北京理工大大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2025北京理工大附中高一（下）期中數(shù)學(xué)考試時(shí)間90分鐘一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.在范圍內(nèi)，與角終邊相同的角是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)與角終邊相同的角是2kπ+（），k∈z，求出結(jié)果．【詳解】與角終邊相同的角是2kπ+（），k∈z，令k＝1，可得與角終邊相同的角是，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查終邊相同的角的定義和表示方法，得到與角終邊相同的角是2kπ+（），k∈z，是解題的關(guān)鍵2.已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則（）A. B.C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定的圖形，求出，再利用數(shù)量積的定義求解即得.【詳解】觀察圖形知，，所以故選：A3.已知角終邊上一點(diǎn)，若，則的值為（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用余弦函數(shù)的定義列式計(jì)算即得.【詳解】由角終邊上一點(diǎn)，得，因此，解得，所以的值為.故選：D4.下列各式的值等于的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】運(yùn)用二倍角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、特殊角的三角函數(shù)值判斷即可.【詳解】對(duì)于A,,故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,由特殊角的三角函數(shù)值可知,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可知,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,,故D正確.故選：D.5.已知平面向量與的夾角為，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量的模長(zhǎng)公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】.故選：B6.已知滿足，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式及二倍角的正切公式計(jì)算即得.【詳解】在中，，，則，所以.故選：A7.設(shè)函數(shù)f(x)＝2sin(x＋)．若對(duì)任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，則|x1－x2|的最小值為（）A.4 B.2 C.1 D.【答案】B【解析】【分析】是函數(shù)最小值，是函數(shù)最大值，因此的最小值為周期的一半，由此可得．【詳解】由題意f(x)的周期，對(duì)任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，則是函數(shù)最小值，是函數(shù)最大值，因此的最小值為周期的一半，∴|x1－x2|min＝2.故選：B．8.已知函數(shù)，則“”是“為偶函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用正余弦函數(shù)性質(zhì)，充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】當(dāng)時(shí)，，為偶函數(shù)；反之，為偶函數(shù)，則或，所以“”是“為偶函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A9.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，結(jié)合誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式，計(jì)算即可得到所求值.【詳解】由于，所以，故選：B10.函數(shù)是A.奇函數(shù)，且最大值為2 B.偶函數(shù)，且最大值為2C.奇函數(shù)，且最大值為 D.偶函數(shù)，且最大值為【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)奇偶性的定義結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷奇偶性；利用二倍角公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷最大值.【詳解】由題意，，所以該函數(shù)為偶函數(shù)，又，所以當(dāng)時(shí)，取最大值.故選：D.11.下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間(，)單調(diào)遞增的是A.f(x)=│cos2x│ B.f(x)=│sin2x│C.f(x)=cos│x│ D.f(x)=sin│x│【答案】A【解析】【分析】本題主要考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，滲透直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．畫出各函數(shù)圖象，即可做出選擇．【詳解】因?yàn)閳D象如下圖，知其不是周期函數(shù)，排除D；因?yàn)?，周期為，排除C，作出圖象，由圖象知，其周期為，在區(qū)間單調(diào)遞增，A正確；作出的圖象，由圖象知，其周期為，在區(qū)間單調(diào)遞減，排除B，故選A．【點(diǎn)睛】利用二級(jí)結(jié)論：①函數(shù)的周期是函數(shù)周期的一半；②不是周期函數(shù)；12.如圖，扇形的半徑為1，圓心角，點(diǎn)在弧上運(yùn)動(dòng)，，則的最小值是（）A.0 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】以為軸，以為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，設(shè)，，根據(jù)平面向量基本定理的坐標(biāo)運(yùn)算可得：，再利用三角函數(shù)的有界性，即可得到答案；【詳解】解：以為軸，以為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，，則，，，∵，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，，即的最小值為．故選：D．二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分.13.已知扇形的周長(zhǎng)為9cm，圓心角為，則該扇形的面積為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】由扇形的弧長(zhǎng)及面積公式求解可得答案.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，圓心角為，弧長(zhǎng)為，則由題意可得，解得，所以扇形的面積，故答案為：.14.__________；_____________.【答案】①.##0.5②.