2025屆廣東省惠州市惠東縣高三三模數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1廣東省惠州市惠東縣2025屆高三三模數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題設(shè)，，則.故選：C2.把函數(shù)的圖象按向量平移，得到的圖象，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意.故選：A3.函數(shù)的最小正周期為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由正切型函數(shù)的性質(zhì)知，最小正周期為.故選：B4.已知空間向量滿足，則（）A. B.1 C.0 D.【答案】D【解析】由題設(shè)，，所以.故選：D5.已知，且，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】取，則滿足題意，此時(shí)，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；取，則滿足題意，此時(shí)，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.取，則滿足題意，此時(shí)，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.由于在上遞減，而，所以，所以D選項(xiàng)正確.故選：D6.球面上有三點(diǎn)，若，且球心到所在平面的距離，等于球的半徑的一半，則該球的球面面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令外接圓的半徑為，球的半徑為，由，得，所以為直角三角形，則，即，因?yàn)榍蛐牡剿谄矫娴木嚯x，等于球的半徑的一半，所以，解得，所以球的表面積為.故選：A.7.設(shè)10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5=105，隨機(jī)變量取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均為0.2，隨機(jī)變量取值、、、、的概率也均為0.2，若記、分別為、的方差，則（）A.>B.=C.<D.與的大小關(guān)系與x1、x2、x3、x4的取值有關(guān)【答案】A【解析】由隨機(jī)變量、的取值情況，它們的期望分別為：，，即，，同理，而，所以有.故選：A8.有四張卡片，每張卡片的一面上寫(xiě)著英文字母，則另外一面上寫(xiě)著數(shù)字.現(xiàn)在規(guī)定：當(dāng)牌的一面寫(xiě)著數(shù)字7時(shí)，另外一面必須寫(xiě)著字母.你的任務(wù)是：為了檢驗(yàn)下面4張卡牌是否有違反規(guī)定的寫(xiě)法，你需要翻看哪些牌？（）A.①② B.②③ C.②④ D.④③【答案】B【解析】根據(jù)題意可知：數(shù)字7后面一定是字母H，H后面可以不是數(shù)字7，即M后面是數(shù)字7就違反規(guī)則，所以只用看7和M，其他卡牌無(wú)此顧慮.故選：B.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)得0分.9.有一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，…，，其中(為非零常數(shù)，則（）A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同【答案】CD【解析】A：且，故平均數(shù)不相同，錯(cuò)誤；B：若第一組中位數(shù)為，則第二組中位數(shù)為，顯然不相同，錯(cuò)誤；C：，故方差相同，正確；D：由極差的定義知：若第一組的極差為，則第二組的極差為，故極差相同，正確；故選：CD10.已知等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，則下列結(jié)論中正確的是（）A.數(shù)列是等比數(shù)列 B.可能為C.數(shù)列是等差數(shù)列 D.數(shù)列是等比數(shù)列【答案】ABD【解析】由題設(shè)為定值，則且為定值，A對(duì)；若是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則，B對(duì)；對(duì)于數(shù)列，時(shí)無(wú)意義，故不可能為等差數(shù)列，C錯(cuò)；若的公比為，則是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，D對(duì).故選：ABD11.曲線是平面內(nèi)與三個(gè)定點(diǎn)和的距離的和等于的點(diǎn)的軌跡，為上一點(diǎn)，則（）A.曲線關(guān)于軸對(duì)稱 B.存在點(diǎn)P，使得C.面積的最大值是1 D.存在點(diǎn)，使得為鈍角【答案】CD【解析】設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)，由題意，C的方程為.因?yàn)辄c(diǎn)在曲線C上，而點(diǎn)不在曲線C上，所以曲線C不關(guān)于x軸對(duì)稱，A錯(cuò)誤；若，則，所以這不存在這樣點(diǎn)，B不正確；由，P應(yīng)該在橢圓內(nèi)（含邊界），曲線C與橢圓D有唯一的公共點(diǎn)，此時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)P為點(diǎn)時(shí)，的面積最大，最大值是1，C正確；取曲線C上點(diǎn)，此時(shí)，在曲線C上再尋找一個(gè)特殊點(diǎn)，，則，即，兩邊平方并整理得，解得，即或因?yàn)椋瑒t取點(diǎn)，此時(shí)，D正確.故選：CD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，則______；【答案】2【解析】如下圖示，將平移至與相同起點(diǎn)的位置，則，所以，而，所以.故答案為：2.13.函數(shù)，若成等比數(shù)列且，則值域?yàn)開(kāi)_________.【答案】【解析】由已知得，，由a，b，c成等比數(shù)列，則，，所以有最大值，為，所以值域?yàn)?故答案為：14.設(shè)表示不超x的最大整數(shù)（如）．對(duì)于給定的，定義，則___________；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是___________．【答案】①②.