2023~2024學(xué)年四川成都高考熱身數(shù)學(xué)文試題帶解析

2023-2024學(xué)年四川省成都市高考熱身數(shù)學(xué)（文）模擬試題一、單選題1．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】根據(jù)交集的定義計算可得.【詳解】因為，又，所以.故選：C2．在統(tǒng)計學(xué)中，月度同比是指本月和上一年同月相比較的增長率，月度環(huán)比是指本月和上一個月相比較的增長率，如圖是我國2022年1月至2022年12月居民消費價格月度漲跌幅度統(tǒng)計圖，則以下說法正確的是（

）

A．在這12個月中，我國居民消費價格月度同比數(shù)據(jù)的眾數(shù)為0.9%B．在這12個月中，我國居民消費價格月度環(huán)比數(shù)據(jù)的眾數(shù)為0.4%C．在這12個月中，我國居民消費價格最低是5月D．在這12個月中，我國居民消費價格最高是10月【正確答案】D【分析】根據(jù)統(tǒng)計圖分別求出消費同比數(shù)據(jù)，求出月度環(huán)比數(shù)據(jù)的眾數(shù)，即可得答案．【詳解】在這12個月中，我國居民消費價格月度同比數(shù)據(jù)的眾數(shù)為2.1%，A錯；我國居民消費價格月度環(huán)比數(shù)據(jù)的眾數(shù)為0.0%，B錯；根據(jù)環(huán)比數(shù)據(jù)知：我國居民消費價格最低是1月，我國居民消費價格最高是10月，C錯，D對.故選:D.3．實數(shù)a，b滿足，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【正確答案】C【分析】舉反例即可判定ABD，由，得出，利用指數(shù)函數(shù)的性即可判定C.【詳解】取,滿足,但,所以A錯誤；取,滿足,但，所以B錯誤；若，則,,所以C正確；取,則,所以D錯誤.故選:C.4．早在公元5世紀(jì)，我國數(shù)學(xué)家祖暅在求球的體積時，就創(chuàng)造性地提出了一個原理：“冪勢既同，則積不容異”，即夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積、總相等，則這兩個幾何體的體積、相等.根據(jù)“祖暅原理”，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】根據(jù)祖暅原理，判斷“”與“”之間的邏輯推理關(guān)系即可.【詳解】根據(jù)祖暅原理可知，當(dāng)時，一定有成立，反之，當(dāng)成立時，不一定有成立，比如兩個完全相同的三棱錐，正置和倒置時，，不一定相等，故“”是“”的必要不充分條件.故選：B5．已知向量，，且．則的值為（

）A． B．0 C． D．不存在【正確答案】C【分析】根據(jù)向量共線得到，利用二倍角正弦公式得到，再根據(jù)平方關(guān)系計算可得.【詳解】因為，，且,所以，即，即，因為，所以，所以，又，所以.故選：C6．設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（

）A．8 B．-8 C．4 D．-4【正確答案】B【分析】根據(jù)條件，求首項和公比，再代入等比數(shù)列的通項公式，即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得：，，所以.故選：B7．已知兩個平面，，及兩條直線，．則下列命題錯誤的是（

