北京市順義區(qū)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期4月月考試卷含答案

/第一部分（選擇題共40分）一?選擇題（共10小題，每小題4分，共40分.選出符合題目要求的一項(xiàng)）1.若集合或，則（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】運(yùn)用集合的并集的定義，借助于數(shù)軸表示即得.【詳解】由或可知，.故選：C.2.設(shè)，若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于虛軸上，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算可得該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，由復(fù)數(shù)的幾何意義可解得.【詳解】根據(jù)題意可得，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，即在虛軸上，因此可得，即；故選：B3.下列函數(shù)既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，定義域?yàn)?，故是非奇非偶函?shù)，A錯(cuò)，對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，∴B不對(duì)，對(duì)于C，∵定義域?yàn)?，且為偶函?shù)，設(shè)，∵在上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，∴在上為增函數(shù)，∴C對(duì).對(duì)于D，∵為奇函數(shù)，∴D不對(duì).故選：C.4.若，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】對(duì)賦值，分別賦值，，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】由，令，則，即，令，則，即所以.故選：D.5.向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若向量與共線，則實(shí)數(shù)（）A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】先由圖得出用表示的式子，再根據(jù)向量共線的充要條件求之即得.【詳解】根據(jù)網(wǎng)格圖中的的大小與方向，易于得到，由向量與共線，可得，解得：.故選：D.6.已知，，且，，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合或分類討論進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由，即，，當(dāng)時(shí)，則有，此時(shí)，，，，則，，，，D選項(xiàng)符合；當(dāng)時(shí)，則有，此時(shí)，，，，則，，，，D選項(xiàng)符合；故選：D．7.若數(shù)列為等比數(shù)列，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】設(shè)出公比，先由得到，利用基本不等式可得，得到“”是“”的充分條件，再通過(guò)舉反例說(shuō)明“”不是“”的必要條件，故得結(jié)論.【詳解】因數(shù)列為等比數(shù)列，不妨設(shè)公比為，則，由可得，故，而，由知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，而，故，此時(shí)，故“”是“”的充分條件；由可得，則，而，故不一定能得到.如時(shí)，滿足，但是，故“”不是“”的必要條件.即“”是“”的充分不必要條件.故選：A.8.隨著北京中軸線申遺工作的進(jìn)行，古建筑備受關(guān)注.故宮不僅是世界上現(xiàn)存規(guī)模最大?保存最為完整的木質(zhì)結(jié)構(gòu)古建筑之一，更是北京中軸線的“中心”.圖1是古建筑之首的太和殿，它的重檐廡（w?）殿頂可近似看作圖2所示的幾何體，其中底面是矩形，，四邊形是兩個(gè)全等的等腰梯形，是兩個(gè)全等的等腰三角形.若，則該幾何體的體積為（）A.720 B. C. D.1080【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可將幾何體分割成一個(gè)直三棱柱和兩個(gè)全等的四棱錐，再由柱體和錐體的體積公式即可求得出結(jié)果.【詳解】由，可得；分別過(guò)點(diǎn)作垂直于，垂足分別為，如下圖所示：又底面是矩形，四邊形是兩個(gè)全等的等腰梯形，是兩個(gè)全等的等腰三角形，所以四邊形為全等的矩形，即，又，平面，所以平面；由平面可知平面平面；則三棱柱為直三棱柱，四棱錐和四棱錐為全等的四棱錐；易知，，又，可得；作，則可得即為四棱錐的高，且；所以可得，三棱柱的體積為，因此該幾何體的體積為.故選：B9.已知雙曲線的右頂點(diǎn)為M，以M為圓心，雙曲線C的半焦距為半徑的圓與雙曲線C的一條漸近線相交于A，B兩點(diǎn)．若，則雙曲線C的離心率為（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】做交于點(diǎn)，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，可得圓心M到漸近線的距離等于半徑的一半，即，再利用可得答案.