2023~2024學(xué)年河南開(kāi)封高考數(shù)學(xué)理試題二模帶解析

2023-2024學(xué)年河南省開(kāi)封市高考數(shù)學(xué)（理）模擬試題（二模）一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】根據(jù)交集的定義運(yùn)算即得.【詳解】由題知集合為正奇數(shù)組成的集合，且，則.故選：C.2．若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式及復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即得.【詳解】由題知，故選：D.3．下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】由二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷A，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可判斷BC，根據(jù)絕對(duì)值的意義結(jié)合條件可判斷D.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于C，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，是常數(shù)函數(shù)，D錯(cuò)誤，故選：B.4．2023年4月9日至15日，2023年世界乒乓球職業(yè)大聯(lián)盟冠軍賽在河南省新鄉(xiāng)市平原體育中心舉行，某平臺(tái)從參與網(wǎng)絡(luò)直播活動(dòng)的網(wǎng)友中隨機(jī)選取了一部分，對(duì)他們的年齡（單位：歲）進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果制作的頻率分布直方圖如圖所示，由此估計(jì)參與直播活動(dòng)的網(wǎng)友的年齡的中位數(shù)為（

）

A．32 B．33 C．34 D．35【正確答案】C【分析】根據(jù)直方圖估計(jì)中位數(shù)即得.【詳解】因?yàn)?，，設(shè)中位數(shù)為，則，解得.故選：C.5．已知，則（

）A． B． C．1 D．【正確答案】A【分析】由題解得，再由求解即可.【詳解】由，解得，所以.故選：A.6．如圖，已知正三角形內(nèi)接于圓，記的內(nèi)切圓及其內(nèi)部區(qū)域?yàn)?，在的外接圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自區(qū)域的概率為（

）

A． B． C． D．【正確答案】B【分析】根據(jù)正三角形的性質(zhì)結(jié)合幾何概型概率公式即得.【詳解】設(shè)正三角形的內(nèi)切圓與的切點(diǎn)為，連接，

則，故所求概率為，故選：B.7．曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為0，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．1【正確答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及導(dǎo)數(shù)的幾何意義即得.【詳解】由題可得，則，所以，故選：D.8．2023年1月底，人工智能聊天程序迅速以其極高的智能化水平引起國(guó)內(nèi)關(guān)注，深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時(shí)使用的學(xué)習(xí)率，表示初始學(xué)習(xí)率，表示衰減系數(shù)，表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，表示衰減速度.已知某個(gè)指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為0.6，衰減速度為16，且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為16時(shí)，學(xué)習(xí)率衰減為0.48，則學(xué)習(xí)率衰減到0.2以下（不含0.2）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．75 B．77 C．79 D．81【正確答案】B【分析】由題可得，進(jìn)而可得不等式，解不等式即得.【詳解】根據(jù)題意得該指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，當(dāng)時(shí)，，代入得，解得，當(dāng)學(xué)習(xí)率衰減到0.2以下（不含0.2）時(shí)，，則，即，則，故選：B.9．某次實(shí)驗(yàn)得交變電流（單位：A）隨時(shí)間（單位：s）變化的函數(shù)解析式為，其中且，其圖象如圖所示，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）

