山東省菏澤市第一中學(xué)2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

山東省菏澤市第一中學(xué)2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．若函數(shù)在處可導(dǎo)，且，則（

）A． B． C．1 D．22．甲、乙、丙、丁、戊、己六人站成一排合影留念，則甲、乙兩人中間恰好有兩人的站法有（

）A．36種 B．72種 C．144種 D．288種3．拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一，定理內(nèi)容是：如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為，那么在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”．根據(jù)這個(gè)定理，可得函數(shù)在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為（

）．A．3 B．2 C．1 D．04．函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．5．已知偶函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，且在時(shí)滿足以下條件：①導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示；②唯一的零點(diǎn)是1．則的解集為（

）A． B．C． D．6．已知函數(shù)，則（

）A．2024 B． C．2025 D．20267．在上的導(dǎo)函數(shù)為，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．8．已知對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)在上單調(diào)遞減 B．函數(shù)在上單調(diào)遞減C．函數(shù)在處取得極小值 D．函數(shù)在處取得極大值10．設(shè)函數(shù)，則（

）A．函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)B．函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)C．直線是曲線的切線D．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心11．設(shè)函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)C．存在a，使得點(diǎn)為曲線的對(duì)稱中心D．存在a，b，使得為曲線的對(duì)稱軸三、填空題（本大題共3小題）12．函數(shù)在處有極值10，則實(shí)數(shù)．13．若函數(shù)在區(qū)間上有單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．14．對(duì)于函數(shù)，若對(duì)任意的，存在唯一的使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．四、解答題（本大題共5小題）15．4名男生和3名女生站成一排.(1)甲不在中間也不在兩端的站法有多少種？(2)男生甲和男生乙不相鄰，女生甲和女生乙相鄰，排在一起的站法有多少種？(3)甲、乙、丙三人從左到右順序一定的站法有多少種？16．已知函數(shù).(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)證明：當(dāng)時(shí)，.17．已知函數(shù)，其中.(1)若的圖象在處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求a的值；(2)討論的單調(diào)性.18．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求證：函數(shù)的圖象在x軸上方.19．已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若在區(qū)間內(nèi)有最小值，求的取值范圍；(3)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的解，，求證：．

