專題10函數與導數小題綜合-2024年高考數學沖刺雙一流之小題必刷滿分沖刺

專題10函數與導數小題綜合一、單選題1．（2023·安徽合肥·合肥一六八中學校考模擬預測）定義在上的函數滿足，且當時，.當時，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據已知計算出，畫出圖象，計算，解得，從而求出的最小值.【詳解】由題意得，當時，故，當時，故，可得在區(qū)間上，，所以當時，，作函數的圖象，如圖所示，

當時，由，則，所以的最小值為故選：B2．（2023·安徽安慶·安慶市第二中學?？级＃┖瘮档牟糠謭D象大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】代入特殊點及結合函數的性質分析即可.【詳解】由解析式可得，，排除A；觀察C、D選項，其圖象關于縱軸對稱，而，說明不是偶函數，即其函數圖象不關于縱軸對稱，排除C、D；顯然選項B符合題意.故選：B3．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預測）19世紀美國天文學家西蒙·紐康在翻閱對數表時，偶然發(fā)現(xiàn)表中以1開頭的數出現(xiàn)的頻率更高．約半個世紀后，物理學家本·福特又重新發(fā)現(xiàn)這個現(xiàn)象，從實際生活得出的大量數據中，以1開頭的數出現(xiàn)的頻數約為總數的三成，并提出本·福特定律，即在大量進制隨機數據中，以開頭的數出現(xiàn)的概率為，如斐波那契數、階乘數、素數等都比較符合該定律．后來常有數學愛好者用此定律來檢驗某些經濟數據、選舉數據等大數據的真實性．若（，），則的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】結合條件及對數的運算法則計算即可.【詳解】依題意，得，又，故．故選：B．4．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）標準的圍棋共行列,個格點，每個點上可能出現(xiàn)“黑”“白”“空”三種情況，因此有種不同的情況，而我國北宋學者括在他的著作《夢溪筆談》中，也論過這個問題，他分析得出一局圍棋不同的變化大約有“連書萬字五十二”，即，下列數據最接近的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題意，結合對數的運算，即可得到結果.【詳解】由題意，對于，有，所以，分析選項B中與其最接近.故選：B5．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學?？寄M預測）狄利克雷（1805~1859）Dirichlet，PeterGustavLejeune德國數學家.對數論、數學分析和數學物理有突出貢獻，是解析數論的創(chuàng)始人之一.他提出了著名的狄利克雷函數，狄利克雷函數是數學分析中典型的病態(tài)函數.則關于有以下結論中不正確的是（

）A．B．C．存在使得以點為頂點的三角形是等腰直角三角形D．設函數，則【答案】C【分析】結合定義，根據選項，討論的情況，即可判斷選項.【詳解】A.若為有理數，則都是有理數，則，若是無理數，則都是無理數，則，故A正確；B.若為有理數，，則都是有理數，則，若為無理數，，則都是無理數，則，故B正確；.設①當在軸上，則為無理數，且，則為無理數，矛盾②當不在軸上，則和為有理數，則為無理數，矛盾，均不存在，故C錯誤；

.，故，故D正確.故選：C6．（2023·安徽滁州·安徽省定遠中學?？寄M預測）已知函數，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】確定函數的圖象關于中心對稱，在上單調遞減，且，不等式轉化為或或，解得答案.【詳解】依題意，，，故，故函數的圖象關于中心對稱，當時，，，單調遞減，故在上單調遞減，且，函數的圖象關于中心對稱，在上單調遞減，，而，故或或，解得或，故所求不等式的解集為，故選：B.7．（2023春·安徽滁州·高三安徽省定遠中學?？茧A段練習）中國茶文化源遠流傳，博大精深，茶水的口感與茶葉的類型和水的溫度有關，某種綠茶用的水泡制，再等到茶水溫度降至時飲用，可以產生最佳口感．為了控制水溫，某研究小組聯(lián)想到牛頓提出的物體在常溫下的溫度變化冷卻規(guī)律：設物體的初始溫度是，經過后的溫度是，則，其中表示環(huán)境溫度，表示半衰期．該研究小組經過測量得到，剛泡好的綠茶水溫度是，放在的室溫中，以后茶水的溫度是，在上述條件下，大約需要放置多長時間能達到最佳飲用口感？結果精確到，參考數據（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據已知條件列出關于的方程組可得答案.【詳解】由題意可得方程組：，化簡可得：，所以，大約需要放置能達到最佳飲用口感．故選：B.8．（2023·安徽黃山·屯溪一中?？寄M預測）已知函數，分別與直線交于點，，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】依題意，表示出兩點坐標和，構造函數，利用導數研究單調區(qū)間和最值.【詳解】