）A．若，，，，則B．若，，，則C．若，，，，則D．若，是異面直線，，，，，則【正確答案】C【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理判斷A，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判斷B，根據(jù)面面的位置關(guān)系判斷C，根據(jù)面面平行的判定定理及異面直線的概念判斷D.【詳解】對于A，若，，，，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得，A正確；對于B，若，，則，又，則，B正確；對于C，若，，，，則與可以相交或平行，C錯誤；對于D，因為，，所以存在直線，，因為，是異面直線，所以與相交，因為，，，所以，又因為，，所以，D正確，故選：C8．已知函數(shù)，其在一個周期內(nèi)的圖象分別與x軸、y軸交于點A、點B，并與過點A的直線相交于另外兩點C、D.設(shè)O為坐標(biāo)原點，則（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】根據(jù)圖象結(jié)合三角函數(shù)求點，進而求，即可得結(jié)果.【詳解】因為，可得，即，由圖可知：點A為減區(qū)間的對稱中心，令，解得，取，則，即，可得，因為點A為線段CD的中點，則，所以.故選：B.9．算盤是中國傳統(tǒng)的計算工具，其形長方，周為木框，內(nèi)貫直柱，俗稱“檔”，檔中橫以梁，梁上兩珠，每珠作數(shù)五，梁下五珠，每珠作數(shù)一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如，在百位檔撥一顆下珠，十位檔撥一顆上珠和兩顆下珠，則表示數(shù)字170，若在個、十、百、千位檔中，先隨機選擇一檔撥一顆上珠，再隨機選擇兩個檔位各撥一顆下珠，則所撥數(shù)字大于的概率為（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】由條件確定隨機試驗的樣本空間中的樣本點的個數(shù)，再求事件所撥數(shù)字大于所包含的樣本點的個數(shù)，利用古典概型概率公式求其概率．【詳解】依題意得所撥數(shù)字共有種可能，即樣本空間中共含個樣本點，要使所撥數(shù)字大于，則：①上珠撥的是千位檔或百位檔，則所撥數(shù)字一定大于，有種;②上珠撥是十位檔或個位檔，則再隨機選擇兩個檔位必有千位檔，有種,則所撥數(shù)字大于1000的概率為.故選：D.10．設(shè)、是橢圓的左、右焦點，點P是直線上一點，則的最大值是（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】由題意方程求得，設(shè)，利用傾斜角的概念以及兩角差的正切公式，基本不等式，正切函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意得：，則，所以.因為點P是直線上一點，不妨設(shè),設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則，，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，因為在上單調(diào)遞增，所以的最大值是.故選:A.11．某人從2023年起，每年1月1日到銀行新存入2萬元（一年定期），若年利率為2%保持不變，且每年到期存款均自動轉(zhuǎn)為新的一年定期，到2033年1月1日將之前所有存款及利息全部取回，他可取回的線數(shù)約為（

）（單位：萬元）參考數(shù)據(jù)：A．2.438 B．19.9 C．22.3 D．24.3【正確答案】C【分析】復(fù)利計息問題，逐年分析尋找規(guī)律，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】由題意，2023年存的2萬元共存了10年，本息和為萬元，2024年存的2萬元共存了9年，本息和為萬元，2032年存的2萬元共存了1年，本息和為萬元，所以到2033年1月1日將之前所有存款及利息全部取回，他可取回的錢數(shù)約為萬元，故選：C.12．如圖，球O的半徑為，球面上的三個點A，B，C的外接圓為圓，且，若，則三棱錐的體積是（

）

A． B． C． D．【正確答案】A【分析】設(shè)，由條件結(jié)合正弦定理求，根據(jù)球的截面的性質(zhì)列方程求，結(jié)合錐體體積公式求三棱錐的體積.【詳解】設(shè)，由，可得，因為，，為的外心，所以，，所以，故，由已知，，，所以，所以，，，由球的截面性質(zhì)可得平面，所以三棱錐的體積.故選：A.

