2025屆湖南省沅澧共同體高三下學(xué)期2月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1湖南省沅澧共同體2025屆高三下學(xué)期2月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，則.故選：B.2.命題“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】因?yàn)槿Q量詞命題的否定為存在量詞命題，所以命題“”的否定是“”.故選：A.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由得，解得，則.故選：D.4.已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則點(diǎn)到軸的距離為（）A.2 B.3 C. D.4【答案】D【解析】拋物線的準(zhǔn)線為，設(shè)點(diǎn)，則，解得，所以點(diǎn)到軸的距離為4.故選：D5.空間中有兩個(gè)不同的平面和兩條不同的直線，則下列命題為真命題的是（）A.若，則B若，則C.若，則D.若，且，則【答案】B【解析】選項(xiàng)A，若，則與可以相交，也可以平行，不一定垂直，A錯(cuò)；選項(xiàng)B，若，則直線的方向向量分別是平面的法向量，兩平面垂直，即為它們的法向量垂直，則，B正確；選項(xiàng)C，若，則可能有，也可能相交，C錯(cuò)；選項(xiàng)D，若，且，則或，D錯(cuò)．故選：B．6.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A.8 B.2 C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，二?xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為，，所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為.故選:C.7.已知是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則“依次成等差數(shù)列”是“依次成等差數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由依次成等差數(shù)列可得，即，因，可得，解得或.當(dāng)時(shí)，，不滿足，故充分性不成立；由依次成等差數(shù)列，可得，顯然，故有，因，且，化簡得：，解得或，當(dāng)時(shí)，，即依次成等差數(shù)列；當(dāng)時(shí)，，而，故得，即依次成等差數(shù)列.故必要性成立.綜上可得，“依次成等差數(shù)列”是“依次成等差數(shù)列”的必要不充分條件.故選：B.8.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】為奇函數(shù)，故，又為偶函數(shù)，故，中，令代替得，結(jié)合得，即，又，故，的一個(gè)周期為4，又時(shí)，，且，則，則，則，，則時(shí)，，故.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，若將的圖象向右平移個(gè)單位后，再把所得曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A.B.圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.的圖象與的圖象在內(nèi)有4個(gè)交點(diǎn)【答案】BD【解析】的圖象向右平移個(gè)單位后，可得，進(jìn)而可得，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，故B正確，對(duì)于C，，故不是的對(duì)稱軸，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，分別作出與在內(nèi)的圖象，可知有4個(gè)交點(diǎn)，故D正確，故選：BD10.下列命題中，正確的命題是（）A.若,若，則B.設(shè)為隨機(jī)事件，且，若，則與相互獨(dú)立C.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則D.若，當(dāng)時(shí)，取得最大值【答案】ABC【解析】對(duì)于A，由題可得，故A正確；對(duì)于B，因，則A的發(fā)生對(duì)B的發(fā)生沒有影響，故A與相互獨(dú)立，故B正確；對(duì)于C，因，則，故C正確；對(duì)于D，，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，故D錯(cuò)誤.故選：ABC11.雙紐線最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布?伯努利用來描述他發(fā)現(xiàn)的曲線.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把到定點(diǎn)的距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線.已知點(diǎn)是時(shí)的雙紐線上一點(diǎn)，則（）A.關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱B.上滿足的點(diǎn)有2個(gè)C.面積的最大值為D.當(dāng)直線與有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是【答案】ACD【解析】對(duì)于A，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由題可得的軌跡方程，把關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)代入軌跡方程顯然成立，故A正確；對(duì)于B，時(shí)的雙紐線的方程為，若，則在的中垂線軸上，故此時(shí)，代入得，即，所以只有一個(gè)點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，是上的一點(diǎn)，故，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，下面說明垂直時(shí)可取到，，則，代入，得，解得，故C正確；對(duì)于D，直線與有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，聯(lián)立與，得，當(dāng)時(shí)，適合上述方程，當(dāng)時(shí)，，即，則，則，所以直線與有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是，故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.復(fù)數(shù)的虛部為_______.【答案】【解析】依題意，，所以所求虛部為.故答案為：13.已知雙曲線漸近線與x軸的夾角為，則該雙曲線的離心率為________.【答案】2【解析】根據(jù)漸近線的傾斜角為，可得，所以，故答案為：2.14.高中數(shù)學(xué)必修一教材第87頁中提到：函數(shù)圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，則實(shí)數(shù)t的值為______，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.【答案】①.1②.【解析】由函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，得為奇函數(shù)，，，則，所以，所以，那么，又，所以.故函數(shù)，因?yàn)樵谏隙际沁f增函數(shù)，所以在上是遞增函數(shù)，又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且是連續(xù)函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，要使，只需，解得或，故m的取值范圍是.