廣東省2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期第一次學(xué)情聯(lián)合檢測數(shù)學(xué)試題（A-B卷）（含解析）

廣東省2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期第一次學(xué)情聯(lián)合檢測數(shù)學(xué)試題（A/B卷）一、單選題（本大題共8小題）1．直線的斜率為（

）A． B． C． D．2．若首項為1的數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．3．春節(jié)期間，包括小明，小紅在內(nèi)的5位同學(xué)去觀影，若5人同坐一排，則小明和小紅中間間隔兩位同學(xué)的情況有（

）A．18種 B．24種 C．36種 D．48種4．在三棱錐中，分別為線段的中點，為的重心，則（

）A．B．C．D．5．已知盒子中有5張不同的白色卡片和3張不同的紅色卡片，盒子中有4張不同的白色卡片和4張不同的紅色卡片，現(xiàn)從兩個盒子中各取2張卡片，則抽到2張紅色和2張白色卡片的不同取法為（

）A．238種 B．308種 C．318種 D．342種6．已知正項等比數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．15 B．31 C．63 D．1277．已知曲線，若點在上，則的最大值為（

）A． B．4 C． D．8．已知，若關(guān)于的不等式恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列選項正確的是（

）A． B．C． D．10．已知是拋物線的焦點，過點且傾斜角為的直線與交于兩點，則（

）A．B．C．D．以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線只有1個公共點11．若無窮數(shù)列存在滿足：①為等差數(shù)列；②為等比數(shù)列；③對任意正整數(shù)恒成立，則稱數(shù)列為“項等差-等比過渡循環(huán)數(shù)列”.已知前項和為的數(shù)列為“項等差-等比過渡循環(huán)數(shù)列”，且，，則（

）A．若，則B．若，則C．若，則的值可以為11D．不存在，使得三、填空題（本大題共3小題）12．已知，則.13．唐老師有語文，數(shù)學(xué)等6本不同學(xué)科的練習(xí)冊，平均分給3個同學(xué)，若甲同學(xué)不拿語文，則不同的分配方法有種.（用數(shù)字作答）14．已知首項為3的數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項和.四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù).(1)求曲線在處的切線方程；(2)求函數(shù)的極值.16．已知等差數(shù)列的前項和為，其中.(1)求數(shù)列的通項公式以及；(2)若數(shù)列滿足，證明：.17．如圖，正三棱柱的所有棱長均相等，其中為線段的中點，點在線段上，且四點共面.(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.18．已知橢圓過點，直線與交于兩點.(1)求的方程；(2)若，求的值；(3)已知的上，下頂點分別為，記直線交于點，證明：點在定直線上，并求出該直線方程.19．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，證明：；(2)當(dāng)且時，證明：；(3)若關(guān)于的不等式在上恒成立，求的取值范圍.