【詳解】因?yàn)椋鐖D，做交于點(diǎn)，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，，所以圓心M到漸近線的距離等于半徑的一半，則，則，即，解得，則雙曲線C的離心率為．故選：D.10.分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的幾何學(xué)，它研究的幾何對(duì)象具有自相似的層次結(jié)構(gòu)，適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小幾何尺寸，整個(gè)結(jié)構(gòu)不變，具有很多美妙的性質(zhì).其中科赫（Koch）曲線是幾何中最簡(jiǎn)單的分形.科赫曲線的產(chǎn)生方式如下：如圖，將一條線段三等分后，以中間一段為邊作正三角形并去掉原線段生成1級(jí)科赫曲線“”，將1級(jí)科赫曲線上每一線段重復(fù)上述步驟得到2級(jí)科赫曲線，同理可得3級(jí)科赫曲線，……在分形幾何中，若一個(gè)圖形由個(gè)與它的上一級(jí)圖形相似，且相似比為的部分組成，則稱為該圖形分形維數(shù).那么科赫曲線的分形維數(shù)是（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意得出曲線是由把全體縮小的4個(gè)相似圖形構(gòu)成的，再根據(jù)題設(shè)條件即可得出結(jié)果.【詳解】由題意曲線是由把全體縮小的4個(gè)相似圖形構(gòu)成的，則其相似的分形維數(shù)是，故選：D.第二部分（非選擇題，共110分）二?填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11.函數(shù)的定義域是__________.【答案】【解析】【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)定義域及被開方數(shù)為非負(fù)解不等式即可得結(jié)果.【詳解】由的解析式可得，解得；所以其定義域?yàn)?故答案為：12.設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，直線，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，則__________.【答案】【解析】分析】根據(jù)拋物線方程可求得準(zhǔn)線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)，再由拋物線定義可得結(jié)果.【詳解】易知拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，如下圖所示：可設(shè)垂直于準(zhǔn)線的垂足為，根據(jù)拋物線定義可得，易知；所以.故答案為：13.已知直線（為常數(shù)）與圓交于點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，若的最小值為2，則__________.【答案】【解析】【分析】利用圓的弦長(zhǎng)公式表示出，即可根據(jù)最值求解.【詳解】可知圓心為，半徑．圓心到直線的距離：．由垂徑定理可知：，當(dāng)時(shí)，取得最小值，并且，故答案為：．14.已知函數(shù)，其中，若函數(shù)恒成立，則常數(shù)的一個(gè)取值為___________.【答案】1；答案不唯一；只要常數(shù)的取值不等于即可【解析】【分析】由三角函數(shù)的值域可知，當(dāng)且僅當(dāng)和同時(shí)取到時(shí)，等號(hào)成立；再根據(jù)正弦函數(shù)在（）取得最大值，聯(lián)立即可得到.【詳解】若函數(shù)，即存在使得和同時(shí)取到1，所以，即，所以，解得當(dāng)時(shí)，；因?yàn)?，所以，其中，則當(dāng)（）時(shí)，.故答案為：1；答案不唯一；只要常數(shù)的取值不等于即可.15.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之積等于，稱點(diǎn)的軌跡為雙紐線.雙紐線是瑞士數(shù)學(xué)家伯努利于1694年發(fā)現(xiàn)的.所以點(diǎn)的軌跡也叫做伯努利雙紐線.給出下列結(jié)論：①；②點(diǎn)的軌跡的方程為；③雙紐線關(guān)于坐標(biāo)軸及直線對(duì)稱；④滿足的點(diǎn)有三個(gè).其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________.【答案】①②【解析】【分析】先由雙紐線的定義求出其方程，從而可判斷選項(xiàng)②；由方程可得，從而可判斷選項(xiàng)①；根據(jù)對(duì)稱性的判斷方法在點(diǎn)的軌跡上任取點(diǎn)，判斷點(diǎn)是否也在曲線上，從而判斷選項(xiàng)③；由滿足的點(diǎn)在軸上，令，得從而可判斷選項(xiàng)④.【詳解】由雙紐線的定義可得，即即即即，即，所以②正確.由，則，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.即，所以，則，所以①正確.在點(diǎn)的軌跡上任取點(diǎn)，即有則點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，若雙紐線關(guān)于直線對(duì)稱，則點(diǎn)也在該曲線上，即所以，即，顯然對(duì)于該曲線上任意取的點(diǎn)不滿足.