二、填空題13．已知復(fù)數(shù)滿足，則__________.【正確答案】5【分析】設(shè)，，根據(jù)復(fù)數(shù)的模及復(fù)數(shù)相等的充要條件得到方程組，解得、，即可求出，從而得解.【詳解】設(shè)，，則，因為，所以，所以，所以，即，所以.故14．已知變量滿足約束條件，則的最大值__________.【正確答案】5【分析】作出可行域,設(shè)，根據(jù)的幾何意義，求得的最小值和最大值，進而得到的最大值.【詳解】作出可行域，如圖，令，可得，令，可得，設(shè)，則直線過點時，取最小值，過點時，取最大值，因此的最大值是5.故答案為:5.15．某地鐵換乘站設(shè)有編號為，，，的四個安全出口，若同時開放其中的兩個安全出口，疏散1000名乘客所需時間如下表：安全出口編號，，，，疏散乘客用時（秒）120140190160則疏散乘客最快的一個安全出口的編號為______．【正確答案】【分析】由題意可得同時開放，兩個安全出口和同時開放，兩個安全出口所用時間比較可得比快，若同時開放，兩個安全出口和同時開放，兩個安全出口的用時間比較可得比快，若同時開放，兩個安全出口和同時開放，兩個安全出口所用時間比較可得比快，從而可得結(jié)論.【詳解】同時開放，兩個安全出口，疏散1000名乘客需要時間為，同時開放，兩個安全出口，疏散1000名乘客需要時間為，得比快；同時開放，兩個安全出口，疏1000名乘客需要時間為，同時開放，兩個安全出口，疏散1000名乘客需要時間為，得比快，同時開放，兩個安全出口，疏1000名乘客需要時間為，同時開放，兩個安全出口，疏散1000名乘客需要時間為，得比快，綜上所述：疏散乘客用時最短的一個安全出口的編號是.故16．等比數(shù)列的公比為，其前n項和為，且，．若仍為等比數(shù)列，則______．【正確答案】【分析】由題意求得，再由等比數(shù)列的前n項和公式求出，進而求得，因為仍為等比數(shù)列，則，代入求解即可得出答案.【詳解】由得：，則，所以，又，所以，又，所以，所以，因為，，，所以，解得：，當(dāng)時，是等比數(shù)列.故答案為.三、解答題17．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，．(1)求角C的大?。?2)已知，的面積為6，求的值．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角恒等變形，求角的值；（2）首先根據(jù)面積公式求，再根據(jù)余弦定理和正弦定理，即可求解的值.【詳解】（1）即，則,且，則；，（2），所以，根據(jù)余弦定理可知，,即，根據(jù)正弦定理，，即，解得.18．在正六棱柱中，，，為側(cè)棱的中點，為棱上一點，為下底面的中心.（1）求證：平面；（2）求四棱錐的體積.【正確答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）通過構(gòu)成三角形的中位線達(dá)到證明平行；（2）將問題轉(zhuǎn)化為三棱錐的體積問題.【詳解】（1）證明：連接和，構(gòu)成，因為為面的中心，所以為中點，又為中點，所以，且，又面，面，所以平面.（2），將四棱分割為兩個相等的三棱錐，則，連，則，，則，故，則平面，因為平面，所以，所以.19．環(huán)保部門隨機調(diào)查了某市2022年中100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當(dāng)天到江邊綠道鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位天）：鍛煉人次空氣質(zhì)量等級1（優(yōu)）610252（良）910123（輕度污染）7874（中度污染)321若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．(1)估計該市2022年（365天）“空氣質(zhì)量好”的天數(shù)（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）；(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有的把握認(rèn)為一天中到江邊綠道鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？人次人次空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附：．0.10.010.0012.7066.63510.828【正確答案】(1)天(2)列聯(lián)表見解析，沒有的把握認(rèn)為一天中到江邊綠道鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).【分析】（1）由頻數(shù)分布表得到空氣質(zhì)量等級為或的概率，從而得到“空氣質(zhì)量好”的概率，即可估計天數(shù)；（2）根據(jù)題干數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計算出卡方，即可判斷.【詳解】（1）依題意可得，該市一天的空氣質(zhì)量等級為的概率為，等級為的概率為，所以“空氣質(zhì)量好”的概率為，所以該市年（天）“空氣質(zhì)量好”的天數(shù)為（天）.（2）依題意列聯(lián)表如下所示：人次人次空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好所以，因此沒有的把握認(rèn)為一天中到江邊綠道鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)．20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點，過右側(cè)的點作，垂足為，且．(1)求點的軌跡的方程；(2)過點的動直線交軌跡于，設(shè)，證明：為定值．【正確答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)提意思，設(shè)，得到，結(jié)合，利用距離公式化簡，即可求解曲線的方程；（2）當(dāng)直線的斜率存在，可設(shè)，聯(lián)立方程組，設(shè)，求得，化簡，代入求得；當(dāng)直線的斜率不存在，此時，求得，得到，即可求解.【詳解】（1）由題意，直線與軸交于點，過右側(cè)的點作，可得，設(shè)，則，因為，可得，即，整理得.（2）當(dāng)直線的斜率存在，可設(shè)直線，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，因為直線與曲線交于兩點，則，且，因為，可得，所以；當(dāng)直線的斜率不存在，此時直線，聯(lián)立方程組，解得，不妨設(shè)，此時，可得，綜上可得，為定值.21．已知函數(shù)有兩個極值點，．(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)證明：．【正確答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由，有，令，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，求的取值范圍得實數(shù)a的取值范圍；（2）由，得，證明，得，從而．【詳解】（1）有兩個兩側(cè)異號的零點，又，于是，令，則，令，則.當(dāng)時，，于是，所以在單調(diào)遞減且，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增.又且，，所以.所以實數(shù)a的取值范圍為.（2）因為，所以，于是，從而，下面證明，即證明，令，即證明，即證明，令，.所以在單調(diào)遞增，所以.從而.所以，于是，由(1)知，從而．方法點睛：1.導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．2.利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.3.證明不等式，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.22．如圖所示形如花瓣的曲線稱為四葉玫瑰線，在極坐標(biāo)系中，其極坐標(biāo)方程為．

(1)若射線與相交于異于極點的點，求；(2)若為上的兩