2023~2024學(xué)年山東煙臺招遠(yuǎn)高三第二學(xué)期5月全國新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題帶解析

2023-2024學(xué)年山東省煙臺招遠(yuǎn)市高三下學(xué)期5月全國新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)模擬試題一、單選題1．已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】求出再求即可.【詳解】由題知，，則.故選：B.2．已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．1 B． C． D．2【正確答案】D【分析】設(shè)，代入，利用復(fù)數(shù)相等求解.【詳解】解：設(shè)，則，所以，則，解得或，所以，故選：D.3．已知底面半徑為的圓錐，其軸截面為正三角形，若它的一個(gè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為，則此圓柱的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】作出圓錐的軸截面，求出圓錐的高，利用三角形相似求出圓柱的高，再根據(jù)側(cè)面積公式計(jì)算可得.【詳解】如圖作出圓錐的軸截面，依題意，，，所以，易知，則，所以，即圓錐的內(nèi)接圓柱的底面半徑，高，所以圓柱的側(cè)面積.故選：C4．已知質(zhì)點(diǎn)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的單位圓上沿逆時(shí)針方向作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其起點(diǎn)為射線與單位圓的交點(diǎn)，其角速度大小為，設(shè)后射線恰為角的終邊，則（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)P的角速度，求得后轉(zhuǎn)過的角度，再加上得到求解.【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)P的角速度大小為，則后轉(zhuǎn)過的角為：，所以，則，故選：D5．已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)且與軸垂直，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】先求出的坐標(biāo)，根據(jù)得出的坐標(biāo)，根據(jù)在橢圓上列方程求解即可.【詳解】

不妨設(shè)在第一象限，由題意，的橫坐標(biāo)為，令，解得，即.設(shè)，又，，，由可得：，解得，又在橢圓上，即，整理得，解得.故選：A6．已知滿足，則的值為（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】利用兩角和與差的正余弦公式和三角函數(shù)商數(shù)關(guān)系化簡得，再利用兩角和與差的正切公式即可得到答案.【詳解】因?yàn)椋?，即，顯然，兩邊同除得：，，即，易知，則，故選：A.7．已知函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，若過點(diǎn)和的直線在軸上的截距為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2 B． C．或 D．或2【正確答案】B【分析】由題意有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則求參數(shù)a范圍，再根據(jù)代入、確定已知點(diǎn)所在直線，進(jìn)而求截距并列方程求參數(shù)值.【詳解】由題意有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則，所以，即或，由，即，而，同理有，所以、均在上，令，則，得，綜上，（舍）故選：B8．教育部為發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國部分大學(xué)培養(yǎng)教育專業(yè)公費(fèi)師范生，畢業(yè)后分配到相應(yīng)的地區(qū)任教．現(xiàn)將5名男大學(xué)生，4名女大學(xué)生平均分配到甲、乙、丙3所學(xué)校去任教，則（

