2025屆北京市西城區(qū)高三下學(xué)期4月統(tǒng)一測(cè)試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1北京市西城區(qū)2025屆高三下學(xué)期4月統(tǒng)一測(cè)試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合，，那么集合（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以?故選：A.2.下列函數(shù)中，圖像關(guān)于軸對(duì)稱的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】A選項(xiàng)，由二次函數(shù)圖像及性質(zhì)可知，對(duì)稱軸為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由指數(shù)函數(shù)圖像及性質(zhì)可知，函數(shù)沒(méi)有對(duì)稱軸，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，因?yàn)椋院瘮?shù)為偶函數(shù)，圖像關(guān)于軸對(duì)稱，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，函數(shù)定義域?yàn)?，不是偶函?shù)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.3.在的展開式中，的系數(shù)等于（）A.6 B.12C.18 D.24【答案】D【解析】由題設(shè)，二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)為，，令，則，即的系數(shù)等于24.故選：D4.在長(zhǎng)方形中，為的中點(diǎn)，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)，則，如下圖所示：因?yàn)?，，，所以，，所以，，故，因此?故選：B.5.在平面直角坐標(biāo)系中，若從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且被軸反射后將圓平分，則實(shí)數(shù)（）A. B.C. D.【答案】A【解析】如下圖所示：點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，由對(duì)稱性可知，點(diǎn)、、圓心三點(diǎn)共線，則，即，解得.故選：A.6.設(shè)直線平面，平面平面直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】已知直線平面，平面平面直線，若，由平面，則；若，此時(shí)得不到，直線可能與平面相交，如下圖：所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.7.已知函數(shù)．若，則（）A. B.或C. D.或【答案】B【解析】因?yàn)?，則該函數(shù)的最小正周期為，由可得，所以，函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，因?yàn)?，則或，故選：B.8.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，若雙曲線上存在點(diǎn)，使得，則此雙曲線的離心率的取值范圍是A. B. C. D.【答案】C【解析】故選C.9.蜂巢的精密結(jié)構(gòu)是通過(guò)優(yōu)勝劣汰的進(jìn)化自然形成的．若不計(jì)蜂巢壁的厚度，蜂巢的橫截面可以看成正六邊形網(wǎng)格圖，如圖所示．設(shè)為圖中7個(gè)正六邊形（邊長(zhǎng)為4）的某一個(gè)頂點(diǎn)，為兩個(gè)固定頂點(diǎn)，則的最大值為（）A.44 B.48C.72 D.76【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)，正六邊形的邊長(zhǎng)為4，所以，所以，所以，設(shè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，則的最大值為，由圖可知，離原點(diǎn)距離最遠(yuǎn)的正六邊形頂點(diǎn)為最外圍的頂點(diǎn)，如圖，可取，所以，即的最大值為48.故選：.10.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)的乘積為．若，則（）A.無(wú)最小值，無(wú)最大值 B.有最小值，無(wú)最大值C.無(wú)最小值，有最大值 D.有最小值，有最大值【答案】D【解析】由已知，是等比數(shù)列，，即，可得，若，則，可計(jì)算當(dāng)時(shí)，，結(jié)合，可得即為的最小值，同理，當(dāng)，，當(dāng)，，可知的最小值為，綜上可得，有最小值.由可得，，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，，必有滿足對(duì)于所有，，因?yàn)橐欢ㄊ钦?fù)交替出現(xiàn)，可得一定存在最大值.綜上，對(duì)于滿足已知條件的等比數(shù)列，滿足有最小值，有最大值.故選：D二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.設(shè)為虛數(shù)單位，則________．【答案】【解析】.故答案為：.12.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，則拋物線上一點(diǎn)到的距離為________．【答案】3【解析】由題可得，所以，所以準(zhǔn)線，所以上一點(diǎn)到的距離為，故答案為：3.13.設(shè)平面向量，，，且，則使得向量與共線的一組值________，________．【答案】①.（答案不唯一，填也對(duì)）②.（答案不唯一，第一空填，則第二空填，第一空填，則第二空填）【解析】因?yàn)?，，所以，即，因?yàn)?，，所以，又向量與共線，，所以，所以，所以，所以或，所以或，故答案：；（答；也對(duì)）14.端午節(jié)又名端陽(yáng)節(jié)、粽子節(jié)等，它是中國(guó)首個(gè)入選世界非遺的節(jié)日．從形狀來(lái)分，端午節(jié)吃的粽子有三角粽、四角粽、枕形粽、牛角粽等．其中，四角粽的形狀可以近似看成一個(gè)四面體，如圖所示．