專題（十三）分式方程各種解的問題 講義 2022-2023學(xué)年滬科版數(shù)學(xué)七年級下冊

專題（十三）分式方程各種解的問題選點內(nèi)容１.已知分式方程的解為正數(shù)、負數(shù)、非負數(shù)，求待定字母（參數(shù)）的取值范圍.２.已知分式方程的解為整數(shù)，求待定字母（參數(shù)）的值３.已知分式方程有增根或無解,求待定字母（參數(shù)）的值：（1）已知分式方程有增根,求待定字母（參數(shù)）的值；（2）已知分式方程無解,求待定字母（參數(shù)）的值.典型例題（一）已知分式方程的解為正數(shù)、負數(shù)、非負數(shù)，求待定字母（參數(shù)）的取值范圍.【典例1】已知分式方程1x?2+3=k?22?x有正數(shù)根，則k的取值范圍為【解析】解：去分母得：1+3x?6=2?k，解得：x=7?k由分式方程的解為正數(shù)，得到7?k>0，解得k<7，又x?2≠0，∴7?k3≠2∴k<7且k≠1．【重難點剖析】將分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，計算出分式方程的解，由分式方程的解為正數(shù)且不等于2，求出k的范圍．注意：分式方程在任何時候都要考慮分母不為0?！咀兪揭弧恳阎P(guān)于x的分式方程x+kx+1?kx?1=1的解為非正數(shù)，則k【分析】此題考查了解分式方程．分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程的解為非正數(shù)求出k的范圍即可．【解答】解：去分母得：(x+k)(x?1)?k(x+1)=(x+1)(x?1)，整理得：x2解得：x=1?2k，由分式方程的解為非正數(shù)，得到1?2k≤0，且1?2k≠±1，解得：k≥且k≠1，故答案為k≥且k≠1．

（二）已知分式方程的解為整數(shù)，求待定字母（參數(shù)）的值【典例1】已知關(guān)于x的方程3x=k3?x的解是正整數(shù)，且k為整數(shù)，則k的值是【解析】解：方程3x=k即kx+3x=9，∴x=9因為原分式方程的解為正整數(shù)，且x≠3．所以x=9k+3=1、2、4、5、6、7、8又因為k為整數(shù)，所以k=?2或6．【重難點剖析】解出的分式方程，用含k的代數(shù)式表示x.再根據(jù)解為正整數(shù)、k為整數(shù)求出k的值．本題的關(guān)鍵點：不僅要考慮解為正整數(shù)，而需考慮x=3時分式無意義．【變式一】若關(guān)于x的不等式組x?a<13x+1?2(x+2)的解集是x≤3，且關(guān)于x的分式方程5x?2?3?2a2?x=a?1有整數(shù)解，則符合條件的所有實數(shù)A.10 B.12 C.14 D.16【解析】解：解不等式組x?a<13x+1≤2(x+2)，得x<a+1∵不等式組的解集是x≤3，∴a+1>3，∴a>2，解分式方程5x?2?3?2a2?x=a?1∵x為整數(shù)，且a>2，∴a的可取值為3，7，3+7=10．故選A．

【變式二】若a＝3b，且a、b為正整數(shù)，當(dāng)分式方程a2x+3?b?x【解答】把a＝3b代入分式方程a2x+33b2x+3方程兩邊同時乘以（2x+3）（x﹣5），3b（x﹣5）+（x﹣b）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5）整理得：（10+b）x＝18b﹣15∴x=∵18b?1510+b=18(b+10)?195∴10+b必為195的因數(shù)，10+b≥11∵195＝3×5×13∴195的因數(shù)有1、3、5、13、15、39、65、195但1、3、5小于11，不合題意，故10+b可以取13、15、39、65、195這五個數(shù)．對應(yīng)地，方程的解x為3、5、13、15、17由于x＝5為分式方程的增根，故應(yīng)舍去．對應(yīng)地，b只可以取3、29、55、185所以滿足條件的b可取3、29、55、185這四個數(shù)．三、已知分式方程有增根或無解,求待定字母（參數(shù)）的值：（1）已知分式方程有增根,求待定字母（參數(shù)）的值；（2）已知分式方程無解,求待定字母（參數(shù)）的值.【典例1】關(guān)于x的分式方程a?32?x=1有增根，則A．﹣1 B．5 C．1 D．3【解析】去分母，得：a﹣3＝2﹣x，由分式方程有增根，得到2﹣x＝0，即x＝2，把x＝2代入整式方程，可得：a＝3．故選：D．【重難點剖析】首先把所給的分式方程化為整式方程，然后根據(jù)分式方程有增根，得到2﹣x＝0，據(jù)此求出x的值，代入整式方程求出a的值即可．【典例2】若分式方程x?3x?2=m2?x無解，則m=【解析】解：方程去分母得：x?3=?m，解得：x=3?m，∴當(dāng)x=2時分母為0，方程無解，即3?m=2，∴m=1時方程無解．【重難點剖析】本題考查了分式方程無解的條件，是需要識記的內(nèi)容．分式方程無解的條件是：去分母后所得整式方程無解，或解這個整式方程得到的解使原方程的分母等于0．【變式一】解關(guān)于x的分式方程1x?1+1=m1?x時不會產(chǎn)生增根，則【解答】1x?11+x﹣1＝﹣m，x＝﹣m，當(dāng)x﹣1＝0時分式方程有增根，∴x＝1，把x＝1代入x＝﹣m，得m＝﹣1，∵分式方程不會產(chǎn)生增根，∴m≠﹣1，故答案為：m≠﹣1．【變式二】已知分式方程ax+2+5x=4【分析】本題主要考查了分式方程無解的情況，需要考慮周全，不要漏解，難度適中．根據(jù)題意得出方程無解時x的值，注意多種情況，依次代入得出a的值．【解答】解：去分母得ax+5x+10=4．則(a+5)x=?6，∵關(guān)于x的分式方程ax+2(1)x(x+