2025屆河北省高三模擬預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河北省2025屆高三模擬預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，故選：B.2.已知向量，，若，則（）A.2 B.1 C.2或 D.1或【答案】A【解析】由已知得，解得.故選：A3.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意，“數(shù)列為遞增數(shù)列”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】對(duì)于充分性：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，但不是單調(diào)遞增的，所以“數(shù)列為遞增數(shù)列”不能推出“數(shù)列為遞增數(shù)列”，充分性不成立；對(duì)于必要性：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，但不是單調(diào)遞增的，所以“數(shù)列為遞增數(shù)列”不能推出“數(shù)列為遞增數(shù)列”，必要性不成立；所以“數(shù)列為遞增數(shù)列”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件.故選：D.4.已知某籃球運(yùn)動(dòng)員每次在罰球線上罰球命中的概率為，該籃球運(yùn)動(dòng)員某次練習(xí)中共罰球3次，已知該運(yùn)動(dòng)員沒有全部命中，則他恰好命中兩次的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令事件為“該運(yùn)動(dòng)員沒有全部命中”，令事件“恰好命中兩次”，則，，由條件概率知所求概率為，故選：B.5.下列函數(shù)是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增的為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，易知的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又函數(shù)，所以是奇函數(shù)，但在上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B，函數(shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)B不正確，對(duì)于選項(xiàng)C，，因?yàn)?，所以的定義域?yàn)?，又，所以是奇函?shù)，又在上單調(diào)遞增，在定義域上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以是偶函?shù)，故選項(xiàng)D不正確，故選：C.6.若函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，令得：，因?yàn)?，所以，則在軸右側(cè)方程的相鄰三根依次為，解得，由題意可知，即，故得，即的取值范圍是.故選：B.7.已知底面半徑為的圓錐其軸截面面積為，過(guò)圓錐頂點(diǎn)的截面面積最大值為，若，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】軸截面不是最大面積，軸截面頂角為鈍角，設(shè)母線長(zhǎng)為，即，所以該圓錐的側(cè)面積.故選：A.8.已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向圓引切線交橢圓于點(diǎn)（不在軸上），若的面積為，則橢圓的離心率（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，設(shè)圓與軸切于點(diǎn)，與切于點(diǎn)，設(shè)橢圓與軸正半軸交于點(diǎn)，下面證明，重合，設(shè)，，，而，與重合，即點(diǎn)是短軸的端點(diǎn)，，，則，所以，故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知集合，則下列結(jié)論正確是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】已知集合，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，對(duì)于A，由對(duì)集合分析知，故A不正確，對(duì)于C，由對(duì)集合分析知，故C正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故B正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，故D正確.故選：BCD.10.已知拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線上異于頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則拋物線的準(zhǔn)線方程為B.若是正三角形，則C.若點(diǎn)是垂心，則直線的方程為D.點(diǎn)可以是的外心【答案】BC【解析】對(duì)于A，將點(diǎn)代入中得，，可知拋物線的準(zhǔn)線方程為，故A不正確；對(duì)于B，若是正三角形，設(shè)點(diǎn)在第一象限，直線的方程為，代入中得，，，故B正確；對(duì)于C，由題意可知軸，設(shè)，則，又，∵，∴，解得直線的方程為，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)點(diǎn)是的外心時(shí)，以為圓心，以為半徑的圓交于三點(diǎn)，聯(lián)立與，解得或，顯然不成立，故D不正確，故選：BC.11.