由題意，，，其中，且，所以，令，，則時，解得，所以時，；時，；則在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，，故選：B．9．（2023·安徽黃山·統(tǒng)考三模）已知定義域為的函數，其導函數為，且滿足，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】構造函數，由得，進而判斷函數的單調性，判斷各選項不等式.【詳解】，則，因為在上恒成立，所以在上恒成立，故在上單調遞減，所以，，故A不正確；所以，即，即，故B不正確；，即，即，故C正確；，即，即，故D不正確；故選：C.10．（2023·安徽阜陽·安徽省臨泉第一中學?？既＃┮阎?，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指數式和對數式的互換得到，，然后利用作差法和基本不等式比較大小即可.【詳解】由已知得，，又，所以.故選：D.11．（2023春·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學校考專題練習）偶函數與其導函數的定義域均為R，在間[2023，2024]上單調遞減，對任意x∈R恒有成立，若，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由是偶函數，得到的圖象關于對稱，記，由，設為常數，即，的圖象關于點對稱，易證是以4為周期的周期函數，再根據在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增求解.【詳解】解：是偶函數，的圖象關于對稱，記，則，不妨設為常數，即，的圖象關于點對稱，易證是以4為周期的周期函數.又在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增..記，則，在上單調遞增，，當時，有，又，.故選：A12．（2023·安徽阜陽·安徽省臨泉第一中學?？既＃┰O函數的定義域為，為偶函數，為奇函數，則一定有（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據題意，由函數的奇偶性可得其周期，然后結合其周期性代入計算，即可得到結果.【詳解】由為偶函數，故，即，所以圖像關于對稱；為奇函數，故為奇函數，圖像關于對稱，圖像關于對稱.是周期為的函數.，則可得函數的大致圖像，如圖所示，

則，，，，.故選：C.13．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學?？寄M預測）若為奇函數，則（

）A．3 B．2 C． D．【答案】C【分析】根據奇函數定義域的對稱性求解.【詳解】因為函數為奇函數，所以的定義域關于原點對稱，顯然當時，沒意義，所以當時，也沒意義，但是有意義的，所以必定是，即，，，即，則，是奇函數，；故選：C.14．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學校考模擬預測）已知，其中，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】因為，，，可化為，，，所以可設，利用導數研究其單調性，利用單調性可比較大小.【詳解】由，可得，即，由，可得，即，由，可得，所以可構造函數，則，，，因為，當時，，當時，，故在上單調遞減，在上單調遞增，因為在上單調遞增，所以，故，因為在上單調遞減，，故，因為，，所以，因為在上單調遞減，，故，從而.故選：C.15．（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預測）已知函數與的定義域均為，為偶函數，且，，則下面判斷錯誤的是(

)A．的圖象關于點中心對稱B．與均為周期為4的周期函數C．D．【答案】C【分析】由為偶函數可得函數關于直線軸對稱，結合和可得的周期為4，繼而得到的周期也為4，接著利用對稱和周期算出對應的值即可判斷選項【詳解】因為為偶函數，所以①，所以的圖象關于直線軸對稱，因為等價于②，又③，②+③得④，即，即，所以，故的周期為4，又，所以的周期也為4，故選項B正確，①代入④得，故的圖象關于點中心對稱，且，故選項正確，由，可得，且，故，故，因為與值不確定，故選項錯誤，因為，所以，所以，故，故，所以選項D正確，故選:.16．（2023·安徽滁州·安徽省定遠中學?？级＃┰O，，，則（

