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文檔簡介
安徽省安慶市示范高中2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題(本大題共8小題)1.若直線是曲線的一條切線,則實數(shù)()A. B. C. D.2.已知服從正態(tài)分布,當(dāng)時,關(guān)于的二項式的展開式的常數(shù)項為(
)A.1 B.4 C.6 D.123.已知點,平面過原點,且垂直于向量,則點到平面的距離是(
)A. B. C. D.4.山東煙臺蘋果因“果形端正、色澤艷麗、果肉甜脆、香氣濃郁”享譽國內(nèi)外.據(jù)統(tǒng)計,煙臺蘋果(把蘋果近似看成球體)的直徑X(單位:mm)服從正態(tài)分布,則估計蘋果直徑在內(nèi)的概率為(
)(附:若,則,.)A.0.6827 B.0.8413 C.0.9545 D.0.81865.函數(shù),若數(shù)列滿足,,且是遞增數(shù)列,則實數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.6.如圖,已知、雙曲線的左、右焦點,A、B為雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩點,且滿足,,則雙曲線的離心率為()
A. B. C. D.7.給出定義:設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).若方程有實數(shù)解,則稱為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“拐點”,且該“拐點”也是函數(shù)的圖象的對稱中心.若函數(shù),則(
)A. B. C. D.8.如圖,在某城市中,M?N兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng),其中???是道路網(wǎng)中位于一條對角線上的4個交匯處,今在道路網(wǎng)M?N處的甲?乙兩人分別要到N?M處,他們分別隨機地選擇一條沿街的最短路徑,以相同的速度同時出發(fā),直到到達N?M處為止,則下列說法錯誤的是(
)A.甲從M必須經(jīng)過到達N處的方法有9種B.甲?乙兩人相遇的概率為C.甲乙兩人在處相遇的概率為D.甲從M到達N處的方法有20種二、多選題(本大題共3小題)9.若,則(
)A. B. C. D.10.已知實數(shù)x,y滿足方程,則下列說法正確的是(
)A.的最大值為 B.的最大值為C.的最大值為 D.的最大值為11.對于函數(shù),下列說法正確的是(
)A.函數(shù)在處取得極大值 B.函數(shù)的值域為C.有兩個不同的零點 D.三、填空題(本大題共3小題)12.已知雙曲線E與雙曲線具有相同的漸近線,且經(jīng)過點,則雙曲線E的方程為.13.直線與曲線相切,則.14.甲罐中有4個紅球,4個白球和2個黑球,乙罐中有4個紅球,3個白球和3個黑球.先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐,再從乙罐中隨機取出一球,以表示由乙罐取出的球是紅球的事件,則的值為.四、解答題(本大題共5小題)15.已知數(shù)列的前項和為,若,且滿足().(1)求數(shù)列的通項公式;(2)證明:.16.某品牌汽車4S店對2020年該市前幾個月的汽車成交量進行統(tǒng)計,用表示2020年第月份該店汽車成交量,得到統(tǒng)計表格如下:123456781412202022243026(1)求出關(guān)于的線性回歸方程.(,精確到整數(shù))(2)利用回歸方程預(yù)測九月份的汽車成交量,并預(yù)測哪個月份成交量開始突破35輛.參考數(shù)據(jù)及公式:,,,.17.已知雙曲線的一條漸近線方程為,焦距為.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若O為坐標(biāo)原點,過的直線l交雙曲線C于A,B兩點,且的面積為,求直線l的方程.18.已知函數(shù),其中(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)恒成立,求a的值.19.已知函數(shù).(1)求出函數(shù)的極值;(2)若對于任意的,都有,求整數(shù)的最大值.
參考答案1.【答案】B【詳解】數(shù)的定義域為(0,+∞),設(shè)切點為(m,2lnm+1),則函數(shù)的導(dǎo)數(shù),則切線斜率,則對應(yīng)的切線方程為即且,即,則,則,故選B.2.【答案】D【詳解】因為服從正態(tài)分布,,所以,二項式的展開式的第項,令,可得,所以二項式的展開式的常數(shù)項為,故選D.3.【答案】D【詳解】由題意,,,則,所以點到平面的距離為.故選D.4.【答案】D【詳解】由知,,所以.故選D.5.【答案】D【詳解】由題意可知分段函數(shù)在每一段上為增函數(shù),且,即,解得,故實數(shù)a的取值范圍是.故選D.6.【答案】A【詳解】連接,由及雙曲線的對稱性知是矩形,由,,,則,,∴,∴離心率為,故選A.