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.最小值為14【答案】ACD【解析】對(duì)于A，的圖象是由的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度而得到，如圖：，顯然A正確；對(duì)于B，，所以，即，故B不正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)B可知，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，，故C正確；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故D正確故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.曲線在處的切線斜截式方程為__________.【答案】【解析】因?yàn)?，，所以切線方程為，即.故答案為：13.若甲、乙等6人隨機(jī)排一排照相，則甲、乙不在兩端也不相鄰的概率為__________.【答案】【解析】6人排一排的總數(shù)為，甲，乙不在兩端也不相鄰有種排法，故所求概率為.故答案為：14.已知均為銳角，且，則__________.【答案】【解析】，即，由題可知，且，即，解得或（舍去），.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.某初級(jí)中學(xué)為了響應(yīng)國(guó)家提倡的素質(zhì)教育，積極組織學(xué)生參加體育鍛煉，并定期進(jìn)行成績(jī)測(cè)試.在某次測(cè)試中，該校隨機(jī)抽取了初二年級(jí)名男生的立定跳遠(yuǎn)成績(jī)和米短跑成績(jī)，在立定跳遠(yuǎn)成績(jī)大于等于的名男生中，米短跑成績(jī)小于等于的有人，在立定跳遠(yuǎn)成績(jī)小于的男生中，米短跑成績(jī)大于的有人.單位：人立定跳遠(yuǎn)成績(jī)米短跑成績(jī)合計(jì)小于等于大于大于等于小于合計(jì)（1）完成上面列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析立定跳遠(yuǎn)成績(jī)是否與米短跑成績(jī)有關(guān)；（2）“立定跳遠(yuǎn)成績(jī)小于”且“米短跑成績(jī)小于等于”的人數(shù)為，已知這人中有人喜愛運(yùn)動(dòng)，若從中任取人進(jìn)行調(diào)研，設(shè)表示取出的喜愛運(yùn)動(dòng)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.下面附臨界值表及參考公式：解：（1）列聯(lián)表如圖.單位：人立定跳遠(yuǎn)成績(jī)米短跑成績(jī)合計(jì)小于等于大于大于等于小于合計(jì)零假設(shè)為：立定跳遠(yuǎn)成績(jī)與米短跑成績(jī)無(wú)關(guān)，計(jì)算得，根據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為立定跳遠(yuǎn)成績(jī)與米短跑成績(jī)有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于.（2）由（1）可知的可能取值為，則，，，其分布列為：所以數(shù)學(xué)期望為.16.如圖，在梯形中，分別是的中點(diǎn)，以為折痕將折起使到達(dá)的位置，得到四棱錐是的重心.（1）證明：平面；（2）當(dāng)在底面上的射影落在上時(shí)，求平面和平面夾角的余弦值.（1）證明：是的中點(diǎn)，是正三角形，四邊形與是菱形，連接，則，延長(zhǎng)交于點(diǎn)是的重心，是的中點(diǎn)，連接是的中點(diǎn)，，又不在平面內(nèi)，平面平面.（2）解：取的中點(diǎn)，連接，由題可知點(diǎn)在底面上的射影為的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面和平面的夾角為，則，平面和平面夾角的余弦值為.17.在中，三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為是的三等分點(diǎn)，且.（1）當(dāng)?shù)拿娣e時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）當(dāng)時(shí)，求邊上的高.解：（1），由余弦定理得，由，得，解得或，由題知，當(dāng)時(shí)，由余弦定理得，則，即；同理當(dāng)時(shí)，，綜上所述，或.（2），，即，聯(lián)立，可得，即，解得邊上的高為.18.求導(dǎo)是研究函數(shù)性質(zhì)的一種方法，特別是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義來(lái)研究切線的斜率，這種方法也適用于圓錐曲線，我們可以將圓錐曲線方程視為復(fù)合函數(shù)，仿照復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則來(lái)進(jìn)行，例如：圓的方程，為了求對(duì)的導(dǎo)數(shù)，可將看作的復(fù)合函數(shù)，將上式兩邊逐項(xiàng)對(duì)求導(dǎo)，則有：，于是得.已知直線與雙曲線相切于點(diǎn)的右焦點(diǎn)為，直線與直線交于點(diǎn).（1）證明：直線的方程為；（2）證明：以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)；（3）若，直線與兩條漸近線交于兩點(diǎn)，求的面積.（1）證明：因點(diǎn)在雙曲線上，可得即.對(duì)雙曲線的方程兩邊求導(dǎo)得，解得則在點(diǎn)處的切線斜率為，其切線方程為，整理得，即直線的方程為.（2）解：如圖，因直線與直線交于點(diǎn).故，，則，，，，以為直徑的圓過(guò)點(diǎn).（3）解：由（1）知直線的方程為，即，直線，.