A． B．C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【正確答案】D【分析】根據(jù)五點(diǎn)法結(jié)合圖象可得，進(jìn)而即得.【詳解】由題知，則，又，則，所以當(dāng)時(shí)，，則，又，則，因此，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此ABC正確，D錯(cuò)誤，故選：D.10．已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)恰為弦的中點(diǎn)，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用中點(diǎn)弦問(wèn)題求出，再求出橢圓的離心率作答.【詳解】依題意，直線的斜率為，設(shè)，則，且，由兩式相減得：，于是，解得，此時(shí)橢圓，顯然點(diǎn)在橢圓內(nèi)，符合要求，所以橢圓的離心率.故選：A11．為定義在上的偶函數(shù)，對(duì)任意的，都有，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】由題可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，進(jìn)而可得，即得.【詳解】對(duì)任意的，都有，則，令，則在上單調(diào)遞增，因?yàn)闉槎x在上的偶函數(shù)，所以，即為偶函數(shù)，又，由，可得，即，所以，所以的解集為，故選：A.12．在中，角的對(duì)邊分別為，若，則的值可為（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】根據(jù)三角恒等變換結(jié)合條件可得，然后利用正弦定理可得，再通過(guò)換元法，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)而即得.【詳解】由題知，則，即，因?yàn)?，所以，則，所以，則，為鈍角，為銳角，，因?yàn)?，則，則，則，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，則，故選：D.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是通過(guò)三角恒等變換得到，然后利用邊角互化及換元法把問(wèn)題轉(zhuǎn)化求函數(shù)最值，再利用導(dǎo)數(shù)即得.二、填空題13．向量的夾角為，定義運(yùn)算“”：，若，則的值為_(kāi)__________.【正確答案】【分析】根據(jù)新定義結(jié)合向量的夾角公式即得.【詳解】因?yàn)?，所以，則，所以.故答案為.14．陀螺是中國(guó)民間最早的娛樂(lè)工具之一，它可以近似地視為由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組合而成的幾何體，如圖1是一種木陀螺，其直觀圖如圖2所示，分別為圓柱上?下底面圓的圓心，為圓錐的頂點(diǎn)，若底面圓的半徑為，，則圓柱的外接球的表面積與圓錐的側(cè)面積的比值是______.

【正確答案】【分析】求出圓柱外接球半徑及圓錐的母線，代入球的表面積公式和圓錐側(cè)面積公式直接計(jì)算即可.【詳解】由圓柱的對(duì)稱性知，圓柱外接球的球心為的中點(diǎn)，則外接球的半徑為，所以外接球的表面積為，又圓錐的母線長(zhǎng)為，則側(cè)面積為，所以.故15．已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，分別過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，且，則___________.【正確答案】【分析】由題可得圖形，設(shè)根據(jù)條件可得關(guān)系式，進(jìn)而即得.【詳解】不妨取，因?yàn)?，所以，則，解得，則.

故答案為.16．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為_(kāi)__________.【正確答案】【分析】畫出不等式組的可行域，設(shè)，可求出，則，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解【詳解】不等式組表示的可行域如圖所示，為及其內(nèi)部的陰影區(qū)域，由可得，由可得，由可得令，則，結(jié)合可行域知，當(dāng)直線與直線重合時(shí)取得最小值1，經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)取得最大值5，即，，當(dāng)時(shí)，取得最小值.