）A．a＜b＜c B．c＜b＜aC．c＜a＜b D．a＜c＜b【答案】D【分析】構造函數，根據導數探究單調性，即可判斷和的大??；構造函數，再令，通過二次求導探究單調性，即可判斷和的大小.【詳解】由，，，得，，，構造函數，則，當時，x＝1，時，，單調遞減；時，，單調遞增，在x＝1處取最小值，時，，即，取，得，，，即；設，則，令，，因為當時，令，，單調遞減，又時，，則，即，所以，因為當時，，所以當時，，函數單調遞增，又，所以，即，所以當時，函數單調遞增，所以，即，，即，.故選：D【點睛】關鍵點睛：本題考查構造函數，利用導函數探究單調性來比較大小，考查求導運算，屬于中檔題.17．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預測）已知函數、是定義域為的可導函數，且，都有，，若、滿足，則當時下列選項一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】構造函數，求出新函數導數，根據題意可知新函數為單調遞減函數，由此可知，即可判斷出A、B選項；構造和可判斷出C、D選項.【詳解】由題意：，設，則，由得，因為，所以，又、是定義域為的恒大于0的可導函數，故，B錯誤，，A錯誤；，因為，不知道正負，所以C不一定成立；，即，D正確.故選：D.【點睛】函數的單調性是函數的重要性質之一，它的應用貫穿于整個高中數學的教學之中.某些數學問題從表面上看似乎與函數的單調性無關，但如果我們能挖掘其內在聯(lián)系，抓住其本質，那么運用函數的單調性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數的單調性進行全面、準確的認識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據題目的特點，構造一個適當的函數，利用它的單調性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.18．（2023春·安徽池州·高三池州市第一中學?？茧A段練習）間的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】構造函數，利用導數與函數單調性的關系證得；利用二項式定理證得，再構造函數證得，從而得到；構造函數，證得，從而得到；由此得解.【詳解】令，則，所以在上單調遞增，故，即，所以，則，即，故；因為，所以其展開通項公式為，故，，，所以，令，則，所以在上單調遞增，則，即，所以，故，即；令，則，因為，所以，則，故，所以在上單調遞增，則，即，易知，所以，則，即；綜上可得.故選：B19．（2023春·安徽池州·高三池州市第一中學?？茧A段練習）已知函數的定義域為，為的導函數，，，若為偶函數，則以下四個命題：①；；③；④中一定成立的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由是偶函數，得是奇函數，再由已知等式得，兩者結合得是周期函數，周期為4，同時得出是周期函數，周期是4，然后由周期性，奇函數的定義求得，，與的關系，從而得出關于的相應結論，即可判斷各命題．【詳解】，又是偶函數，，兩邊求導得，是奇函數，，，，即，是周期函數，是它的一個周期，，，是周期函數，是它的一個周期，，，則①正確；，則②正確；是周期為4的周期函數，又是奇函數，，，則④不正確；，，因此，不能得出③，則一定正確的有①②，共2個.故選：B.【點睛】結論點睛：（1）的圖象既關于直線對稱，又關于點對稱，則是周期函數，是它的一個周期；（2）的圖象既關于直線對稱，又關于直線對稱，則是周期函數，是它的一個周期；（3）的圖象既關于點對稱，又關于點對稱，則是周期函數，是它的一個周期．20．（2023·安徽合肥·合肥市第六中學?？寄M預測）已知函數（為自然對數的底數，），，分別為函數的極大值點和極小值點，若恒成立，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函數的導函數，即可求出函數的單調性，從而求出函數的極值點，根據題意得對任意恒成立，轉換為，設，利用導數求得函數的單調區(qū)間和最值，即可得到結論；【詳解】因為，則，即，當時，令得，，，因為，所以，當時，；當時，；當時，；所以在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增，所以的極大值點為和極小值點為，即，，則，，依題意，恒成立，得對任意恒成立，由于此時，所以；所以，即，設，則，令（*）①當時，，所以，在單調遞增，所以，即，符合題意；②當時，，設（*）的兩根為，且，則，因此，則當時，，在單調遞增，所以當時，，即，所以，矛盾，不合題意；綜上，的取值范圍是.故選：D【點睛】方法點睛：導函數中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數研究含參函數的單調性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數形結合思想的應用；二是函數的零點、不等式證明常轉化為函數的單調性、極(最)值問題處理．二、多選題21．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預測）已知直線與曲線相切，則下列直線中可能與垂直的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】求導，利用基本不等式可得導數范圍，然后可得垂線斜率范圍，進而可得答案.【詳解】的定義域為，，即直線的斜率，設與垂直的直線的斜率為，則，所以，．故選：AB．22．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考三模）已知函數的零點為，下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】求導，利用導數判斷的單調性，結合零點存在性定理可得，進而逐項分析判斷.【詳解】由題意可得：的定義域為，且，因為，所以函數在上單調遞增，對于A：因為，所以，故A正確；對于B：因為，所以，故B正確；對于C：因為，則，，所以，故C錯誤；對于D：因為，所以，故D正確．故選：ABD.【點睛】方法點睛：對于函數零點的個數的相關問題，利用導數和數形結合的數學思想來求解．這類問題求解的通法是：（1）構造函數，這是解決此類題的關鍵點和難點，并求其定義域；（2）求導數，得單調區(qū)間和極值點；（2）數形結合，挖掘隱含條件，確定函數圖象與x軸的交點情況進而求解．23．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預測）已知為上的奇函數，且在上單調遞增，，則下列命題中一定正確的是（