設(shè)棱的長(zhǎng)為，其余的棱長(zhǎng)均為，則該四角粽的表面積為________，內(nèi)含食物的體積為________．（粽葉的厚度忽略不計(jì)）【答案】①.②.【解析】,所以為銳角，所以，該四角粽的表面積取中點(diǎn)為，連接，則,所以,即，且，平面，所以平面，內(nèi)含食物的體積為.故答案為：；.15.記表示不超過(guò)實(shí)數(shù)最大整數(shù)．設(shè)函數(shù)，有以下四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)為單調(diào)函數(shù)；②對(duì)于任意的，或；③集合（為常數(shù)）中有且僅有一個(gè)元素；④滿足的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域的面積為8．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．【答案】①②④【解析】，且，則，則，即，則在上單調(diào)遞增，故①正確；當(dāng)，時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，有，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，，此時(shí)，故②正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合在上單調(diào)遞增可知，當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解，故集合為空集，故③錯(cuò)誤；設(shè)，，其中，，則，因，則，則，在每個(gè)單位正方形內(nèi)，的值從到，但不包括，因此在的區(qū)域內(nèi)的每個(gè)單位正方形內(nèi)，的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域面積為1，由于的區(qū)域內(nèi)的單位正方形有個(gè)，因此滿足的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域面積為圖中的面積8.故答案為：①②④三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16.如圖，在多面體中，平面，平面平面，，于點(diǎn)．（1）求證：；（2）設(shè)，，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：如圖，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，平面平面，所以，?）解：在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作．因?yàn)槠矫?，所以平面，因平面，平面，所以，，因平面，平面，則平面平面，又因?yàn)?，平面平面，則平面，所以，，兩兩互相垂直．以為原點(diǎn)，，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，由題意，得，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，于是，所以，故直線與平面所成角的正弦值為．17.在中，．（1）求的值；（2）若，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求邊上的高．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．解：（1）由正弦定理，且，得，即．由，得．所以．由，得，所以．（2）選擇條件①：因?yàn)?，且余弦函?shù)在上單調(diào)遞減，故，又因?yàn)椋瑥亩傻?，與三角形的內(nèi)角和定理矛盾，故①不成立.選擇條件②：由，且，得．由余弦定理，得，解得或（舍）．設(shè)邊上高為，則三角形面積，所以．選擇條件③：由，且，得．由，且，得．所以．由正弦定理，得，所以邊上的高．18.發(fā)展純電動(dòng)、插電式混合動(dòng)力等新能源汽車是我國(guó)從汽車大國(guó)邁向汽車強(qiáng)國(guó)的必由之路．為調(diào)查研究，某地統(tǒng)計(jì)了轄區(qū)內(nèi)從年至年這年的新能源汽車和純電動(dòng)汽車的銷量，得到如下折線圖（單位：百輛）：在每一年中，記該年純電動(dòng)汽車銷量占該年新能源汽車銷量的比重為．（1）從年至年這年中隨機(jī)抽取年，求該年值超過(guò)的概率；（2）現(xiàn)從年至年這年中依次隨機(jī)抽取，每次抽取個(gè)年份，若該年的值超過(guò)，則停止抽取，否則繼續(xù)從剩余的年份中抽取，直至抽到值超過(guò)的年份．記抽取的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）記年至年這年新能源汽車銷量數(shù)據(jù)的方差為，且這年純電動(dòng)汽車銷量數(shù)據(jù)的方差為，寫出與的大小關(guān)系．（結(jié)論不要求證明）解：（1）設(shè)從年至年這年中隨機(jī)抽取1年，且該年的值超過(guò)為事件，由圖表知，年的值為，年的值為，年的值為，年的值為，年的值為，年的值為，年的值為，年的值為，所以在年至年這年中，有且僅有年至年這年的值超過(guò)，所以．（2）由圖表知，在年至年這年中，值超過(guò)的有年，所以隨機(jī)變量的所有可能取值為，，．則，，．所以的分布列為：故的數(shù)學(xué)期望．（3）從年至年這年新能源汽車銷量數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以從年至年這年新能源汽車銷量數(shù)據(jù)的方差所以從年至年這年純電動(dòng)汽車銷量數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，從年至年這年純電動(dòng)汽車銷量數(shù)據(jù)的方差所以，所以.19.已知橢圓離心率為，為橢圓上一點(diǎn)，且點(diǎn)到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和等于．（1）求橢圓的方程；（2）若關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)與垂直的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，軸于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．用與分別表示與的面積，證明：．（1）解：由題意，得解得，，所以橢圓的方程為．