）A．甲學(xué)校沒有女大學(xué)生的概率為B．甲學(xué)校至少有兩名女大學(xué)生的概率為C．每所學(xué)校都有男大學(xué)生的概率為D．乙學(xué)校分配2名女大學(xué)生，1名男大學(xué)生且丙學(xué)校有女大學(xué)生的概率為【正確答案】C【分析】計(jì)算出將5名男大學(xué)生，4名女大學(xué)生平均分配到甲、乙、丙3所學(xué)校去任教共有的分法種數(shù)，再結(jié)合每個(gè)選項(xiàng)里的具體要求求出符合其要求的分法種數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式，即可求得相應(yīng)概率，可判斷A，B，C，利用對立事件的概率計(jì)算可判斷D.【詳解】將5名男大學(xué)生，4名女大學(xué)生平均分配到甲、乙、丙3所學(xué)校去任教，共有中分法；對于A，甲學(xué)校沒有女大學(xué)生，從5名男大學(xué)生選3人分到甲學(xué)校，再將剩余的6人平均分到乙、丙學(xué)校，共有種分法，故甲學(xué)校沒有女大學(xué)生的概率為，A錯(cuò)誤；對于B，甲學(xué)校至少有兩名女大學(xué)生的情況包括恰有兩女大學(xué)生和恰有三女大學(xué)生，共有種分法，故甲學(xué)校至少有兩名女大學(xué)生的概率為，B錯(cuò)誤；對于C，每所學(xué)校都有男大學(xué)生，則男生的分配情況為將男生分為3組：人數(shù)為或，當(dāng)男生人數(shù)為時(shí)，將4名女生平均分為2組，分到男生人數(shù)為1人的兩組，再分到3所學(xué)校，此時(shí)共有種分法；當(dāng)男生人數(shù)為時(shí)，將4名女生按人數(shù)分為3組，人數(shù)的2組分到男生人數(shù)為的兩組，2名女生的一組分到男生1人的那一組，再分到3所學(xué)校，此時(shí)共有種分法；故每所學(xué)校都有男大學(xué)生的分法有種，則每所學(xué)校都有男大學(xué)生的概率為，C正確；對于D，乙學(xué)校分配2名女大學(xué)生，1名男大學(xué)生共有種分法，且丙學(xué)校沒有女大學(xué)生的分法有種，故乙學(xué)校分配2名女大學(xué)生，1名男大學(xué)生且丙學(xué)校沒有女大學(xué)生的分法有種，故乙學(xué)校分配2名女大學(xué)生，1名男大學(xué)生且丙學(xué)校有女大學(xué)生的概率為，D錯(cuò)誤，故選：C二、多選題9．下列說法正確的有（

）A．一組數(shù)據(jù)19

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57的中位數(shù)為34B．展開式中項(xiàng)的系數(shù)為1120C．相關(guān)系數(shù)表明兩個(gè)變量相關(guān)性較弱D．若，則【正確答案】ABD【分析】一組數(shù)據(jù)從小到大重新排列由中位數(shù)定義可判斷A；利用展開式的通項(xiàng)可判斷B；根據(jù)相關(guān)系數(shù)定義及意義可判斷C；根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可判斷D.【詳解】對于A，一組數(shù)據(jù)從小到大重新排列可得19

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57，所以中位數(shù)為，故A正確；對于B，設(shè)展開式的通項(xiàng)為，令可得展開式中項(xiàng)的系數(shù)為，故B正確；對于C，相關(guān)系數(shù)取值一般在～1之間，絕對值越接近1說明變量之間的線性關(guān)系越強(qiáng)，絕對值越接近0說明變量間線性關(guān)系越弱，相關(guān)系數(shù)r的絕對值一般在0.8以上，認(rèn)為兩個(gè)變量有強(qiáng)的相關(guān)性，0.3到0.8之間，可以認(rèn)為有弱的相關(guān)性，0.3以下,認(rèn)為沒有相關(guān)性，所以相關(guān)系數(shù)表明兩個(gè)變量相關(guān)性較強(qiáng)，故C錯(cuò)誤；對于D，若，則，則，故D正確.故選：ABD.10．已知且，則（

）A．的最大值為 B．的最大值為2C．的最小值為6 D．的最小值為4【正確答案】BC【分析】利用基本不等式可判斷AB；先將化為，再妙用“1”可判斷C；取特值可判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，即，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故B正確；由得，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故C正確；令，則，所以的最小值不是4，D錯(cuò)誤.故選：BC.11．已知點(diǎn)為直線與軸交點(diǎn)，為圓上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則（

）A．取得最小值時(shí)， B．與圓相切時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．的最大值為【正確答案】ABD【分析】A：取得最小值時(shí)位于即軸上，根據(jù)三角形面積公式可得.B：直接在直角三角形利用勾股定理可得.C：運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示和對于坐標(biāo)運(yùn)算可得.D：根據(jù)正弦定理，將求的最大值轉(zhuǎn)化為求外接圓半徑最小，此時(shí)，外接圓與圓相內(nèi)切，根據(jù)內(nèi)切半徑差等于圓心距可得外接圓半徑，進(jìn)而可得.【詳解】因，令，得，故，，圓心，半徑選項(xiàng)A：