如圖，設(shè)，直線和漸近線聯(lián)立消元得，，又原點(diǎn)到直線的距離，的面積.19.洛必達(dá)法則對(duì)導(dǎo)數(shù)的研究產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.洛必達(dá)法則：給定兩個(gè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.已知函數(shù)，.（1）證明：在區(qū)間上單調(diào)遞減；（2）對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3），證明：（附：）.（1）證明：，令，則，令，則，若，則單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增，，即存在唯一，使得，且在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，且，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且在上連續(xù)，綜上，在區(qū)間上單調(diào)遞減.（2）解：當(dāng)時(shí)，，成立.當(dāng)時(shí)，由可得，令，由（1）可知在上單調(diào)遞減，.由洛必達(dá)法則：，.（3）證明：當(dāng)且時(shí)，，令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，，即在上單調(diào)遞增，（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，，，，即.河北省2025屆高三模擬預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，故選：B.2.已知向量，，若，則（）A.2 B.1 C.2或 D.1或【答案】A【解析】由已知得，解得.故選：A3.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意，“數(shù)列為遞增數(shù)列”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】對(duì)于充分性：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，但不是單調(diào)遞增的，所以“數(shù)列為遞增數(shù)列”不能推出“數(shù)列為遞增數(shù)列”，充分性不成立；對(duì)于必要性：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，但不是單調(diào)遞增的，所以“數(shù)列為遞增數(shù)列”不能推出“數(shù)列為遞增數(shù)列”，必要性不成立；所以“數(shù)列為遞增數(shù)列”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件.故選：D.4.已知某籃球運(yùn)動(dòng)員每次在罰球線上罰球命中的概率為，該籃球運(yùn)動(dòng)員某次練習(xí)中共罰球3次，已知該運(yùn)動(dòng)員沒有全部命中，則他恰好命中兩次的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令事件為“該運(yùn)動(dòng)員沒有全部命中”，令事件“恰好命中兩次”，則，，由條件概率知所求概率為，故選：B.5.下列函數(shù)是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增的為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，易知的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又函數(shù)，所以是奇函數(shù)，但在上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B，函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)B不正確，對(duì)于選項(xiàng)C，，因?yàn)?，所以的定義域?yàn)?，又，所以是奇函?shù)，又在上單調(diào)遞增，在定義域上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以是偶函?shù)，故選項(xiàng)D不正確，故選：C.6.若函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，令得：，因?yàn)?，所以，則在軸右側(cè)方程的相鄰三根依次為，解得，由題意可知，即，故得，即的取值范圍是.故選：B.7.已知底面半徑為的圓錐其軸截面面積為，過(guò)圓錐頂點(diǎn)的截面面積最大值為，若，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】軸截面不是最大面積，軸截面頂角為鈍角，設(shè)母線長(zhǎng)為，即，所以該圓錐的側(cè)面積.故選：A.8.已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向圓引切線交橢圓于點(diǎn)（不在軸上），若的面積為，則橢圓的離心率（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，設(shè)圓與軸切于點(diǎn)，與切于點(diǎn)，設(shè)橢圓與軸正半軸交于點(diǎn)，下面證明，重合，設(shè)，，，而，與重合，即點(diǎn)是短軸的端點(diǎn)，，，則，所以，故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知集合，則下列結(jié)論正確是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】已知集合，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，對(duì)于A，由對(duì)集合分析知，故A不正確，對(duì)于C，由對(duì)集合分析知，故C正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故B正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，故D正確.