參考答案1．【答案】A【詳解】依題意，直線，故其斜率為.故選A.2．【答案】C【詳解】依題意，.故選C.3．【答案】B【詳解】依題意，第一種情況：小明和小紅排第一和第四位置排法有；第二種情況：小明和小紅排第二和第五位置排法有；所以共有種排法.故選B.4．【答案】A【詳解】依題意，，故選A.5．【答案】C【詳解】情況一：從盒中取張紅色卡片，從盒中取張白色卡片.從盒的張不同紅色卡片中取張，根據(jù)組合數(shù)公式，取法有種.從盒的張不同白色卡片中取張，取法有種.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，這種情況下的取法共有種.情況二：從盒中取張紅色卡片和張白色卡片，從盒中也取張紅色卡片和張白色卡片.從盒的張不同紅色卡片中取張，取法有種；從盒的張不同白色卡片中取張，取法有種.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，這種情況下的取法有種.從盒的張不同紅色卡片中取張，取法有種；從盒的張不同白色卡片中取張，取法有種.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，這種情況下的取法有種.再根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，這種情況下的取法共有種.情況三：從盒中取張白色卡片，從盒中取張紅色卡片.從盒的張不同白色卡片中取張，取法有種.從盒的張不同紅色卡片中取張，取法有種.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，這種情況下的取法共有種.根據(jù)分類加法計數(shù)原理，所求不同取法為.故選C.6．【答案】C【詳解】依題意，①，②，聯(lián)立①②解得（負(fù)值舍去），則數(shù)列的公比為2，，故.故選C.7．【答案】D【詳解】因為，所以曲線關(guān)于軸，軸，原點對稱，且時，曲線，所以，由對稱性，作出曲線的大致圖形如圖所示，當(dāng)時，，所以原點到圓上的距離最大值為，所以的最大值為.故選D.8．【答案】A【詳解】依題意，，即，則，令，可知在上單調(diào)遞增，則，則，故.設(shè)，則，故當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，取得最小值，故.故選A.9．【答案】BC【詳解】，故A錯誤；，故B正確；，故C正確；，故D錯誤.故選BC.10．【答案】ACD【詳解】已知是拋物線的焦點，則，解得，所以選項A正確.由可得拋物線方程為.過點且傾斜角為的直線的斜率，根據(jù)點斜式可得直線的方程為，即.將代入，可得，即.因為，是直線與拋物線的交點，根據(jù)韋達(dá)定理，，所以選項B錯誤.由拋物線的焦點弦長公式.由，根據(jù)韋達(dá)定理可得.因為，所以，，則.又因為，所以，所以選項C正確.設(shè)的中點為，分別過，，作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，根據(jù)拋物線的定義，拋物線上的點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離，則，.所以.這說明以為直徑的圓的圓心到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑，所以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線只有個公共點，所以選項D正確.故選ACD.11．【答案】ABD【詳解】可知等差數(shù)列的公差為，首項為，則；可知等比數(shù)列的公比為，首項為，則；若，則，由得，故A正確；因等比數(shù)列中任意一項均不為，則必屬于等差數(shù)列中的項，又因，故，其中，解得，故B正確；10為等差數(shù)列的第4項，故，故，則，可知當(dāng)時，不是正整數(shù)，故C錯誤；依題意，，故D正確.故選ABD.12．【答案】1【詳解】依題意，，則.13．【答案】60【詳解】將6本書分為3堆，共有種方法，若甲同學(xué)不拿語文，則有種方法，故所有的分配方法有60種.14．【答案】【詳解】依題意，，兩式相減可得，.因為，且，故，所以數(shù)列的奇數(shù)項是以首項為，公差為4的等差數(shù)列，同時數(shù)列的偶數(shù)項是以首項為，公差為4的等差數(shù)列，所以當(dāng)為偶數(shù)時，；同理可得，當(dāng)為奇數(shù)時，.綜上所述，15．【答案】(1)(2)極大值為，極小值為【詳解】（1）依題意，，而，故則所求切線方程為.（2）令，則或，當(dāng)時，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，在單調(diào)遞增.故的極大值為，極小值為.16．【答案】(1)，(2)證明見解析【詳解】（1）依題意，，故，則數(shù)列的公差，故，則.（2）證明：依題意，，故.17．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：因為平面平面，平面平面，平面平面，故.而平面平面，故平面.（2）取的中點，連接，易知兩兩相互垂直，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，由于，所以，由為中點，故為中點，故，.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，故，設(shè)直線與平面所成的角為，則.18．【答案】(1)(2)(3)證明見解析，【詳解】（1）依題意，解得故的方程為.（2）設(shè)，由得，所以，解得，所以，所以，解得（負(fù)值舍去），故.（3）證明：設(shè)，因為，且在同一條直線上，所以，又在同一條直線上，所以，所以，所以，即點在直線上.19．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【詳解】（1）當(dāng)時，，依題意，，則得，得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故.（2）由（1）可知恒成立，即，等號成立時，故在上恒成立，等號成立時，所以當(dāng)時，，令，則，即，故，累加得，故.（