安徽省蕪湖市2025屆高三下學(xué)期5月二模試題 數(shù)學(xué) 含解析

2025屆蕪湖市高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)測數(shù)學(xué)試題卷本試題卷共4頁，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘注意事項(xiàng)：1.答卷前，務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、考場/座位號、班級、準(zhǔn)考證號填寫在答題卷上，將條形碼橫貼在答題卷右上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卷上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試題卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答無效.4.考生必須保證答題卷的整潔，考試結(jié)束后，將試題卷和答題卷一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.3.若，其中為虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.14.一組數(shù)11，13，15，26，29，30，32，33，36，若去掉11和36，則該組數(shù)以下哪個(gè)數(shù)字特征不變（）A.平均數(shù) B.中位數(shù) C.方差 D.極差5.已知角和角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊均與軸非負(fù)半軸重合，終邊關(guān)于直線對稱，則（）A. B. C.0 D.16.四個(gè)不同的正整數(shù)滿足，則的最大值是（）A.8099 B.8100 C.8101 D.81027.已知軸截面為等邊三角形的圓錐與其內(nèi)切球表面的交線為（除圓錐底面圓心外），所在的平面將圓錐分成上下兩部分，則上下兩部分幾何體的體積之比為（）A. B. C. D.8.已知F為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，為C的一條漸近線，若F關(guān)于l的對稱點(diǎn)在C上，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.2二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在中，已知，，則此三角形面積可能為（）A. B. C.12 D.1510.已知函數(shù)，則（）A.的定義域?yàn)?B.為偶函數(shù)C.為單調(diào)遞增函數(shù) D.11.如圖，在正方體中，為過正方體的任意兩個(gè)頂點(diǎn)的直線，則（）A.S有56個(gè)元素 B.若，則滿足平面概率為C.S中有4個(gè)元素與正方體所有棱的夾角相等 D.若，則，為異面直線的概率為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，滿足，且，，則與所成角的大小為__________.13.已知有限集合，定義集合中的元素的個(gè)數(shù)為集合A的“容量”，記為.若集合，且，則正整數(shù)n的值是_________.14.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則__________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）保持的各項(xiàng)順序不變，在和之間插入k個(gè)1，使它們與數(shù)列的項(xiàng)組成一個(gè)新的數(shù)列，記的前n項(xiàng)和為，求.16.已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，證明：.17.已知圓心在軸上移動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)，且與軸，軸分別交于，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若圓與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，且圓與軸相切于點(diǎn)，求圓的半徑.18.在四棱臺(tái)中，，，，，.（1）證明：.（2）若四棱臺(tái)的體積為7，（i）求直線與平面所成角的正弦值；（ii）若為棱上一動(dòng)點(diǎn)，求平面與平面所成角余弦值最大值.19.某人工智能芯片需經(jīng)過兩道獨(dú)立的性能測試.首次測試（測試I）通過率為，末通過測試I的芯片進(jìn)入第二次測試（測試II），通過率為.通過任意一次測試即為合格芯片，否則報(bào)廢.（1）若某批次生產(chǎn)了n枚芯片，合格數(shù)為隨機(jī)變量X.當(dāng)，時(shí)，求X的期望與方差；（2）已知一枚芯片合格，求其是通過測試I的概率；（3）為估計(jì)（2）中的，工廠隨機(jī)抽取m枚合格芯片，其中k枚為通過測試I.記.若要使得總能不超過0.1，試根據(jù)參考內(nèi)容估計(jì)最小樣本量.參考內(nèi)容：設(shè)隨機(jī)變量X期望為，方差為，則對任意，均有.

