2024-2025學年浙江省湖州市長興縣南太湖聯(lián)盟高一下學期3月聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試題PAGEPAGE1浙江省湖州市長興縣南太湖聯(lián)盟2024-2025學年高一下學期3月聯(lián)考數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為，所以，.故選：A.2.已知復數(shù)，則復數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以復數(shù)的虛部為.故選：A.3.已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，若，則C=（）A. B.C.或 D.【答案】C【解析】在中，由及正弦定理得，所以或.故選：C.4.已知向量，且，則（）A.－1 B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】向量，由，得，解得，由，得，所以.故選：B.5.在中，已知，則的面積為（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】因為，及和，所以，解得：，又因為，所以.所以.故選：C.6.已知向量，若與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.且C. D.且【答案】D【解析】向量，則，由與夾角為銳角，得，且與不共線，因此，解得且，所以實數(shù)的取值范圍為且.故選：D.7.為了測量某塔高度，檢測員在地面A處測得塔頂T處仰角為，從A處向正東方向走了70米到地面B處，測得塔頂T處仰角為，若，則鐵塔OT的高度為（）米.A. B. C. D.【答案】B【解析】設鐵塔OT的高度為，依題意，，中，由余弦定理得，即，解得，所以鐵塔OT的高度為米.故選：B.8.已知單位向量，且向量的夾角為，若對任意的恒成立，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.－1【答案】C【解析】由單位向量，且向量的夾角為，得，由，得，即，依題意，對任意的，恒成立，而，當且僅當時取等號，因此，整理得，所以.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對得部分分，選錯得得0分．9.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】對于A，因為，故不是偶函數(shù)，故A錯誤；對于B，由二次函數(shù)性質(zhì)知，圖象關于軸對稱，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B正確；對于C，因為的定義域為，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確；對于D，，顯然在區(qū)間上單調(diào)遞減，故D錯誤.故選：BC.10.已知復數(shù)為的共軛復數(shù)，則下列結論一定正確的是（）A. B.一定是實數(shù)C.若，則 D.【答案】ABD【解析】對于A：設，則，可得，，故A正確；對于B：令，由，故B正確；對于C：設，則，，滿足，但，故C錯誤；因為，故D正確.故選：ABD.11.已知平面向量滿足，則下列說法正確的為（）A. B.最小值為C.最大值為 D.【答案】ABD【解析】由，得，解得，對于A，，，又是非零向量，因此，故A正確；對于B，，當且僅當時取等號，故B正確；對于C，由，得，則，即，當且僅當同向共線時取等號，解，得，故C錯誤；對于D，由，得，則，，而，因此，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知的周長為，且，則______．【答案】【解析】在中，令內(nèi)角所對邊分別為，由，得，而，所以.13.已知是方程的一個根，則______．【答案】0【解析】由是方程的一個根，得是該方程的另一根，則，，解得，所以.14.已知正實數(shù)x，y滿足，則的最大值為______．【答案】1【解析】因為，所以，則，所以，當且僅當，即時等號成立.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知復數(shù)，其中是虛數(shù)單位，（1）若z為純虛數(shù)，求實數(shù)m的值；（2）若z在復平面內(nèi)所對應的點在第二象限，求實數(shù)m的取值范圍．解：（1）復數(shù)為純虛數(shù)，則，無解，所以實數(shù)m的值的集合為空集.（2）由z在復平面內(nèi)所對應的點在第二象限，得，解得，所以實數(shù)m的取值范圍是.16.已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，若．（1）求的值；（2）若的面積為，求的值．解：（1）由正弦定理可得，又，所以，又，所以，即.（2）由，又，解得，因為，所以，由余弦定理可得，即.17.已知函數(shù)的最大值為1．（1）求實數(shù)a的值；（2）若在上單調(diào)遞增，求的值；（3）在（2）的條件下，若在上恰有2個零點，求實數(shù)m的取值范圍．解：（1）函數(shù)，函數(shù)，解得，所以的值是.（2）當時，，由上單調(diào)遞增，得，解得，而，則，所以的值是1.（3）由（1）（2）知，，由，得，當時，，又函數(shù)在上恰有2個零點，得，解得，所以實數(shù)m的取值范圍是.18.如圖，在中，，線段與線段交于點F．（1）求的值；（2）求的值：（3）若O為內(nèi)一動點，求的最小值．解：（1）由可得，，在中，由可知：，由余弦定理得：，又因為，所以由勾股定理可得：，則以為坐標原點，如圖建立平面直角坐標系，有：，由可得：，所以，則.（2）由圖可得：.（3）由，設中點為，同理可得，所以，在如圖坐標系中，可設，，則，此時，即點作軸垂線垂足為，點作軸垂線垂足為，則為的八等分點，為的四等分點，顯然此時點在內(nèi)部，滿足題意.所以取到最小值.19.若三角形內(nèi)一點P滿足，則稱P為三角形的布洛卡點，為三角形的布洛卡角．已知a，b，c分別為三角形三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，點P為三角形的布洛卡點，為三角形的布洛卡角．（1）若，且，求三角形的布洛卡角的余弦值；（2）若三角形的面積為S．①證明：；②當時，求面積S的大?。猓海?）如圖設，因，則，由題可得，則，由余弦定理，可得：，注意到.