【解析】，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)的值域是故答案為：；四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.在中，．（1）求的值；（2）若，求的面積．解：（1）在中，因?yàn)?，由正弦定理?（2）因?yàn)?，所以，由余弦定理得，解得或（舍），所以的面積.16.已知函數(shù)，（），（1）若曲線與曲線在它們的交點(diǎn)（1，c）處具有公共切線，求a,b的值（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在區(qū)間[k,2]上的最大值為28，求k的取值范圍解：（1）,因?yàn)榍€與曲線在它們的交點(diǎn)處具有公共切線，所以,所以;（2）當(dāng)時(shí)，，，，令，則，令，得，所以在與上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，其中為極大值，所以如果在區(qū)間最大值為，即區(qū)間包含極大值點(diǎn)，所以．17.如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為為中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與面所成角的余弦值.（1）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，為正三角形，則，正三棱柱中，平面平面，平面，平面平面，平面，以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的建立空間直角坐標(biāo)系，則，，且都在面內(nèi)，平面（2）解：設(shè)平面的法向量為，且，令，得，由（1）知面，則為平面的法向量，設(shè)面與面所成角所為，.18.甲、乙兩大超市同時(shí)開(kāi)業(yè)，第一年的全年銷(xiāo)售額為a萬(wàn)元，由于經(jīng)營(yíng)方式不同，甲超市前n年的總銷(xiāo)售額為萬(wàn)元，乙超市第n年的銷(xiāo)售額比前一年銷(xiāo)售額多萬(wàn)元．（1）求甲、乙兩超市第n年銷(xiāo)售額的表達(dá)式；（2）若其中某一超市的年銷(xiāo)售額不足另一超市的年銷(xiāo)售額的50%，則該超市將被另一超市收購(gòu)，判斷哪一超市有可能被收購(gòu)？如果有這種情況，至少會(huì)出現(xiàn)在第幾年？解：（1）設(shè)甲超市前年總銷(xiāo)售額為，第年銷(xiāo)售額為，則，因?yàn)闀r(shí)，，則時(shí)，，故；設(shè)乙超市第年銷(xiāo)售額為，則，時(shí)，，，顯然時(shí)也符合，所以.（2）當(dāng)時(shí)，，，有；當(dāng)時(shí)，，，有；當(dāng)時(shí)，，，故乙超市有可能被收購(gòu)，當(dāng)，令，則，整理得，又當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)且時(shí)，必有，即第7年乙超市的年銷(xiāo)售額不足甲超市的一半，乙超市將被甲超市收購(gòu).19.我們?cè)趯W(xué)習(xí)解析兒何過(guò)程中知道橢圓、雙曲線的定義分別是平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之和、距離之差的絕對(duì)值等于某個(gè)定值，天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)到兩定點(diǎn)距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，我們稱之為卡西尼卵形線.若定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，其中均為正數(shù)，記該卡西尼卵形線為曲線，它的軌跡方程為.（1）求參數(shù)的值（用含的式子表示）；（2）若為曲線上一點(diǎn)，求證：，；（3）若，求證：曲線恰經(jīng)過(guò)個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）.（1）解：設(shè)為曲線上一點(diǎn)，則由可得.整理可得，結(jié)合題意可知：，.（2）證明：據(jù)（1）的結(jié)論有.一方面，，故.可得，即；另一方面，，從而，即.從而，所以.（3）證明：將代入，可得軌跡方程為.同時(shí)據(jù)（2）的結(jié)論有，.若均為整數(shù)，則由，可知.若，則，即，故.故或，但和都不是整數(shù)的平方，矛盾.所以，從而，這就得到，所以可以取.這表明曲線經(jīng)過(guò)的整點(diǎn)只可能有，，.經(jīng)驗(yàn)證，曲線經(jīng)過(guò)這個(gè)整點(diǎn)，結(jié)論得證.廣東省惠州市惠東縣2025屆高三三模數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題設(shè)，，則.故選：C2.把函數(shù)的圖象按向量平移，得到的圖象，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意.故選：A3.函數(shù)的最小正周期為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由正切型函數(shù)的性質(zhì)知，最小正周期為.故選：B4.已知空間向量滿足，則（）A. B.1 C.0 D.【答案】D【解析】由題設(shè)，，所以.故選：D5.已知，且，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】取，則滿足題意，此時(shí)，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；取，則滿足題意，此時(shí)，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.取，則滿足題意，此時(shí)，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.由于在上遞減，而，所以，所以D選項(xiàng)正確.故選：D6.球面上有三點(diǎn)，若，且球心到所在平面的距離，等于球的半徑的一半，則該球的球面面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令外接圓的半徑為，球的半徑為，由，得，所以為直角三角形，則，即，因?yàn)榍蛐牡剿谄矫娴木嚯x，等于球的半徑的一半，所以，解得，所以球的表面積為.故選：A.7.設(shè)10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5=105，隨機(jī)變量取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均為0.2，隨機(jī)變量取值、、、、的概率也均為0.2，若記、分別為、的方差，則（）A.