（2）證明：由題意，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，．設(shè)直線的方程為，．由得．所以，，，故，．又因?yàn)?，所以，去分母化?jiǎn)得到，所以或．當(dāng)時(shí)，直線過(guò)原點(diǎn)，不符合題意．當(dāng)時(shí)，直線的方程為，則點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，．故.20.已知函數(shù)，其中．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為2，求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為，，求使得不等式成立的的最小值．解：（1）由，則，則，解得．（2）由，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，令，得，若，由，得；由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；若，由，得；由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增.綜上所述，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以．由，得，令，則，由，得或．當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下表：1+0-0+↗極大值↘極小值↗所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．又因?yàn)?，，且，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，恒成立，所以使得成立的的最小值為2．21.如圖，設(shè)是由個(gè)實(shí)數(shù)組成的行列的數(shù)表，其中表示位于第行第列的實(shí)數(shù)，且滿足與均是公差不為的等差數(shù)列．…………若根據(jù)條件，能求出數(shù)表中所有的數(shù)，則稱能被確定．（1）已知，分別根據(jù)下列條件，直接判斷數(shù)表能否被其確定：條件“已知”；條件“已知”．（2）設(shè)條件“任意給定數(shù)表中的個(gè)數(shù)”，能被確定，證明：的最小值為；（3）設(shè)條件“已知集合或其中中的任意個(gè)元素”，求的最小值，使得能被確定．（1）解：數(shù)表不能被確定；數(shù)表能被確定．對(duì)于條件，假設(shè)數(shù)表中每行、每列的公差都相等，均為，則，，，則，、均無(wú)法確定，故數(shù)表不能被確定；對(duì)于條件，因?yàn)?、確定，可以根據(jù)確定，則第二行可以全部確定，低于第二列，由于確定，結(jié)合可確定第二列的公差，進(jìn)而可求出，則第二列可以全部確定，對(duì)于第三行，由于確定了，結(jié)合可求出第三行的公差，由此可確定，則第三行可以全部確定，對(duì)于第一列，由于確定了、，可以求出第一列的公差，由此可確定，則第一列可以全部確定，綜上所述，數(shù)表可由條件確定.（2）證明：對(duì)于一個(gè)公差為的等差數(shù)列，若知其中兩項(xiàng)與，便可根據(jù)，求出該等差數(shù)列中的每一項(xiàng)．故對(duì)于數(shù)表中的任意一行（或列），若知道其中的兩個(gè)數(shù)，便可利用條件得到該行（或列）中的所有數(shù)．一方面，若知這個(gè)數(shù)，則無(wú)法求出，故不能得出數(shù)表中所有的數(shù)，所以．另一方面，若知數(shù)表中的任意個(gè)數(shù)，則必存在表中的兩行，且這兩行中至少有兩個(gè)數(shù)已知，于是數(shù)表中這兩行的數(shù)都能被求出，即數(shù)表中每一列都至少有兩個(gè)數(shù)已知，所以數(shù)表中所有的數(shù)都能求出，即能被確定．綜上，的最小值為．（3）解：當(dāng)時(shí)，若知中的個(gè)數(shù)，則不能求出中所有的數(shù)．當(dāng)時(shí)，已知與中的任意個(gè)數(shù)，則必存在兩個(gè)數(shù)在中位于同一行（記為第行），從而可求出這一行中的所有數(shù)．因?yàn)榕c中至多有兩個(gè)數(shù)在同一行，所以除去第行的兩個(gè)數(shù)外，余下已知的個(gè)數(shù)必在其余的行中．當(dāng)時(shí)，通過(guò)列舉可知：余下已知的2個(gè)數(shù)不在同一列中（所在列分別記為第列和第列）；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谂c中至多有兩個(gè)數(shù)在同一列，所以至少有兩列（記為第列和第列）中含有這已知的數(shù)中的數(shù)．又因?yàn)榈谛械臄?shù)均已得到，所以在第列與第列中均至少知道兩個(gè)數(shù)，故這兩列中所有的數(shù)都可求出，于是數(shù)表中每一行至少有兩個(gè)數(shù)均已得到，從而可求出數(shù)表中所有的數(shù)．綜上，的最小值為．北京市西城區(qū)2025屆高三下學(xué)期4月統(tǒng)一測(cè)試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合，，那么集合（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以?故選：A.2.下列函數(shù)中，圖像關(guān)于軸對(duì)稱的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】A選項(xiàng)，由二次函數(shù)圖像及性質(zhì)可知，對(duì)稱軸為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由指數(shù)函數(shù)圖像及性質(zhì)可知，函數(shù)沒(méi)有對(duì)稱軸，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，圖像關(guān)于軸對(duì)稱，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，函數(shù)定義域?yàn)椋皇桥己瘮?shù)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.3.