【點睛】本題考查求雙曲線的離心率,列出關(guān)于關(guān)系式是?題關(guān)鍵.本題利用雙曲線的對稱性構(gòu)造矩形,然后結(jié)合雙曲線定義得出關(guān)系式,求得離心率.7.【答案】B【詳解】由,可得,令,可得,又,所以的圖像的對稱中心為,即,所以,故選B.8.【答案】B【詳解】對于甲,經(jīng)過到達有1種,經(jīng)過到達有種,經(jīng)過到達有種,經(jīng)過到達有1種,甲從M到達N處的方法共有20種,同理對于乙,經(jīng)過到達分別有種.對于A,甲從M必須經(jīng)過到達N處的方法有9種,A正確,對于B,甲乙兩人相遇的概率,B錯誤,對于C,甲乙兩人在處相遇的概率,C正確,對于D,甲從M到達N處的方法共有20種,D正確故選B.9.【答案】CD【詳解】由,令得,A選項錯誤.令得①,所以,C選項正確.令得②,①-②得,D選項正確.,所以,B選項錯誤.故選CD.10.【答案】ABD【詳解】圓,即,所以圓心為,半徑為.設(shè)圓上任意一點的坐標(biāo)為.即.A,,當(dāng)時,取得最大值為,A正確.B,,當(dāng)時,取得最大值為,B正確.C,如圖所示,當(dāng)過原點的直線與圓相切與第一象限時,最大.設(shè)切線的方程為,即,圓心到切線的距離為.所以的最大值為,C錯誤.D選項,,當(dāng)時,取得最大值為,D正確.故選ABD.11.【答案】ABD【詳解】函數(shù)的定義域為,求導(dǎo),令,解得:極大值所以當(dāng)時,函數(shù)有極大值,故A正確;對于BCD,令,得,即,當(dāng)時,,,則作出函數(shù)的抽象圖像,如圖所示:由圖可知函數(shù)的值域為,故B正確;函數(shù)只有一個零點,故C錯誤;又函數(shù)在上單調(diào)遞減,且,則,故D正確;故選ABD.12.【答案】【詳解】由題意不妨設(shè)與雙曲線具有相同的漸近線的雙曲線E的方程為,若雙曲線E經(jīng)過點,則,解得,所以雙曲線E的方程為.13.【答案】0或4/4或0【詳解】直線過點設(shè)切點,所以切線方程為:,由切線過點可得,解得得,
所以或.14.【答案】/【詳解】分別以,和表示由甲罐取出的球是紅球,白球和黑球的事件,則.15.【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】(1)依題意,可知(),當(dāng)時,由,可知,由,可得兩式相減可知,,即(),因此時,為公比為2的等比數(shù)列,故(),所以.(2)由(1)可知,,,當(dāng)時,,也符合該形式,因此(),.16.【答案】(1);(2)預(yù)計9月份的成交量為30輛,從12月份起成交量開始突破35輛.【詳解】解:(1)由題意得:,,∴,∴,所以回歸直線方程為.(2)當(dāng)時,即預(yù)計9月份的成交量為30輛,由得:,∴即從12月份起成交量開始突破35輛.17.【答案】(1)(2)或【詳解】(1)由題意得:,,,解得:,,,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)由題意可知,直線的斜率一定存在,設(shè)直線的方程為,,,,,聯(lián)立方程組,消去整理得,則,原點到直線的距離為,所以,解得或,故或,故直線方程為或18.【答案】(1)遞減區(qū)間是,遞增區(qū)間是;(2)2.【詳解】(1)函數(shù)的定義域為,求導(dǎo)得函數(shù),因,當(dāng)時,,當(dāng)時,,即函數(shù)在上遞減,在上遞增,所以函數(shù)的遞減區(qū)間是,遞增區(qū)間是.(2)由(1)知,函數(shù)在處取得最小值,,令,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,因此函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則,于是得恒成立,而恒成立,即恒成立,從而得,所以.19.【答案】
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