）A． B．有3個零點C． D．【答案】AB【分析】根據奇函數，結合單調性可以判斷A,C,D選項，根據零點存在定理判斷零點個數即可判斷B選項.【詳解】由已知函數在上單調遞增，在上也單調遞增，，由，得.對于A，因為在上單調遞增，所以，A正確；對于B，在上單調遞增，且，，故在上有且只有一個，使，同理在上單調遞增，且，，故在上有且只有一個，使，又，所以有3個零點，B正確；對于C，因為在上單調遞增，，C錯誤；對于D，，，易知與無法比較大小，D不一定正確.故選：AB.24．（2023·安徽阜陽·安徽省臨泉第一中學校考三模）已知函數，為的導函數，則（

）A．的最小值為2 B．在單調遞增C．直線與曲線相切 D．直線與曲線相切【答案】ABD【分析】對于A，利用均值不等式得出結果；對于B，根據導數的符號判斷函數的單調性；對于C、D，設出切點坐標，利用導數求切線的斜率等于所給切線斜率，得出切點坐標，驗證結果.【詳解】對于A，，當且僅當即時，等號成立，故A正確；對于B，，令，，故在單調遞增，即在單調遞增，故B正確；對于C，設，，在R上單調遞增，，，又，所以，所以存在，使得，即，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；又，，，所以，使得，所以方程有兩個實數根和，所以與函數有兩個交點，.又，，，所以函數在與交點處的切線斜率都不為.故C錯誤.對于D，設切點為，由，，故，所以，解得，則切點為，曲線的切線方程為，故D正確；故選：ABD.25．（2023·安徽滁州·校考模擬預測）已知函數，，有下列結論，正確的是（

）A．任意的，等式恒成立B．任意的，方程有兩個不等實根C．任意的，，若，則一定有D．存在無數個實數，使得函數在上有個零點．【答案】ACD【分析】計算判斷A；舉例說明判斷B；探討函數單調性判斷C；由函數零點的意義分析判斷D作答.【詳解】函數，，對于A，，，A正確；對于B，當時，由，得，解得，即方程只有1個實根，B錯誤；對于C，當時，，即函數在上單調遞減，由選項A知，函數是上的奇函數，則在上單調遞減，因此函數是上的減函數，，，則一定有，C正確；對于D，，則有或，即0是的零點，當時，，則，當時，或，因此當，函數有3個零點，D正確.故選：ACD26．（2023·安徽合肥·合肥市第六中學?？寄M預測）已知函數（e為自然對數的底數），則下列結論正確的是（

）A．曲線的切線斜率可以是B．曲線的切線斜率可以是3C．過點且與曲線相切的直線有且只有1條D．過點且與曲線相切的直線有且只有2條【答案】BCD【分析】求出函數的導函數，根據導數的幾何意義判斷A、B，設切點坐標，求出切線方程，判斷方程的解，即可判斷C、D.【詳解】因為，所以，對于A：令，方程無解，所以曲線的切線斜率不可以是，故A錯誤；對于B：令，解得，所以曲線的切線斜率可以是，故B正確；對于C：設切點，則切線方程為，因為點在切線上，所以，即，顯然，所以，故過點且與曲線相切的直線有且只有1條，故C正確；對于D：設切點，則切線方程為，因為點在切線上，，所以，令，則，所以當時，當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，又，，，所以存在使得，所以方程有且僅有兩個實數根，所以過點且與曲線相切的直線有且只有條，故D正確；故選：BCD27．（2023·安徽合肥·合肥市第六中學?？寄M預測）設定義在上的函數與的導函數分別為和，若，，且為奇函數，則下列說法中一定正確的是（

）A． B．為偶函數C．的圖象關于點對稱 D．的一個周期為【答案】BCD【分析】由，可設，（、為常數），再根據所給條件推出，即可得到，從而判斷A，即可得到，在兩邊求導，即可判斷C，根據為奇函數，得到求導，即可判斷B，最后推出的周期性，即可判斷D.【詳解】因為，所以，（、為常數），又因為，所以，即，令，則，所以，所以，故A錯誤；所以，所以，所以的圖象關于點對稱，故C正確；因為為奇函數，所以，則，即，所以，所以為偶函數，故B正確；因為，且，所以，即，所以，所以的一個周期為，又，所以，所以的一個周期為，故D正確；故選：BCD28．（2023·安徽滁州·安徽省定遠中學?？寄M預測）對于函數，下列說法正確的是（

