn)在的中點(diǎn)時(shí)，最大，進(jìn)一步得出結(jié)果．【詳解】（1）解：如圖，作圓周角，∴，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，故答案為：，；（2）解：如圖，是定值，理由如下：作于，∴，，由（）知，，∴，∴，∴，∴，∵，∴點(diǎn)共圓，∴，由（）知，，∴，∴，∴；由上知，，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)在的中點(diǎn)時(shí)，最大，如圖，連接，交于點(diǎn)，∴，∴，∴最大．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，垂徑定理，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用及正確添加輔助線，構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．13．(1)(2)使,點(diǎn)坐標(biāo)為或(3)【分析】（1）先求出點(diǎn)，坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；（2）求出線段，進(jìn)而得出，判斷出滿足條件的一個(gè)點(diǎn)和點(diǎn)重合，再利用拋物線的對(duì)稱(chēng)性求出另一個(gè)點(diǎn)．（3）先判斷出要的最小值，只要最大即可，再求出直線解析式和拋物線解析式聯(lián)立成的方程只有一個(gè)交點(diǎn)，求出直線解析式，即可求出，即可求解．【詳解】（1）解：對(duì)于直線，交坐標(biāo)軸兩點(diǎn)，，，∵拋物線過(guò)，兩點(diǎn)，∴，解得：，即，（2）解：如圖2，是半圓的直徑，半圓上除點(diǎn)，外任意一點(diǎn)，都有，點(diǎn)只能在拋物線部分上，，，，，，，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)重合，即：，由拋物線的對(duì)稱(chēng)性知，另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，即：使，點(diǎn)坐標(biāo)為或．（3）如圖3，，，，過(guò)點(diǎn)作交軸于，的邊上的高和的邊的高相等，設(shè)高為，，，，的最小值，即最小，，，當(dāng)最大時(shí)，即最小，的最小值，和果圓的拋物線部分只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，最大，直線的解析式為，設(shè)直線的解析式為①，拋物線的解析式為即②，聯(lián)立①②化簡(jiǎn)得，，，拋物線和直線只有一個(gè)交點(diǎn)．解得：，直線的解析式為，直線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)，；的最小值為．【