如圖，根據(jù)圓的性質(zhì)當(dāng)位于軸上時(shí)，取得最小值，此時(shí)，故A正確；選項(xiàng)B：

當(dāng)與圓相切時(shí)，，故B正確；選項(xiàng)C：

設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，，故，又，得，，，若，則，又得，，，此時(shí)，這與點(diǎn)在圓上矛盾，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：

設(shè)外接圓圓心為，半徑為由題意可得在中垂線上，可設(shè)其坐標(biāo)為，則，，由正弦定理知，所以，當(dāng)最小，即外接圓與圓相內(nèi)切時(shí)，的最大值，此時(shí)圓心距等于兩圓半徑之差，則，兩邊同時(shí)平方可得，，故D正確.故選：ABD.12．在正四棱柱中，，點(diǎn)滿足，，則（

）A．當(dāng)時(shí)，直線與所成角為B．當(dāng)時(shí)，的最小值為C．若與平面所成角為，則點(diǎn)的軌跡長為D．當(dāng)時(shí)，平面截此正四棱柱所得截面的最大面積為【正確答案】ACD【分析】對于A，當(dāng)時(shí)可知點(diǎn)為的中點(diǎn)，從而可以判斷為等邊三角形，即可判斷；對于B，當(dāng)時(shí)可得點(diǎn)在上，此時(shí)把正四棱柱的后面和右面展開，從而可判斷；對于C，連接，可得即為與平面所成角，從而可得點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以1為半徑的個(gè)圓，即可判斷；對于D，過點(diǎn)作交于點(diǎn)Q，可得四邊形為平面截此正四棱柱所得截面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】

對于A，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，,，所以為等邊三角形，所以直線與所成角為，A對；對于B，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上，此時(shí)把正四棱柱的后面和右面展開，如圖：

的最小值為，B錯(cuò)；對于C，因?yàn)辄c(diǎn)滿足，所以點(diǎn)在平面內(nèi)，平面，連接，則即為與平面所成角，若與平面所成角為，則，所以，即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以1為半徑的個(gè)圓，所以點(diǎn)的軌跡長為，C正確；

對于D，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上，且，過點(diǎn)作交于點(diǎn)Q，則，所以所以四邊形為平面截此正四棱柱所得截面，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則根據(jù)題意可得：，，所以，，點(diǎn)到直線的距離為所以四邊形的面積令，所以所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)取得最大值,此時(shí)截面面積最大為，D正確.故選：ACD關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)的本題取值得到點(diǎn)的位置，進(jìn)而結(jié)合選項(xiàng)轉(zhuǎn)化相應(yīng)問題，然后利用相關(guān)知識解答即得.三、填空題13．已知定義在上的偶函數(shù)，滿足，若，則的值為________．【正確答案】1【分析】根據(jù)得的周期為4，且，再由可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以的周期?，所以，，，即，若，則，即，可得，所以.故1.14．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線垂直軸，，則________．【正確答案】【分析】根據(jù)拋物線定義求出，再設(shè)直線的方程為，得到韋達(dá)定理式，求出點(diǎn)橫坐標(biāo)，再利用拋物線定義即可求出的長.【詳解】由題意得,因?yàn)橹本€垂直于軸,,準(zhǔn)線方程為，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,設(shè)，根據(jù)拋物線的定義知，解得，則，則，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程有可得，，則，則，解得，則，故答案為.

15．若曲線與曲線有兩條公切線，則的值為________．【正確答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，分別寫出兩曲線的切線方程，讓兩切線方程的系數(shù)相等，得到方程組，消去一個(gè)變量后，問題轉(zhuǎn)化為方程的根的個(gè)數(shù)問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其性質(zhì)，作出圖象，數(shù)形結(jié)合求解即可．【詳解】令，，則，，設(shè)，則曲線在處切線為，設(shè)，則曲線在處切線為，由題意，消去得，由題意，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取極大值；當(dāng)時(shí)，取極小值，又當(dāng)時(shí)，根據(jù)以上信息作出的大致圖象，