）A．在處取得極大值B．若在上恒成立，則C．D．有且只有個零點【答案】ACD【分析】對A：用導數判斷的單調性并求極值；對B：轉化為在上恒成立，求的最大值即可；對C：根據單調性得，由得；對D：直接求零點即可.【詳解】函數，則，令，即，解得，當時，，故函數在上為單調遞增函數，當時，，故函數在上為單調遞減函數，故函數在處取得極大值，故選項A正確；因為在上恒成立，則在上恒成立，令，故，因為，令，解得，當時，，則單調遞增，當時，，則單調遞減，所以當時，，則，故選項B錯誤；因為當時，，故函數在上為單調遞減函數，所以，因為，所以，故選項C正確；令函數，則，解得，所以函數只有一個零點，故選項D正確；故選：ACD.29．（2023·安徽滁州·安徽省定遠中學?？寄M預測）已知，若關于的方程存在正零點，則實數的值可能為（

）A． B． C．e D．2【答案】CD【分析】將式子變形為，構造函數，和，即可利用導數求解單調性，即可求最值.【詳解】依題意，，令，故問題轉化為有解.設，則，故當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，故，而，所以存在唯一零點，即在有解，即，令，則，故當時，，當時，，故函數在上單調遞減，在上單調遞增，故，解得，故實數的取值范圍為，故選：CD.【點睛】本題考查了導數的綜合運用，求某點處的切線方程較為簡單，利用導數求單調性時，如果求導后的正負不容易辨別，往往可以將導函數的一部分抽離出來，構造新的函數，利用導數研究其單調性，進而可判斷原函數的單調性.在證明不等式時，常采用兩種思路：求直接求最值和等價轉化.無論是那種方式，都要敢于構造函數，構造有效的函數往往是解題的關鍵.30．（2023·安徽亳州·蒙城第一中學校聯(lián)考模擬預測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】分別繪制函數，通過三個函數的圖像彼此之間的位置關系逐項分析.【詳解】設，則，當時，單調遞減，當時，單調遞增，，，當時，單調遞減，；單調遞增，并且，；的大致圖像如下：

又，并且，是減函數，，是增函數，，，不是單調的函數，對于，對應和，并且，又設，，當時，單調遞增，時，單調遞減，，即當時，，，AB正確；對于選項CD，由于不能確定對應的自變量是還是，所以不能確定其正確性.故選：AB.【點睛】畫出函數圖像，大致確定三條曲線彼此之間的位置是解題的關鍵三、填空題31．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預測）定義在上的函數滿足，當時，，則__________．【答案】【分析】利用逐步將自變量轉化到區(qū)間上即可求解.【詳解】因為，所以，又當時，，所以故答案為：32．（2023·安徽六安·安徽省舒城中學?？寄M預測）已知實數成等比數列，且函數，當時取到極大值，則等于______.【答案】【分析】通過導函數，求出極值，再利用等比數列的性質，即可求解.【詳解】令，則函數的定義域為，導函數，當時，，函數在上單調遞增，當時，，函數在上單調遞減，所以當時，函數取極大值，極大值為，所以，故，又成等比數列，所以，故答案為：.33．（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預測）曲線在點處的切線方程為___________【答案】【分析】根據導數的幾何意義求解即可.【詳解】由，所以，所以，所以曲線在點處的切線斜率為2，所以所求切線方程為，即.故答案為：.34．（2023春·安徽池州·高三池州市第一中學?？茧A段練習）若函數的定義域為，且，則__________.【答案】/【分析】根據題意，由賦值法即可得到函數的最小正周期為，即可得到結果.【詳解】因為，令，則，即，所以或，當時，令，則，即，與矛盾，所以，令，可得，則，令，可得，則，令，可得，則，令，可得，則，令，可得，則，令，可得，則，令，可得，則，所以是最小正周期為的函數，且，所以故答案為：35．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預測）已知函數，，且，則的最小值為__________．【答案】【分析】先根據得出所滿足的關系式，然后用表示，然后利用導數工具求解的最小值.【詳解】由，得，化簡整理得．令，則，令，解得．當時，，即在上單調遞減；當時，，即在上單調遞增，，．故答案為：36．（2023·安徽阜陽·安徽省臨泉第一中學?？既＃┮阎瘮涤袃蓚€極值點，則實數a的取值范圍是______.【答案】【分析】求函數導函數，由已知可得有兩個不相等的正實數根，利用導數研究函數的性質，作出其圖象，由此可求a的取值范圍.【詳解】函數的定義域為，導函數，由已知有兩個不相等的正實數根，所以有兩個不相等正實數根，令，則，由，