2025屆蕪湖市高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)測數(shù)學(xué)答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.A解析：因?yàn)榧?，，所以，故選：A.2.D解析：由全稱命題的否定可得命題“”的否定是“”.故選：D3.D解析：，則.故選：D.4.B解析：對于A，去掉前的平均數(shù)為，去掉后的平均數(shù)為，故A錯(cuò)誤；去掉最小的數(shù)和最大的數(shù)對中位數(shù)無影響，故B正確；對于C，去掉前的方差為，去掉后的方差為，故C錯(cuò)誤；對于D，去掉前的極差為，去掉后的極差為，故D錯(cuò)誤.故選：B.5.C解析：由題意可得，則.故選：C.6.C解析：6的正因數(shù)為1,2,3,6，但需要四個(gè)不同的整數(shù)，因此必須包含負(fù)因數(shù)，因此因數(shù)有兩負(fù)兩正，為使最大且無重復(fù)數(shù)字，則要求最小且無重復(fù)數(shù)字，則分解方式為，此時(shí)和為，此時(shí)，從而，.故選：C.7.B解析：如圖，作出圓錐的軸截面，設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為，切、、于、、，因?yàn)闉榈冗吶切危?、、分別為、、的中點(diǎn)，設(shè)與交于點(diǎn)，的邊長為，則，，，則圓錐與其內(nèi)切球表面的交線為（除圓錐底面圓心外）為圓錐的母線的中點(diǎn)所在的圓，所在的平面將圓錐分成上下兩部分，此時(shí)上部分圓錐的底面半徑為，高為，又圓錐的底面半徑為，高為，所以上部分圓錐的體積與圓錐的體積之比為，所以所在的平面將圓錐分成上下兩部分，則上下兩部分幾何體的體積之比為.故選：B8.B解析：由雙曲線對稱性，不妨設(shè)，，點(diǎn)F關(guān)于l的對稱點(diǎn)為，則有，解得，則有，整理得，即，化簡得，故，則.故選：B.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.AC解析：因?yàn)?，，則，，所以，因?yàn)?，所以故三角形的面積，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故，則此三角形面積的最大值為12.因?yàn)?，所以A，C正確,故選：AC.10.ABD解析：對于選項(xiàng)A：因?yàn)閷?shù)的真數(shù)大于0，故，故定義域?yàn)?，故選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B:因?yàn)?，定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，又，且，故為偶函數(shù)，故選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C：因?yàn)椋?，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D：令，求導(dǎo)得，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，故選項(xiàng)D正確；故選：ABD11.BCD解析：在正方體中，共有8個(gè)頂點(diǎn)，任取兩個(gè)頂點(diǎn)組合共有條直線，所以S有28個(gè)元素，故A錯(cuò)；滿足平面的有，所以滿足平面的概率為，故B正確；根據(jù)正方體性質(zhì)易知四條體對角線與所有棱的夾角相等，故C正確；對應(yīng)D，S有28個(gè)元素，12條棱，12條面對角線，4條體對角線，任取2條共有種，與棱異面的直線有：共12條，所以與棱異面的有；與面對角線異面有：共13條，與面對角線異面的有；與體對角線異面的有：共12條，所以與體對角線異面有；即任選2條異面的共有：種，概率，故D正確，故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.解析：由題得，則與的夾角的余弦為，而與的夾角的范圍為，故夾角為.故答案為：.13.2025解析：若集合，則集合，故，解得.故答案為：14.解析：由題意可設(shè)，，則，，，，則、中點(diǎn)與、中點(diǎn)均為，，由，，，四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，故為圓心，，則，，即有，則，又，則.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（1）由，得，則，即，又，滿足，所以，所以是首項(xiàng)是，公比為等比數(shù)列，故；（2）由題知，數(shù)列的其余項(xiàng)為1，則.16.（1）定義域，，①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，②當(dāng)時(shí)，令得，令，得，令，得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）法一：要證即證，設(shè)，即，設(shè)，則，令得，令得，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以，所以成立，所以得證.法二：設(shè)，則，因?yàn)?，所以，令，則，則單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，所以在上存在唯一零點(diǎn)，當(dāng)，，故，當(dāng)，，故，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則，其中，所以，所以，即得證.17.（1）因?yàn)閳A經(jīng)過軸上的兩點(diǎn)和，所以圓心為的中點(diǎn)，又因?yàn)樵搱A經(jīng)過點(diǎn)和，所以化簡得，所以點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）設(shè)圓的半徑為，且不妨設(shè)圓心在軸的上方，因?yàn)閳A與軸相切于點(diǎn)，所以圓心，圓的方程為，聯(lián)立消去得，于是，因?yàn)閳A與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，所以恰有一個(gè)正數(shù)y滿足，記，，令，得；令，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取到最小值，因此當(dāng)時(shí)，沒有正數(shù)解；當(dāng)時(shí)，恰有一個(gè)正數(shù)解；當(dāng)時(shí)，因?yàn)楫?dāng)和時(shí)均可任意大總有兩個(gè)正數(shù)解.綜上，.18.（1）在中，，所以，所以，即，因?yàn)?，，平面，所以平面，平面，所?因?yàn)椋?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?（2）因?yàn)?，，所以，所?（i）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，，所以，因?yàn)椋瑒t，所以直線與平面所成角的正弦值為.（ii），則，設(shè)，，設(shè)平面法向量，則，即，令，得，所以，由題意可得平面的法向量，所以，即平面與平面所成角余弦值為，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取得最大值，所以平面與平面所成角余弦值的最大值為.19.（1）每個(gè)芯片通過測試的合格率為，，則，；（2）解法一：記事件A：通過測試I，事件B：通