故答案為：1；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）求角C的大??；（2）延長BC到D，使得，且，求的面積.解：（1）因?yàn)?，由正弦定理?所以設(shè)，，則，，由余弦定理得，又，所以.（2），解得，結(jié)合，則，由（1）知，則，則，因?yàn)橛桑?）知，則，則.16.如圖1，在平面四邊形中，，，，.將沿折疊至處，使平面平面（如圖2），為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，是靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：因?yàn)椋c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BD，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.因?yàn)?，，所以是等邊三角形，所以，所以，所以，即，又平面，平面，，所以平面，又平面，所以平面平?（2）解：取的中點(diǎn)，連接，則，又因?yàn)槠矫?，則平面，因?yàn)?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、，、、、，所以，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為.17.已知點(diǎn)在橢圓上，與橢圓的上，下頂點(diǎn)的連線的斜率之積為．（1）求橢圓的離心率；（2）若直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：（1）因橢圓上、下頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，依題意，整理得（*），因點(diǎn)在橢圓上，則，即，代入（*），化簡得：，又，所以，則橢圓的離心率；（2）如圖，設(shè)、，由（1）已得，則由，消去并整理得，此時(shí)，解得，由韋達(dá)定理得，，所以，又原點(diǎn)到直線的距離，所以的面積，解得，故橢圓的方程為．18.某城市一室內(nèi)游泳館，為給顧客更好的體驗(yàn)，推出了A和B兩個(gè)套餐服務(wù)，顧客可自由選擇A和B兩個(gè)套餐之一；該游泳館在App平臺(tái)上推出了優(yōu)惠券活動(dòng)，下表是App平臺(tái)統(tǒng)計(jì)某周內(nèi)周一至周五銷售優(yōu)惠券情況.星期t12345銷售量y（張）218224230232236經(jīng)計(jì)算可得：，，.（1）已知y關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，求y關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（2）若購買優(yōu)惠券的顧客選擇A套餐的概率為，選擇B套餐的概率為，并且A套餐包含兩張優(yōu)惠券，B套餐包含一張優(yōu)惠券，記App平臺(tái)累計(jì)銷售優(yōu)惠券為n張的概率為.①求、及；②判斷，，是否為定值，并求及的最值.參考公式：，.解：（1）由題意，，則，.所以關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.（2）①由題意，可知，，，②當(dāng)時(shí)，，即，又，所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列為各項(xiàng)都為1的常數(shù)列，即，所以，又，所以數(shù)列為首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列，所以，即.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，且隨的增大而減小，因此的最大值為；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，且隨的增大而增大，因此的最小值為，綜上所述，的最大值為，最小值為.19.已知函數(shù)，，.（1）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)，且，是的兩個(gè)零點(diǎn).（i）求a的取值范圍；（ii）證明：.解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，易知在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，該函數(shù)取得極小值，也為最小值，所以，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.（2）（ⅰ）由，得，則在上有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于方程在上有兩個(gè)根，令且，即函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn).而，當(dāng)時(shí)，所以，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以，即在上單調(diào)遞增.又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的大致圖象如圖：要使函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，需滿足，所以a的取值范圍為.（ⅱ）由（ⅰ）知，顯然.因?yàn)椋?，欲證成立，只需證，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.又，所以成立.湖南省沅澧共同體2025屆高三下學(xué)期2月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，則.故選：B.2.命題“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】因?yàn)槿Q量詞命題的否定為存在量詞命題，所以命題“”的否定是“”.故選：A.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由得，解得，則.故選：D.4.已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則點(diǎn)到軸的距離為（）A.2 B.3 C. D.4【答案】D【解析】拋物線的準(zhǔn)線為，設(shè)點(diǎn)，則，解得，所以點(diǎn)到軸的距離為4.故選：D5.空間中有兩個(gè)不同的平面和兩條不同的直線，則下列命題為真命題的是（）A.若，則B若，則C.若，則D.若，且，則【答案】B【解析】選項(xiàng)A，若，則與可以相交，也可以平行，不一定垂直，A錯(cuò)；選項(xiàng)B，若，則直線的方向向量分別是平面的法向量，兩平面垂直，即為它們的法向量垂直，則，B正確；選項(xiàng)C，若，則可能有，也可能相交，C錯(cuò)；選項(xiàng)D，若，且，則或，D錯(cuò)．故選：B．6.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A.8 B.2 C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，二?xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為，，所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為.故選:C.7.已知是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則“依次成等差數(shù)列”是“依次成等差數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由依次成等差數(shù)列可得，即，因，可得，解得或.