參考答案1．【答案】C【詳解】.故選C2．【答案】C【詳解】第一步從6個(gè)位置中選擇2個(gè)位置，滿足條件的選位可以是，共有3種不同的方法；第二步將甲、乙排到所選擇的2個(gè)位置，共有種不同的方法；第三步將丙、丁、戊、己排到剩余的4個(gè)位置，共有種不同的方法；由分步計(jì)數(shù)原理可知，共有種．故選C3．【答案】B【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得：，令為在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”，則有，即，整理得，解得，所以函數(shù)在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為2.故選B.4．【答案】D【分析】根據(jù)題意，利用函數(shù)的定義域，以及時(shí)，且，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得函數(shù)的定義域?yàn)?，且，故排除B,C,當(dāng)時(shí)，且，排除A.故選D.5．【答案】B【詳解】記在上的零點(diǎn)為，由在上的圖象，知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．因?yàn)樵谖ㄒ坏牧泓c(diǎn)是1，即，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．又為偶函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的解集為．故選B．6．【答案】B【詳解】由，可得．令，得，又，所以圖象的對(duì)稱中心為，，，，．故選B.7．【答案】A【詳解】令，則，，，在上單調(diào)遞增，，即，.故選A.8．【答案】A【詳解】設(shè)，則.∵時(shí)，，，∴，故在上單調(diào)遞增.∵對(duì)恒成立，∴當(dāng)時(shí)，，則有，當(dāng)時(shí)，可等價(jià)變形為.∵在上單調(diào)遞增，且，（），∴由可得，即對(duì)恒成立.設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，，，，故.∴在上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，.∵對(duì)恒成立，∴，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選A.9．【答案】AD【詳解】由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，故A正確；所以函數(shù)在處取得極大值，不是極小值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤，D正確.故選AD.10．【答案】ABD【詳解】令解得，令解得或，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，因?yàn)?，極大值，且極小值，所以函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，有兩個(gè)零點(diǎn)，故AB正確，令即，，無(wú)解；故C錯(cuò)誤；，所以，即點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，正確；故選ABD11．【答案】BC【詳解】A選項(xiàng)，，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)在處取到極小值，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，由于，故時(shí)，故在上單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，則在處取到極大值，在處取到極小值，由，，則，根據(jù)零點(diǎn)存在定理在上有一個(gè)零點(diǎn)，又，，則，則在上各有一個(gè)零點(diǎn)，于是時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，方法一：利用對(duì)稱中心的表達(dá)式化簡(jiǎn)，若存在這樣的，使得為的對(duì)稱中心，則，事實(shí)上，，于是即，解得，即存在使得是的對(duì)稱中心，C選項(xiàng)正確.方法二：直接利用拐點(diǎn)結(jié)論任何三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，，，，由，于是該三次函數(shù)的對(duì)稱中心為，由題意也是對(duì)稱中心，故，即存在使得是的對(duì)稱中心，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的，使得為的對(duì)稱軸，即存在這樣的使得，即，根據(jù)二項(xiàng)式定理，等式右邊展開式含有的項(xiàng)為，于是等式左右兩邊的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在這樣的，使得為的對(duì)稱軸，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選BC12．【答案】【詳解】由求導(dǎo)得，，依題意，①，②，聯(lián)立①，②，解得：或.當(dāng)，時(shí)，，，函數(shù)為增函數(shù)，顯然不符合題意，故舍去；當(dāng)，時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為增函數(shù)，故在處有極小值為，符合題意.13．【答案】【詳解】，由題意在上有解，即在上有解，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，所以在時(shí)取最大值，故，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.14．【答案】【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)，令，求導(dǎo)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時(shí)，即；在上單調(diào)遞增，此時(shí)，即，由對(duì)任意的，存在唯一的使得，得是的子集，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．15．【答案】(1)2880(2)960(3)840【分析】（1）根據(jù)題意先排甲，然后剩余的進(jìn)行全排列即可；（2）利用捆綁法，將女生甲和女生乙捆綁在一起，與除去男生甲和男生乙的其他人進(jìn)行全排列，然后男生甲和乙插空即可；（3）7個(gè)全排列后，除以甲、乙、丙的全排列數(shù)即可.【詳解】（1）分兩步，先排甲有種，其余有種，所以根據(jù)分步乘法原理知共有種排法.（2）分三步：①捆綁法，現(xiàn)將女生甲與女生乙捆綁在一起，有（種）；②將女生甲和女生乙看成整體，與其他人（除去男生甲和男生乙）排列，有（種）；③插空法，在其他人排好的基礎(chǔ)上，將男生甲和乙插空（共有5個(gè)空位置），有（種），所以根據(jù)分步乘法原理可知共有（種）.（3）7人共有種排法，其中甲、乙、丙三人有種排法，因而在種排法中每種對(duì)應(yīng)一種符合條件的排法，故共有種排法.【思路導(dǎo)引】求解排列組合問(wèn)題要遵循兩個(gè)原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事情發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分步．具體地說(shuō)，求解排列組合問(wèn)題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．16．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）將代入函數(shù)解析式，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求確定斜率，求確定切點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式即可求切線方程.（2）根據(jù)，確定函數(shù)，令，利用二次求導(dǎo)的方法確定的單調(diào)性，再根據(jù)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值，即，由此結(jié)論得證.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，得，又，所以切點(diǎn)為，所以切線方程為，即.（2）因?yàn)?，所以，所以，令，所以，令，所以，因?yàn)?，時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，即.17．【答案】(1)；(2)答案見解析.【詳解】（1），因?yàn)?，，所以的圖象在處的切線方程為，將代入得，解得.（2），當(dāng)時(shí)，，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得或；令，得，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，得或；令，得，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.18．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.【詳解】（1），令則.當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減.即的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2），，易知單調(diào)遞增，又，，∴在上存在一個(gè)，使得：，即：，且，當(dāng)，有單調(diào)遞減；當(dāng)，有單調(diào)遞增.∴，∴，∴函數(shù)的圖象在x軸上方.19．【答案】(1)答案見詳解；(2)(3)證明見詳解.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間，當(dāng)時(shí)，，隨的變化情況如下表所示，0所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間