所以雙紐線不關(guān)于直線對(duì)稱，故③不正確.由，，若滿足，則點(diǎn)在軸上.在方程中，令，解得所以滿足的點(diǎn)為，故④不正確.故答案為：①②【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查曲線的軌跡及其性質(zhì)的問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是先由題意先求出點(diǎn)的軌跡的方程，然后分析其對(duì)稱性和范圍，屬于中檔題.三?解答題（共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程）16.在中，.（1）求的值；（2）從條件①?條件②?條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，求的值.條件①：；條件②：；條件③：，注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)可得，即可得；（2）對(duì)條件①②③的組合進(jìn)行分類討論可知，只有選擇①③才滿足題意，計(jì)算可得，再由正弦定理可得.【小問(wèn)1詳解】由利用正弦定理可得，即，易知，所以，可得，又，所以；【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，即；若選擇①②，由可知，又，可知，顯然該三角形不存在；若選擇②③，則，即；又，可得；聯(lián)立可知該方程無(wú)解，所以只能選擇①③,由①得，又可得；此時(shí)，解得；由正弦定理可得，即.17.根據(jù)《國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》，高三男生和女生立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)等級(jí)如下（單位：cm）：立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)等級(jí)高三男生高三女生優(yōu)秀及以上及以上良好~~及格~~不及格及以下及以下從某校高三男生和女生中各隨機(jī)抽取名同學(xué)，將其立定跳遠(yuǎn)測(cè)試成績(jī)整理如下（精確到）：男生女生假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且每個(gè)同學(xué)的測(cè)試成績(jī)相互獨(dú)立．（1）分別估計(jì)該校高三男生和女生立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)的優(yōu)秀率；（2）從該校全體高三男生中隨機(jī)抽取人，全體高三女生中隨機(jī)抽取人，設(shè)為這人中立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)等級(jí)為優(yōu)秀的人數(shù)，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望；（3）從該校全體高三女生中隨機(jī)抽取人，設(shè)“這人的立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)既有優(yōu)秀，又有其它等級(jí)”為事件，“這人的立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)至多有個(gè)是優(yōu)秀”為事件．判斷與是否相互獨(dú)立．（結(jié)論不要求證明）【答案】（1）（2）（3）與相互獨(dú)立【解析】【分析】（1）樣本中立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)等級(jí)獲得優(yōu)秀的男生人數(shù)為，獲得優(yōu)秀的女生人數(shù)為，計(jì)算頻率得到優(yōu)秀率的估計(jì)值；（2）由題設(shè)，的所有可能取值為．算出對(duì)應(yīng)概率的估計(jì)值，得到的數(shù)學(xué)期望的估計(jì)值；（3）利用兩個(gè)事件相互獨(dú)立的定義判斷即可.【小問(wèn)1詳解】樣本中立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)等級(jí)獲得優(yōu)秀的男生人數(shù)為，獲得優(yōu)秀的女生人數(shù)為，所以估計(jì)該校高三男生立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)的優(yōu)秀率為；估計(jì)高三女生立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)的優(yōu)秀率為．【小問(wèn)2詳解】由題設(shè)，的所有可能取值為．估計(jì)為；估計(jì)為；估計(jì)為；估計(jì)為．估計(jì)的數(shù)學(xué)期望．【小問(wèn)3詳解】估計(jì)為；估計(jì)為；估計(jì)為，，所以與相互獨(dú)立．18.在三棱柱中，平面平面為正三角形，分別為和的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)為，可證明四邊形是平行四邊形，再由線面平行的判定定理即可得出結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系求出平面的法向量，即可求得與平面所成角的正弦值為.