-3【解析】【分析】直接根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及基本性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)求值.【詳解】（1）原式（2）原式.故答案為：15.如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)滿足，則_______；若點(diǎn)H是線段AP上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是_________．【答案】①.②.[1，2]【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，由可求出點(diǎn)坐標(biāo)；點(diǎn)H是線段AP上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合的范圍即可求出的取值范圍.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，所以，由，可得：，所以，所以，故，點(diǎn)H是線段AP上的動(dòng)點(diǎn)，所以，則,，，，因?yàn)?，，所?故的取值范圍是[1，2].故答案：；[1，2].16.已知函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)計(jì)算即可得.【詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，，由題意可得，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.17.聲音是由于物體的振動(dòng)產(chǎn)生的能引起聽(tīng)覺(jué)的波，我們聽(tīng)到的聲音多為復(fù)合音．若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的序號(hào)是______；①的一個(gè)周期為；②的最大值為；③的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；④在區(qū)間上有3個(gè)零點(diǎn)．【答案】①②③【解析】【分析】對(duì)于①，代入周期的定義，即可判斷；對(duì)于②，分別比較兩個(gè)函數(shù)取得最大值的值，即可判斷；對(duì)于③，代入對(duì)稱性的公式，即可求解；對(duì)于④，根據(jù)零點(diǎn)的定義，解方程，即可判斷.【詳解】對(duì)于①，，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，，當(dāng)，時(shí)，取得最大值1，，當(dāng)，時(shí)，即，時(shí)，取得最大值，所以兩個(gè)函數(shù)不可能同時(shí)取得最大值，所以的最大值不是，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，，即，，即或，解得：或或，所以函數(shù)在區(qū)間上有3個(gè)零點(diǎn)，故④正確.故答案為：①②③.三、解答題：本大題共4小題，共44分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．18.已知向量.（1）當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，求向量與的夾角的余弦值.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）由垂直關(guān)系的向量坐標(biāo)表示可解；（2）由向量平行的坐標(biāo)表示求出，再代入向量夾角公式可得.【小問(wèn)1詳解】由題意可得，因?yàn)?，所?【小問(wèn)2詳解】，因?yàn)椋?，所以，所以，即向量與的夾角的余弦值為.19.在平面直角坐標(biāo)系中，銳角，均以為始邊，終邊分別與單位圓交于點(diǎn)，，已知點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．（1）求和的值；（2）求的值；（3）將點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）10（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)單位圓中正弦和余弦的定義，同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，兩角差的正切公式及二倍角公式即可求解；（2）根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得齊次式，再根據(jù)同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系及即可求解；（3）根據(jù)兩角和的正弦余弦公式即可求解．【小問(wèn)1詳解】由銳角，，得點(diǎn)，都在第一象限，而點(diǎn)縱坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，因此；，．【小問(wèn)2詳解】由（1）知，．【小問(wèn)3詳解】依題意，點(diǎn)在角的終邊上，且，由（1）知，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．20.已知函數(shù)的一段圖象如圖所示：（1）求函數(shù)的表達(dá)式和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若函數(shù)在的值域是，求的取值范圍；（3）若，，求的值．【答案】（1），單調(diào)遞減區(qū)間為（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)圖象即可求得的表達(dá)式，令，求解即可得出單調(diào)減區(qū)間；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）根據(jù)誘導(dǎo)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可求解．【小問(wèn)1詳解】由圖象可知，，所以，又，故，由，得，又，故，于是，由，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．【小問(wèn)2詳解】因，所以，又，所以，由正弦函數(shù)的性質(zhì)得，，所以．【小問(wèn)3詳解】，即，，由，得，又，所以，則，于是．21.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?若存在常數(shù)，，使得對(duì)于任意，成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì).（1）判斷函數(shù)和是否具有性質(zhì)？(結(jié)論不要求證明)（2）若函數(shù)具有性質(zhì)，且其對(duì)應(yīng)的，.已知當(dāng)時(shí)，，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（3）若函數(shù)具有性質(zhì)，且直線為其圖象的一條對(duì)稱軸，證明：為周期函數(shù).【答案】（1）函數(shù)不具有性質(zhì)，具有性質(zhì).（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)性質(zhì)的定義可得；（2）根據(jù)題意時(shí)，，進(jìn)而可得時(shí)取最大值；（3）當(dāng)時(shí)，顯然成立，當(dāng)不恒為零時(shí)，根據(jù)題意，進(jìn)而根據(jù)性質(zhì)，可得，，進(jìn)而可