則.則.（2）①由圖可得，則要證等式右邊等于，由余弦定理，，同理可得：，.則要證等式右邊等于左邊；②先證：在三角形中，，當且僅當三角形為等邊三角形取等號.由海倫公式，，其中.則.故所證不等式等價于證明：，即證：，即證：，注意到，.則.注意到，，則，即，當且僅當三角形為等邊三角形時取等號.當時，由①，，由以上證明不等式取等條件可得，此時三角形為等邊三角形，則.浙江省湖州市長興縣南太湖聯(lián)盟2024-2025學年高一下學期3月聯(lián)考數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為，所以，.故選：A.2.已知復數(shù)，則復數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以復數(shù)的虛部為.故選：A.3.已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，若，則C=（）A. B.C.或 D.【答案】C【解析】在中，由及正弦定理得，所以或.故選：C.4.已知向量，且，則（）A.－1 B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】向量，由，得，解得，由，得，所以.故選：B.5.在中，已知，則的面積為（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】因為，及和，所以，解得：，又因為，所以.所以.故選：C.6.已知向量，若與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.且C. D.且【答案】D【解析】向量，則，由與夾角為銳角，得，且與不共線，因此，解得且，所以實數(shù)的取值范圍為且.故選：D.7.為了測量某塔高度，檢測員在地面A處測得塔頂T處仰角為，從A處向正東方向走了70米到地面B處，測得塔頂T處仰角為，若，則鐵塔OT的高度為（）米.A. B. C. D.【答案】B【解析】設鐵塔OT的高度為，依題意，，中，由余弦定理得，即，解得，所以鐵塔OT的高度為米.故選：B.8.已知單位向量，且向量的夾角為，若對任意的恒成立，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.－1【答案】C【解析】由單位向量，且向量的夾角為，得，由，得，即，依題意，對任意的，恒成立，而，當且僅當時取等號，因此，整理得，所以.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對得部分分，選錯得得0分．9.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】對于A，因為，故不是偶函數(shù)，故A錯誤；對于B，由二次函數(shù)性質(zhì)知，圖象關于軸對稱，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B正確；對于C，因為的定義域為，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確；對于D，，顯然在區(qū)間上單調(diào)遞減，故D錯誤.故選：BC.10.已知復數(shù)為的共軛復數(shù)，則下列結論一定正確的是（）A. B.一定是實數(shù)C.若，則 D.【答案】ABD【解析】對于A：設，則，可得，，故A正確；對于B：令，由，故B正確；對于C：設，則，，滿足，但，故C錯誤；因為，故D正確.故選：ABD.11.已知平面向量滿足，則下列說法正確的為（）A. B.最小值為C.最大值為 D.【答案】ABD【解析】由，得，解得，對于A，，，又是非零向量，因此，故A正確；對于B，，當且僅當時取等號，故B正確；對于C，由，得，則，即，當且僅當同向共線時取等號，解，得，故C錯誤；對于D，由，得，則，，而，因此，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知的周長為，且，則______．【答案】【解析】在中，令內(nèi)角所對邊分別為，由，得，而，所以.13.已知是方程的一個根，則______．【答案】0【解析】由是方程的一個根，得是該方程的另一根，則，，解得，所以.14.已知正實數(shù)x，y滿足，則的最大值為______．【答案】1【解析】因為，所以，則，所以，當且僅當，即時等號成立.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知復數(shù)，其中是虛數(shù)單位，（1）若z為純虛數(shù)，求實數(shù)m的值；（2）若z在復平面內(nèi)所對應的點在第二象限，求實數(shù)m的取值范圍．解：（1）復數(shù)為純虛數(shù)，則，無解，所以實數(shù)m的值的集合為空集.（2）由z在復平面內(nèi)所對應的點在第二象限，得，解得，所以實數(shù)m的取值范圍是.16.已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，若．（1）求的值；（2）若的面積為，求的值．解：（1）由正弦定理可得，又，所以，又，所以，即.（2）由，又，解得，因為，所以，由余弦定理可得，即.17.已知函數(shù)的最大值為1．（1）求實數(shù)a的值；（2）若在上單調(diào)遞增，求的值；（3）在（2）的條件下，若在上恰有2個零點，求實數(shù)m的取值范圍．解：（1）函數(shù)，函數(shù)，解得，所以的值是.（2）當時，，由上單調(diào)遞增，得，解得，而，則，所以的值是1.（3）由（1）（2）知，，由，得，當時，，又函數(shù)在上恰有2個零點，得，解得，所以實數(shù)m的取值范圍是.18.如圖，在中，，線段與線段交于點F．（1）求的值；（2）求的值：（3）若O為內(nèi)一動點，求的最小值．解：（1）由可得，，在中，由可知：，由余弦定理得：，又因為，所以由勾股定理可得：，則以為坐標原點，如圖建立平面直角坐標系，有：，由可得：，所以，則.（2）由圖可得：.（3）由，設中點為，同理可得，所以，在如圖坐標系中，可設，，則，此時，即點作軸垂線垂足為，點作軸垂線垂足為，則為的八等分點，為的四等分點，顯然此時點在內(nèi)部，滿足題意.所以取到最小值.19.若三角形內(nèi)一點P滿足，則稱P為三角形的布洛卡點，為三角形的布洛卡角．已知a，b，c分別為三角形三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，點P為三角形的布洛卡點，為三角形的布洛卡角．（1）若，且，求