在的展開式中，的系數(shù)等于（）A.6 B.12C.18 D.24【答案】D【解析】由題設(shè)，二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)為，，令，則，即的系數(shù)等于24.故選：D4.在長(zhǎng)方形中，為的中點(diǎn)，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)，則，如下圖所示：因?yàn)椋?，，所以，，所以，，故，因此?故選：B.5.在平面直角坐標(biāo)系中，若從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且被軸反射后將圓平分，則實(shí)數(shù)（）A. B.C. D.【答案】A【解析】如下圖所示：點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，由對(duì)稱性可知，點(diǎn)、、圓心三點(diǎn)共線，則，即，解得.故選：A.6.設(shè)直線平面，平面平面直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】已知直線平面，平面平面直線，若，由平面，則；若，此時(shí)得不到，直線可能與平面相交，如下圖：所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.7.已知函數(shù)．若，則（）A. B.或C. D.或【答案】B【解析】因?yàn)?，則該函數(shù)的最小正周期為，由可得，所以，函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，因?yàn)椋瑒t或，故選：B.8.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，若雙曲線上存在點(diǎn)，使得，則此雙曲線的離心率的取值范圍是A. B. C. D.【答案】C【解析】故選C.9.蜂巢的精密結(jié)構(gòu)是通過(guò)優(yōu)勝劣汰的進(jìn)化自然形成的．若不計(jì)蜂巢壁的厚度，蜂巢的橫截面可以看成正六邊形網(wǎng)格圖，如圖所示．設(shè)為圖中7個(gè)正六邊形（邊長(zhǎng)為4）的某一個(gè)頂點(diǎn)，為兩個(gè)固定頂點(diǎn)，則的最大值為（）A.44 B.48C.72 D.76【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)，正六邊形的邊長(zhǎng)為4，所以，所以，所以，設(shè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，則的最大值為，由圖可知，離原點(diǎn)距離最遠(yuǎn)的正六邊形頂點(diǎn)為最外圍的頂點(diǎn)，如圖，可取，所以，即的最大值為48.故選：.10.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)的乘積為．若，則（）A.無(wú)最小值，無(wú)最大值 B.有最小值，無(wú)最大值C.無(wú)最小值，有最大值 D.有最小值，有最大值【答案】D【解析】由已知，是等比數(shù)列，，即，可得，若，則，可計(jì)算當(dāng)時(shí)，，結(jié)合，可得即為的最小值，同理，當(dāng)，，當(dāng)，，可知的最小值為，綜上可得，有最小值.由可得，，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，，必有滿足對(duì)于所有，，因?yàn)橐欢ㄊ钦?fù)交替出現(xiàn)，可得一定存在最大值.綜上，對(duì)于滿足已知條件的等比數(shù)列，滿足有最小值，有最大值.故選：D二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.設(shè)為虛數(shù)單位，則________．【答案】【解析】.故答案為：.12.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，則拋物線上一點(diǎn)到的距離為________．【答案】3【解析】由題可得，所以，所以準(zhǔn)線，所以上一點(diǎn)到的距離為，故答案為：3.13.設(shè)平面向量，，，且，則使得向量與共線的一組值________，________．【答案】①.（答案不唯一，填也對(duì)）②.（答案不唯一，第一空填，則第二空填，第一空填，則第二空填）【解析】因?yàn)?，，所以，即，因?yàn)?，，所以，又向量與共線，，所以，所以，所以，所以或，所以或，故答案：；（答；也對(duì)）14.端午節(jié)又名端陽(yáng)節(jié)、粽子節(jié)等，它是中國(guó)首個(gè)入選世界非遺的節(jié)日．從形狀來(lái)分，端午節(jié)吃的粽子有三角粽、四角粽、枕形粽、牛角粽等．其中，四角粽的形狀可以近似看成一個(gè)四面體，如圖所示．設(shè)棱的長(zhǎng)為，其余的棱長(zhǎng)均為，則該四角粽的表面積為________，內(nèi)含食物的體積為________．（粽葉的厚度忽略不計(jì)）【答案】①.②.【解析】,所以為銳角，所以，該四角粽的表面積取中點(diǎn)為，連接，則,所以,即，且，平面，所以平面，內(nèi)含食物的體積為.故答案為：；.15.記表示不超過(guò)實(shí)數(shù)最大整數(shù)．設(shè)函數(shù)，有以下四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)為單調(diào)函數(shù)；②對(duì)于任意的，或；③集合（為常數(shù)）中有且僅有一個(gè)元素；④滿足的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域的面積為8．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．【答案】①②④【解析】，且，則，則，即，則在上單調(diào)遞增，故①正確；當(dāng)，時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，有，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，，此時(shí)，故②正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合在上單調(diào)遞增可知，當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解，故集合為空集，故③錯(cuò)誤；設(shè)，，其中，，則，因，則，則，在每個(gè)單位正方形內(nèi)，的值從到，但不包括，因此在的區(qū)域內(nèi)的每個(gè)單位正方形內(nèi)，的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域面積為1，由于的區(qū)域內(nèi)的單位正方形有個(gè)，因此滿足的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域面積為圖中的面積8.