【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)為，連接，如下圖所示：又分別為和的中點(diǎn)，可知，且，由三棱柱性質(zhì)可知,且，即可得，所以四邊形是平行四邊形，即可得；又平面，平面，所以平面；【小問(wèn)2詳解】易知，又平面平面，平面平面，可得平面，又平面，所以，又因?yàn)?，，且平面，所以平面；由平面，所以；即可知三條線兩兩垂直，取的中點(diǎn)為，連接，可知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：易知，為的中點(diǎn)可得；可得，；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，即設(shè)與平面所成的角為，則；所以與平面所成角的正弦值為.19.已知分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，且（1）求橢圓的方程；（2）若為直線上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不在軸上），連接交橢圓于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，試問(wèn)是否存在，便得成立，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）存在，3【解析】【分析】（1）依題意，易得的值，求出值，即得橢圓方程；（2）設(shè)點(diǎn)，得直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和題設(shè)條件證明直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，將面積分割轉(zhuǎn)化化簡(jiǎn)即可求得的值.【小問(wèn)1詳解】依題意，，，則，故，于是，橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】如圖，設(shè)點(diǎn)，又，則直線的方程為：，代入方程整理得：，設(shè)，由韋達(dá)定理，，解得：，則.又因，則直線的方程為：，代入方程整理得：，設(shè)，由韋達(dá)定理，，得：，且,故直線的斜率為，則直線的方程為：，將上述的表達(dá)式代入，即得直線的方程為：，化簡(jiǎn)可得：，因，故直線恒過(guò)定點(diǎn).于是因，，故.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用中的定點(diǎn)問(wèn)題的求解，求解此類問(wèn)題的基本思路如下：①設(shè)出直線方程，將其與橢圓方程聯(lián)立，整理成關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量之間的數(shù)量關(guān)系，同時(shí)得到韋達(dá)定理；③利用韋達(dá)定理表示出題設(shè)中的等量關(guān)系，化簡(jiǎn)整理得到所求的定點(diǎn).20已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線的方程；（2）若函數(shù)在處取得極大值，求a的取值范圍；（3）若函數(shù)存在最小值，直接寫出a的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)后求出切線的斜率，然后求出直線上該點(diǎn)的坐標(biāo)即可寫出直線方程；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最值分類討論；（3）分情況討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和極限求解.【小問(wèn)1詳解】，所以：切點(diǎn)為，又，所以：，所以：切線方程為.【小問(wèn)2詳解】定義域?yàn)镽，，①當(dāng)時(shí)，，令得，所以：?jiǎn)握{(diào)遞增區(qū)間為；令得，所以單調(diào)遞減區(qū)間為；所以：在取極大值，符合題意．②當(dāng)時(shí)，由，得：，，，變化情況如下表：0－0+0－減極小值增極大值減所以：在處取得極大值，所以：符合題意．③當(dāng)時(shí)，由，得：，，（i）當(dāng)即時(shí)，，變化情況如下表：0+0－0+增極大值減極小值增所以：在處取得極小值，不合題意．（ⅱ）當(dāng)即時(shí)，在R上恒成立，所以：在R上單調(diào)遞增，無(wú)極大值點(diǎn)．（iii）當(dāng)，即時(shí)，，變化情況如下表：0+0－0+增極大值減極小值增所以：處取得極大值，所以：合題意．綜上可得：的取值范圍是．【小問(wèn)3詳解】詳解如下：根據(jù)（2）知可分三種情況：①，②，③：①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，無(wú)最小值.②當(dāng)時(shí)，當(dāng)，趨向時(shí)，趨向于，當(dāng)，要使函數(shù)取得存在的最小值，即：，解得：，故時(shí)，取得最小值，故的取值范圍為.③當(dāng)時(shí)，在趨向時(shí)，趨向于，又因?yàn)闀r(shí)，取到極小值，，故無(wú)最小值.綜