故選：BCD.10.已知拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線上異于頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則拋物線的準(zhǔn)線方程為B.若是正三角形，則C.若點(diǎn)是垂心，則直線的方程為D.點(diǎn)可以是的外心【答案】BC【解析】對(duì)于A，將點(diǎn)代入中得，，可知拋物線的準(zhǔn)線方程為，故A不正確；對(duì)于B，若是正三角形，設(shè)點(diǎn)在第一象限，直線的方程為，代入中得，，，故B正確；對(duì)于C，由題意可知軸，設(shè)，則，又，∵，∴，解得直線的方程為，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)點(diǎn)是的外心時(shí)，以為圓心，以為半徑的圓交于三點(diǎn)，聯(lián)立與，解得或，顯然不成立，故D不正確，故選：BC.11.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.最小值為14【答案】ACD【解析】對(duì)于A，的圖象是由的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度而得到，如圖：，顯然A正確；對(duì)于B，，所以，即，故B不正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)B可知，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，，故C正確；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故D正確故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.曲線在處的切線斜截式方程為__________.【答案】【解析】因?yàn)椋?，所以切線方程為，即.故答案為：13.若甲、乙等6人隨機(jī)排一排照相，則甲、乙不在兩端也不相鄰的概率為__________.【答案】【解析】6人排一排的總數(shù)為，甲，乙不在兩端也不相鄰有種排法，故所求概率為.故答案為：14.已知均為銳角，且，則__________.【答案】【解析】，即，由題可知，且，即，解得或（舍去），.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.某初級(jí)中學(xué)為了響應(yīng)國(guó)家提倡的素質(zhì)教育，積極組織學(xué)生參加體育鍛煉，并定期進(jìn)行成績(jī)測(cè)試.在某次測(cè)試中，該校隨機(jī)抽取了初二年級(jí)名男生的立定跳遠(yuǎn)成績(jī)和米短跑成績(jī)，在立定跳遠(yuǎn)成績(jī)大于等于的名男生中，米短跑成績(jī)小于等于的有人，在立定跳遠(yuǎn)成績(jī)小于的男生中，米短跑成績(jī)大于的有人.單位：人立定跳遠(yuǎn)成績(jī)米短跑成績(jī)合計(jì)小于等于大于大于等于小于合計(jì)（1）完成上面列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析立定跳遠(yuǎn)成績(jī)是否與米短跑成績(jī)有關(guān)；（2）“立定跳遠(yuǎn)成績(jī)小于”且“米短跑成績(jī)小于等于”的人數(shù)為，已知這人中有人喜愛運(yùn)動(dòng)，若從中任取人進(jìn)行調(diào)研，設(shè)表示取出的喜愛運(yùn)動(dòng)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.下面附臨界值表及參考公式：解：（1）列聯(lián)表如圖.單位：人立定跳遠(yuǎn)成績(jī)米短跑成績(jī)合計(jì)小于等于大于大于等于小于合計(jì)零假設(shè)為：立定跳遠(yuǎn)成績(jī)與米短跑成績(jī)無(wú)關(guān)，計(jì)算得，根據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為立定跳遠(yuǎn)成績(jī)與米短跑成績(jī)有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于.（2）由（1）可知的可能取值為，則，，，其分布列為：所以數(shù)學(xué)期望為.16.如圖，在梯形中，分別是的中點(diǎn)，以為折痕將折起使到達(dá)的位置，得到四棱錐是的重心.（1）證明：平面；（2）當(dāng)在底面上的射影落在上時(shí)，求平面和平面夾角的余弦值.（1）證明：是的中點(diǎn)，是正三角形，四邊形與是菱形，連接，則，延長(zhǎng)交于點(diǎn)是的重心，是的中點(diǎn)，連接是的中點(diǎn)，，又不在平面內(nèi)，平面平面.（2）解：取的中點(diǎn)，連接，由題可知點(diǎn)在底面上的射影為的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面和平面的夾角為，則，平面和平面夾角的余弦值為.17.在中，三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為是的三等分點(diǎn)，且.（1）當(dāng)?shù)拿娣e時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）當(dāng)時(shí)，求邊上的高.解：（1