故答案為：①②④三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16.如圖，在多面體中，平面，平面平面，，于點(diǎn)．（1）求證：；（2）設(shè)，，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：如圖，因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，平面平面，所以，?）解：在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作．因?yàn)槠矫?，所以平面，因平面，平面，所以，，因平面，平面，則平面平面，又因?yàn)椋矫嫫矫?，則平面，所以，，兩兩互相垂直．以為原點(diǎn)，，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，由題意，得，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，于是，所以，故直線與平面所成角的正弦值為．17.在中，．（1）求的值；（2）若，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求邊上的高．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．解：（1）由正弦定理，且，得，即．由，得．所以．由，得，所以．（2）選擇條件①：因?yàn)?，且余弦函?shù)在上單調(diào)遞減，故，又因?yàn)?，從而可得，與三角形的內(nèi)角和定理矛盾，故①不成立.選擇條件②：由，且，得．由余弦定理，得，解得或（舍）．設(shè)邊上高為，則三角形面積，所以．選擇條件③：由，且，得．由，且，得．所以．由正弦定理，得，所以邊上的高．18.發(fā)展純電動(dòng)、插電式混合動(dòng)力等新能源汽車是我國(guó)從汽車大國(guó)邁向汽車強(qiáng)國(guó)的必由之路．為調(diào)查研究，某地統(tǒng)計(jì)了轄區(qū)內(nèi)從年至年這年的新能源汽車和純電動(dòng)汽車的銷量，得到如下折線圖（單位：百輛）：在每一年中，記該年純電動(dòng)汽車銷量占該年新能源汽車銷量的比重為．（1）從年至年這年中隨機(jī)抽取年，求該年值超過(guò)的概率；（2）現(xiàn)從年至年這年中依次隨機(jī)抽取，每次抽取個(gè)年份，若該年的值超過(guò)，則停止抽取，否則繼續(xù)從剩余的年份中抽取，直至抽到值超過(guò)的年份．記抽取的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）記年至年這年新能源汽車銷量數(shù)據(jù)的方差為，且這年純電動(dòng)汽車銷量數(shù)據(jù)的方差為，寫出與的大小關(guān)系．（結(jié)論不要求證明）解：（1）設(shè)從年至年這年中隨機(jī)抽取1年，且該年的值超過(guò)為事件，由圖表知，年的值為，年的值為，年的值為，年的值為，年的值為，年的值為，年的值為，年的值為，所以在年至年這年中，有且僅有年至年這年的值超過(guò)，所以．（2）由圖表知，在年至年這年中，值超過(guò)的有年，所以隨機(jī)變量的所有可能取值為，，．則，，．所以的分布列為：故的數(shù)學(xué)期望．（3）從年至年這年新能源汽車銷量數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以從年至年這年新能源汽車銷量數(shù)據(jù)的方差所以從年至年這年純電動(dòng)汽車銷量數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，從年至年這年純電動(dòng)汽車銷量數(shù)據(jù)的方差所以，所以.19.已知橢圓離心率為，為橢圓上一點(diǎn)，且點(diǎn)到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和等于．（1）求橢圓的方程；（2）若關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)與垂直的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，軸于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．用與分別表示與的面積，證明：．（1）解：由題意，得解得，，所以橢圓的方程為．（2）證明：由題意，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，．設(shè)直線的方程為，．由得．所以，，，故，．又因?yàn)?，所以，去分母化?jiǎn)得到，所以或．當(dāng)時(shí)，直線過(guò)原點(diǎn)，不符合題意．當(dāng)時(shí)，直線的方程為，則點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，．故.20.已知函數(shù)，其中．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為2，求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為，，求使得不等式成立的的最小值．解：（1）由，則，則，解得．（2）由，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，令，得，若，由，得；由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；若，由，得；由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增.綜上所述，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以．由，得，令，則，由，得或．當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下表：1+0-0+↗極大值↘極小值↗所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．又