由圖可知當(dāng)，即時(shí)，直線與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，從而方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以，曲線與曲線有兩條公切線時(shí)，的值為．故．四、雙空題16．如圖，某數(shù)陣滿足：每一行從左到右成等差數(shù)列，每一列從上到下成公比相同的等比數(shù)列，數(shù)陣中各項(xiàng)均為正數(shù)，，，則________；在數(shù)列中的任意與兩項(xiàng)之間，都插入個(gè)相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則________．【正確答案】【分析】設(shè)第一行公差為，各列的公比為且，結(jié)合已知條件求得，即可寫出通項(xiàng)公式，再根據(jù)題意確定前70項(xiàng)的組成，應(yīng)用分組求和、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和即可.【詳解】設(shè)第一行公差為，各列的公比為且，且，則，，，，所以，則，由各項(xiàng)均為正數(shù)，故，則，即，綜上，，故，由上，前n項(xiàng)為，且，故在之前共有項(xiàng)，則，則，綜上，前70項(xiàng)為，.故，關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式求行列間的公差、公比，確定行列通項(xiàng)公式為關(guān)鍵.五、解答題17．在中，為中點(diǎn)，．(1)若，求的面積；(2)若，求的長．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）在中，先利用余弦定理求出角，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解；（2）在中，先利用正弦定理及二倍角的正弦公式求出及，再利用正弦定理求解即可.【詳解】（1）在中，，由余弦定理可知，因?yàn)椋?，所?（2）在中，設(shè),則由正弦定理，即，得，所以，，所以，所以，由正弦定理得：，即．18．已知數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和【正確答案】(1)(2)【分析】（1）先把題干條件等價(jià)變成，然后用累加法進(jìn)行求解；（2）結(jié)合特殊的三角函數(shù)值，利用分組求和進(jìn)行求解.【詳解】（1）由得，，所以時(shí)，，故，又，則，當(dāng)時(shí)，成立，所以，．（2）由（1）知，，所以，，因?yàn)?，于是，所以，．故?shù)列的前項(xiàng)和為．19．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)袋子，每個(gè)袋子中均裝有大小、形狀、質(zhì)地完全相同的個(gè)黑球和個(gè)紅球，若每次分別從兩個(gè)袋子中隨機(jī)摸出個(gè)球互相交換后放袋子中，重復(fù)進(jìn)行次此操作．記第次操作后，甲袋子中紅球的個(gè)數(shù)為．(1)求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)求第次操作后，甲袋子中恰有個(gè)紅球的概率．【正確答案】(1)分布列見解析，(2)【分析】（1）由題意可知，的所有可能取值為、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)而可求得的值；（2）由已知條件推導(dǎo)得出，可得出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得的表達(dá)式，即的表達(dá)式.【詳解】（1）由題知，的所有可能取值為、、，，，，所以，的分布列為所以，的數(shù)學(xué)期望．（2）由題知，又，所以，，整理得，，所以，，又因?yàn)椋?，?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，，所以，，即.20．如圖，在中，為中點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直于，將沿翻折，使得面面，點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且面．

(1)求的值；(2)求二面角的余弦值．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）作垂直于點(diǎn)，連接，然后證明面面，利用面面垂直性質(zhì)定理，結(jié)合已知可得；（2）以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量求解可得.【詳解】（1）因?yàn)槊婷?，面面由題意可知，，所以，過點(diǎn)作垂直于點(diǎn)，連接，

因?yàn)槊婷?，所以面，又因?yàn)槊?，面，所以，面面，又因?yàn)槊婷妫婷?，所以，．因?yàn)?，所以，，在折疊前的圖形中，，所以，易知為AQ的中點(diǎn)，所以，所以，，所以，．（2）由（1）知，以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，易知面的一個(gè)法向量，，設(shè)面的法向量為，所以，令，則，故，所以，所以，二面角的余弦值為．21．已知雙曲線的焦距為4，點(diǎn)在上．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，斜率為且不過的直線與交于點(diǎn)，若為直線斜率的等差中項(xiàng)，求到直線的距離的取值范圍．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）將代入雙曲線方程，結(jié)合已知可解；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立雙曲線方程消元，韋達(dá)定理結(jié)合為直線斜率的等差中項(xiàng)列方程，再由點(diǎn)到直線距離公式即可求解.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在C上，所以①，由題意知，，所以②，由①②解得，故雙曲線的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，消可得，，有韋達(dá)定理可得，