當(dāng)時(shí)，，不滿足，故充分性不成立；由依次成等差數(shù)列，可得，顯然，故有，因，且，化簡得：，解得或，當(dāng)時(shí)，，即依次成等差數(shù)列；當(dāng)時(shí)，，而，故得，即依次成等差數(shù)列.故必要性成立.綜上可得，“依次成等差數(shù)列”是“依次成等差數(shù)列”的必要不充分條件.故選：B.8.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】為奇函數(shù)，故，又為偶函數(shù)，故，中，令代替得，結(jié)合得，即，又，故，的一個(gè)周期為4，又時(shí)，，且，則，則，則，，則時(shí)，，故.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，若將的圖象向右平移個(gè)單位后，再把所得曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A.B.圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.的圖象與的圖象在內(nèi)有4個(gè)交點(diǎn)【答案】BD【解析】的圖象向右平移個(gè)單位后，可得，進(jìn)而可得，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，故B正確，對(duì)于C，，故不是的對(duì)稱軸，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，分別作出與在內(nèi)的圖象，可知有4個(gè)交點(diǎn)，故D正確，故選：BD10.下列命題中，正確的命題是（）A.若,若，則B.設(shè)為隨機(jī)事件，且，若，則與相互獨(dú)立C.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則D.若，當(dāng)時(shí)，取得最大值【答案】ABC【解析】對(duì)于A，由題可得，故A正確；對(duì)于B，因，則A的發(fā)生對(duì)B的發(fā)生沒有影響，故A與相互獨(dú)立，故B正確；對(duì)于C，因，則，故C正確；對(duì)于D，，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，故D錯(cuò)誤.故選：ABC11.雙紐線最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布?伯努利用來描述他發(fā)現(xiàn)的曲線.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把到定點(diǎn)的距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線.已知點(diǎn)是時(shí)的雙紐線上一點(diǎn)，則（）A.關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱B.上滿足的點(diǎn)有2個(gè)C.面積的最大值為D.當(dāng)直線與有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是【答案】ACD【解析】對(duì)于A，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由題可得的軌跡方程，把關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)代入軌跡方程顯然成立，故A正確；對(duì)于B，時(shí)的雙紐線的方程為，若，則在的中垂線軸上，故此時(shí)，代入得，即，所以只有一個(gè)點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，是上的一點(diǎn)，故，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，下面說明垂直時(shí)可取到，，則，代入，得，解得，故C正確；對(duì)于D，直線與有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，聯(lián)立與，得，當(dāng)時(shí)，適合上述方程，當(dāng)時(shí)，，即，則，則，所以直線與有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是，故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.復(fù)數(shù)的虛部為_______.【答案】【解析】依題意，，所以所求虛部為.故答案為：13.已知雙曲線漸近線與x軸的夾角為，則該雙曲線的離心率為________.【答案】2【解析】根據(jù)漸近線的傾斜角為，可得，所以，故答案為：2.14.高中數(shù)學(xué)必修一教材第87頁中提到：函數(shù)圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，則實(shí)數(shù)t的值為______，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.【答案】①.1②.【解析】由函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，得為奇函數(shù)，，，則，所以，所以，那么，又，所以.故函數(shù)，因?yàn)樵谏隙际沁f增函數(shù)，所以在上是遞增函數(shù)，又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且是連續(xù)函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，要使，只需，解得或，故m的取值范圍是.故答案為：1；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）求角C的大?。唬?）延長BC到D，使得，且，求的面積.解：（1）因?yàn)?，由正弦定理?所以設(shè)，，則，，由余弦定理得，又，所以.（2），解得，結(jié)合，則，由（1）知，則，則，因?yàn)橛桑?）知，則，則.16.如圖1，在平面四邊形中，，，，.將沿折疊至處，使平面平面（如圖2），為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，是靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：因?yàn)?，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BD，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.因?yàn)?，，所以是等邊三角形，所以，所以，所以，即，又平面，平面，，所以平面，又平面，所以平面平?（2）解：取的中點(diǎn)，連接，則，又因?yàn)槠矫?，則平面，因?yàn)椋渣c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、，、、、，所以，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為.17.已知點(diǎn)在橢圓上，與橢圓的上，下頂點(diǎn)的連線的斜率之積為．（1）求橢圓的離心率；（2）若直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：（1）因橢圓上、下頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，依題意，整理得（*），因點(diǎn)在橢圓上，則，即，代入（*），化簡得：，又，所以，則橢圓的離心率；（2）如圖，設(shè)、，由（1）已得，則由，消去并整理得，此時(shí)，解得，由韋達(dá)定理得，，所以，又原點(diǎn)到直線的距離，所以的面積，解得，故橢圓的方程為．18.某城市一室內(nèi)游泳館