故三、解答題17．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答.已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為是與的等比中項(xiàng)，___________.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)所選條件，等差數(shù)列通項(xiàng)公式，求和公式及等比中項(xiàng)的性質(zhì)得到方程組，解得、，即可求出通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法計(jì)算可得.【詳解】（1）選條件①：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.選條件②：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.選條件③：因?yàn)槭桥c的等比中項(xiàng)，所以，由，可得，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）令，則①，②，①②得，所以.18．2023年五一勞動(dòng)節(jié)放假5天，隨著疫情的結(jié)束和天氣轉(zhuǎn)暖，被“壓抑”已久的出行需求持續(xù)釋放，“周邊游”“鄉(xiāng)村游”，等旅游新業(yè)態(tài)火爆，為旅游行業(yè)發(fā)展注人了新活力，旅游預(yù)訂人數(shù)也開(kāi)始增多.為了調(diào)查游客預(yù)訂旅游與年齡是否有關(guān)，調(diào)查組對(duì)300名不同年齡段的游客進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，得到數(shù)據(jù)如下表：預(yù)訂旅游不預(yù)訂旅游合計(jì)16～54歲（含45歲）10045歲以上80合計(jì)300已知在所有被調(diào)查的游客中隨機(jī)抽取1人，抽到不預(yù)訂旅游的游客概率為.(1)請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下，認(rèn)為是否預(yù)訂旅游與年齡有關(guān)？請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)以年齡為分層標(biāo)準(zhǔn)，按照分層抽樣的方法，從被調(diào)查的游客中選取5人，再?gòu)倪@5人中任意選取2人，求2人中恰有1人是45歲以上的概率.附：，其中.0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【正確答案】(1)列聯(lián)表答案見(jiàn)解析，能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下，認(rèn)為是否預(yù)訂旅游與年齡有關(guān)，理由見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）由題可得不預(yù)定旅游的人數(shù)，進(jìn)而可得列聯(lián)表，然后利用公式可得的觀測(cè)值，即得；（2）根據(jù)分層抽樣的定義及古典概型概率公式即得.【詳解】（1）由題可得不預(yù)定旅游的人數(shù)為，則列聯(lián)表補(bǔ)充完整如下：預(yù)訂旅游不預(yù)訂旅游合計(jì)16～45歲（含45歲）8010018045歲以上8040120合計(jì)160140300所以的觀測(cè)值為，所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下，認(rèn)為是否預(yù)訂旅游與年齡有關(guān).（2）按分層抽樣，從被調(diào)查的游客中選取5人，16～45歲（含45歲）的人數(shù)為，分別記這3人為，45歲以上的人數(shù)為，分別記這2人為.從5人中任意選取2人，則有，共有10種情況，恰有1人是45歲以上的有，共有6種情況，則2人中恰有1人是45歲以上的概率為.19．如圖，在矩形中，點(diǎn)在邊上，且滿足，將沿向上翻折，使點(diǎn)到點(diǎn)的位置，構(gòu)成四棱錐.

(1)若點(diǎn)在線段上，且平面，試確定點(diǎn)的位置；(2)若，求四棱錐的體積.【正確答案】(1)點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)；(2).【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理即得；（2）取的中點(diǎn)，利用勾股定理及線面垂直的判定定理可得平面，然后利用錐體的體積公式即得.【詳解】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以四點(diǎn)共面，若平面，由平面，平面平面，所以，所以四邊形為平行四邊形，,則，

所以當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，平面.（2）如圖，取的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，則，所以，又，則，又，則，所以.因?yàn)?，平面，所以平面，則四棱錐的體積為.20．已知雙曲線的一條漸近線方程為，且雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求雙曲線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線與交于兩點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），直線分別與直線交于點(diǎn)，求的值.【正確答案】(1)；(2).【分析】（1）由題得，進(jìn)而即得；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立雙曲線方程，根據(jù)直線，的方程表示出結(jié)合韋達(dá)定理即得.【詳解】（1）由題意可知，解得，所以雙曲線的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，代入中，可得，設(shè)，則.

直線的方程為，令，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，直線的方程為，令，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，?方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.21．已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，證明.【正確答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）將代入后得，對(duì)其求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性即可得解；（2）由題意得，從而利用分析法將變形為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得，由此得證.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，則，因?yàn)椋瑒t，所以，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則，即，兩式相減，可得，兩式相加得，要證，只要證，即證，即證，只須證，即證，即證，令，則由得，故須證，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即成立，故原不等式成立.方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極（最）值問(wèn)題處理．22．在直角坐標(biāo)系中，圓是以為圓心，為半徑的圓，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)寫出圓的極坐標(biāo)方程；(2)已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，求角.【正確答案】(1)(2)或【分析】（1）先求圓的直角坐標(biāo)方程，然后直接化為極坐標(biāo)方程即可；（2）先把直線方程化為極坐標(biāo)方程，然后聯(lián)立直線的極坐標(biāo)方程和圓的極坐標(biāo)方程，利用的幾何意義即可解答.【詳解】（1）由題意知圓的方程為，即，將代入得圓的極坐標(biāo)方程為.（2）由題知直線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)，聯(lián)立可得，且，即，由韋達(dá)定理得，則，所以，又，所以，