>B.=C.<D.與的大小關(guān)系與x1、x2、x3、x4的取值有關(guān)【答案】A【解析】由隨機(jī)變量、的取值情況，它們的期望分別為：，，即，，同理，而，所以有.故選：A8.有四張卡片，每張卡片的一面上寫(xiě)著英文字母，則另外一面上寫(xiě)著數(shù)字.現(xiàn)在規(guī)定：當(dāng)牌的一面寫(xiě)著數(shù)字7時(shí)，另外一面必須寫(xiě)著字母.你的任務(wù)是：為了檢驗(yàn)下面4張卡牌是否有違反規(guī)定的寫(xiě)法，你需要翻看哪些牌？（）A.①② B.②③ C.②④ D.④③【答案】B【解析】根據(jù)題意可知：數(shù)字7后面一定是字母H，H后面可以不是數(shù)字7，即M后面是數(shù)字7就違反規(guī)則，所以只用看7和M，其他卡牌無(wú)此顧慮.故選：B.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)得0分.9.有一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，…，，其中(為非零常數(shù)，則（）A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同【答案】CD【解析】A：且，故平均數(shù)不相同，錯(cuò)誤；B：若第一組中位數(shù)為，則第二組中位數(shù)為，顯然不相同，錯(cuò)誤；C：，故方差相同，正確；D：由極差的定義知：若第一組的極差為，則第二組的極差為，故極差相同，正確；故選：CD10.已知等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，則下列結(jié)論中正確的是（）A.數(shù)列是等比數(shù)列 B.可能為C.數(shù)列是等差數(shù)列 D.數(shù)列是等比數(shù)列【答案】ABD【解析】由題設(shè)為定值，則且為定值，A對(duì)；若是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則，B對(duì)；對(duì)于數(shù)列，時(shí)無(wú)意義，故不可能為等差數(shù)列，C錯(cuò)；若的公比為，則是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，D對(duì).故選：ABD11.曲線是平面內(nèi)與三個(gè)定點(diǎn)和的距離的和等于的點(diǎn)的軌跡，為上一點(diǎn)，則（）A.曲線關(guān)于軸對(duì)稱 B.存在點(diǎn)P，使得C.面積的最大值是1 D.存在點(diǎn)，使得為鈍角【答案】CD【解析】設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)，由題意，C的方程為.因?yàn)辄c(diǎn)在曲線C上，而點(diǎn)不在曲線C上，所以曲線C不關(guān)于x軸對(duì)稱，A錯(cuò)誤；若，則，所以這不存在這樣點(diǎn)，B不正確；由，P應(yīng)該在橢圓內(nèi)（含邊界），曲線C與橢圓D有唯一的公共點(diǎn)，此時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)P為點(diǎn)時(shí)，的面積最大，最大值是1，C正確；取曲線C上點(diǎn)，此時(shí)，在曲線C上再尋找一個(gè)特殊點(diǎn)，，則，即，兩邊平方并整理得，解得，即或因?yàn)?，則取點(diǎn)，此時(shí)，D正確.故選：CD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，則______；【答案】2【解析】如下圖示，將平移至與相同起點(diǎn)的位置，則，所以，而，所以.故答案為：2.13.函數(shù)，若成等比數(shù)列且，則值域?yàn)開(kāi)_________.【答案】【解析】由已知得，，由a，b，c成等比數(shù)列，則，，所以有最大值，為，所以值域?yàn)?故答案為：14.設(shè)表示不超x的最大整數(shù)（如）．對(duì)于給定的，定義，則___________；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是___________．【答案】①②.【解析】，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)的值域是故答案為：；四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.在中，．（1）求的值；（2）若，求的面積．解：（1）在中，因?yàn)?，由正弦定理?（2）因?yàn)?，所以，由余弦定理得，解得或（舍），所以的面積.16.已知函數(shù)，（），（1）若曲線與曲線在它們的交點(diǎn)（1，c）處具有公共切線，求a,b的值（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在區(qū)間[k,2]上的最大值為28，求k的取值范圍解：（1）,因?yàn)榍€與曲線在它們的交點(diǎn)處具有公共切線，所以,所以;（2）當(dāng)時(shí)，，，，令，則，令，得，所以在與上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，其中為極大值，所以如果在區(qū)間最大值為，即區(qū)間包含極大值點(diǎn)，所以．17.如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為為中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與面所成角的余弦值.（1）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，為正三角形，則，正三棱柱中，平面平面，平面，平面平面，平面，以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的建立空間直角坐標(biāo)系，則，，且都在面內(nèi)，平面（2）解：設(shè)平面的法向量為，且，令，得，由（1）知面，則為平面的法向量，設(shè)面與面所成角所為，.18.甲、乙兩大超市同時(shí)開(kāi)業(yè)，第一年的全年銷(xiāo)售額為a萬(wàn)元，由于經(jīng)營(yíng)方式不同，甲超市前n年的總銷(xiāo)售額為萬(wàn)元，乙超市第n年的銷(xiāo)售額比前一年銷(xiāo)售額多萬(wàn)元．（1）求甲、乙兩超市第n年銷(xiāo)售