廣東省江門市新會區(qū)第一中學2024−2025學年高二下學期期中考試 數學試題（含解析）

廣東省江門市新會區(qū)第一中學2024?2025學年高二下學期期中考試數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．在如圖所示的電路（規(guī)定只能閉合其中一個開關）中，接通電源使燈泡發(fā)光的方法有（

）種.

A．4 B．5 C．6 D．82．曲線在點處的切線的方程為（

）A． B．C． D．3．下列選項正確的是（） B．C． D．4．數列是等比數列，，，則（

）A． B． C． D．15．已知一個等差數列的項數為奇數，其中所有奇數項的和為290，所有偶數項的和為261.則此數列的項數為（

）A．15 B．17 C．19 D．216．已知函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．7．如圖是瑞典數學家科赫在1904年構造的能夠描述雪花形狀的圖案，圖形的作法是：從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊．反復進行這一過程，就得到一條“雪花”狀的曲線，設原正三角形（圖①）的邊長為2，把圖①，圖②，圖③，圖④中圖形的周長依次記為，則（

）A． B． C． D．8．定義在的函數的導函數為，已知且，則下列結論正確的是（

）A．在單調遞增 B．在單調遞減C．在上有極小值 D．在上有極大值二、多選題（本大題共3小題）9．若數列為等差數列，為前n項和，，，，下列說法中正確的有（

）A． B．C．和均為的最大值 D．10．已知函數的導函數的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．函數的圖象在的切線的斜率為0B．函數在上單調遞減C．是函數的極小值點D．是函數的極大值11．已知函數，則（

）A．在區(qū)間上單調遞增B．極大值點僅有一個C．無最大值，有最小值D．當時，關于的方程共有3個實根三、填空題（本大題共3小題）12．函數的單調遞增區(qū)間為.13．有個不同的正因數.14．在數列中，，，且對任意的，都有，則的通項公式為；若，則數列的前項和.四、解答題（本大題共5小題）15．兩個數列，，，已知數列為等比數列且，數列的前項和為，又滿足.(1)求數列，的通項公式；(2)記，求數列的前項和.16．已知函數在處有極值2.(1)求，的值：(2)求函數在區(qū)間上的最大值.17．已知函數.(1)討論的單調性；(2)當時，，討論的零點個數.18．已知數列的首項，且滿足.(1)設，求證：數列為等比數列；(2)設數列前n項和為，求；(3)若，求滿足條件的最大整數.19．已知函數．(1)當時，證明：；(2)證明：．

參考答案1．【答案】B【詳解】接通電源使燈泡發(fā)光的方案可分為兩類：第一類，閉合中的一個開關，共2種方法；第二類，閉合中的一個開關，共3種方法.根據分類加法計數原理可知.故選B.2．【答案】C【詳解】∵，∴，，根據導數的幾何意義可知曲線在處的切線的斜率，所以曲線在點處的切線方程為，即.故選C.3．【答案】C【詳解】對于選項A，故A錯誤；對于選項B，，故B錯誤；對于選項C，，故C正確；對于選項D，，故D錯誤；故選C.4．【答案】A【解析】分析出，再結合等比中項的性質可求得的值.【詳解】設等比數列的公比為，則，由等比中項的性質可得，因此，.故選A.5．【答案】C【詳解】設等差數列的項數為，設所有的奇數項和為，則，設所有的偶數項和為，則，由，解得，項數.故選C.6．【答案】B【詳解】函數，求導得，由函數在上單調遞減，得，，則，，而恒成立，因此，所以實數的取值范圍是.故選B.7．【答案】A【詳解】觀察圖形知，各個圖形的周長依次排成一列構成數列，從第二個圖形開始，每一個圖形的邊數是相鄰前一個圖形的4倍，邊長是相鄰前一個圖形的，因此從第二個圖形開始，每一個圖形的周長是相鄰前一個圖形周長的，即有，因此數列是首項，公比為的等比數列，故，則.故選A.8．【答案】C【詳解】令，則，即且為常數，又，則，故，所以，則，當時，即在上單調遞減，當時，即在上單調遞增，所以處取極小值.故選C.9．【答案】AC【詳解】，則，，則，因此，且，故A正確，B錯誤；而且均為的最大值，故C正確；，故，故D錯誤.故選AC.10．【答案】AD【詳解】由圖可知，所以函數的圖象在的切線的斜率為0，故A正確；由圖可知時，，所以函數在上單調遞增，故B錯誤；由圖可知時，，所以函數在上單調遞增，不是函數的極小值點，故C錯誤；由C選項可知函數在上單調遞增，由圖可知時，，所以函數在上單調遞減，故是函數的極大值點，是函數的極大值，故D正確．故選AD.11．【答案】BC【詳解】對于A選項，當時，，則，當時，，此時函數單調遞增，當時，，此時函數單調遞減，故A錯誤；對于B選項，由A選項知，函數在上有一個極大值點，當時，，則，此時函數單調遞增，當時，，此時函數有極小值點，無極大值點，綜上所述，函數僅有1個極大值點，故B正確；對于C選項，當時，，當時，，所以，函數的最小值為，函數無最大值，故C正確；對于D選項，如下圖所示：

由圖可知，當時，關于的方程共有4個實根，故D錯誤.故選BC.12．【答案】和【詳解】，令解得或從而的單調遞增區(qū)間為和13．【答案】【詳解】，它的正因數即為的冪的乘積，因此正因數個數為.14．【答案】【詳解】因為，，所以.因為，所以，又，則有，所以，所以是以4為首項，2為公比的等比數列.所以，所以，又，所以是以1為首項，1為公差的等差數列，所以，所以.由題意可得，則的奇數項為以為首項，為公比的等比數列；偶數項是以為首項，為公差的等差數列.所以當為偶數，且時，；當為奇數，且時，為偶數，.時，，滿足.所以，當為奇數，且時，有.綜上，.15．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）因為數列為等比數列，設數列的公比為，又，，所以，解得，所以，又數列的前項和為①，當時，②，由①②得到，又，，所以，則，滿足，所以.（2）由（1）知，所以.16．【答案】(1)(2)2【詳解】（1）因為函數在處有極值，且，所以，解得，故.（2）由（1）得：，，又，令，得，令，得，故在上單調遞減，在上單調遞增故的最大值是或，而，，故函數的最大值是2.17．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【詳解】（1）的定義域為R，.若，令，得或，令，得；若，令，得或，令，得.綜上，當時，在，上單調遞增，在上單調遞減；當時，在，上單調遞增，在上單調遞減.（2）當時，，令，則，令，則.當和時，，單調遞減；當時，，單調遞增.所以的極小值為，的極大值為，畫出函數的大致圖象，如圖，由圖可知，當或時，函數有1個零點；當或時，函數有2個零點；當時，函數有3個零點.18．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）由題意，數列滿足，可得，所以，又，所以，則為常數，所以數列是首項為，公比為的等比數列.（2）由（1）知數列是首項為，公比為的等比數列，所以.（3）由（1）知，所以，設數列的前項和為，則，若，即，令，則，所以數列為遞增數列，又，，所以滿足的最大整數的值為.19．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）要證，只需證，故令，則恒成立，即在上單調遞增，故，